Hermann Weyl

Hermann Weyl

Hermann Weyl (links) mit Ernst Peschl

Hermann Klaus Hugo Weyl (* 9. November 1885 in Elmshorn; † 8. Dezember 1955 in Zürich) war ein deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph, der wegen seines breiten Interessensgebiets von der Zahlentheorie bis zur theoretischen Physik und Philosophie als einer der letzten mathematischen Universalisten gilt.

Leben

Weyl besuchte das Gymnasium Christianeum in Altona. Auf Empfehlung des Direktors, der ein Cousin David Hilberts war und den die Begabung des Jungen beeindruckte, begann Weyl nach seinem Abitur 1904 in Göttingen bei Hilbert Mathematik und nebenbei auch Physik zu studieren. Er belegte zudem Kurse in Philosophie bei Edmund Husserl, wobei er seine spätere Frau Helene kennenlernte. Bis auf ein Jahr 1905 in München studierte er in Göttingen, wo er 1908 bei David Hilbert mit der Arbeit „Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems“ promovierte, sich 1910 habilitierte und bis 1913 als Privatdozent lehrte.

1913 heiratete er Helene Joseph aus Ribnitz, die später viele Werke des spanischen Philosophen José Ortega y Gasset übersetzte. Mit ihr hatte er zwei Söhne. Im gleichen Jahr erhielt er eine Professur für den Lehrstuhl der Geometrie an der Eidgenössisch Technischen Hochschule Zürich, wo er Albert Einstein kennenlernte, der zu jener Zeit (1916–1918) gerade seine Allgemeine Relativitätstheorie entwickelte, was Weyl zur intensiven Beschäftigung mit den mathematischen Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie und deren möglichen Erweiterungen (etwa zur Berücksichtigung der Elektrodynamik und eines Eichparameters), insbesondere aber mit der zugrunde liegenden Differentialgeometrie anregte.

1918 veröffentlichte er eines der ersten Lehrbücher der Allgemeinen Relativitätstheorie (neben Lehrbüchern von Max von Laue und Arthur Eddington), Raum, Zeit, Materie.

Einen Ruf nach Göttingen, die Nachfolge von Felix Klein anzutreten, schlug er aus. Erst 1930, nachdem Hilberts Lehrstuhl verwaist war, nahm er an: Hilberts Nachfolger zu werden, war für ihn eine Ehre, die er nicht ablehnen konnte. Jedoch fiel ihm der Wechsel von Zürich nach Göttingen nicht leicht, da er die politische Radikalisierung und den Aufstieg des Nationalsozialismus in der Weimarer Republik mit Besorgnis sah, wie er 1930 in einer Ansprache vor der Göttinger Mathematischen Verbindung zum Ausdruck brachte: „Nur mit einiger Beklemmung finde ich mich aus ihrer [der traditionell demokratischen Schweiz] freieren und entspannteren Atmosphäre zurück in das gähnende, umdüsterte und verkrampfte Deutschland der Gegenwart.“ Zeit seines Lebens fühlte er sich demokratischen Idealen verpflichtet, und 1933 sah er sich außerstande, im von den Nationalsozialisten beherrschten Deutschland zu lehren, zumal seine Frau Jüdin war. In seinem aus Zürich am 9. Oktober 1933 abgeschickten Entlassungsgesuch an den neuen nationalsozialistischen Unterrichtsminister Bernhard Rust schrieb er: „Daß ich in Göttingen fehl am Platze bin, ist mir sehr bald aufgegangen, als ich im Herbst 1930 nach 17-jähriger Tätigkeit an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich dorthin als Nachfolger von Hilbert übersiedelte.“ Durch Vermittlung von Albert Einstein nahm er eine Stellung am Institute for Advanced Study in Princeton an, wo er bis 1951 wirkte. In Princeton starb 1948 seine Frau Helene, und er heiratete 1950 die Bildhauerin Ellen Bär aus Zürich, von der die Hermann-Weyl-Büste stammt, die in den Universitäten von Princeton, Zürich und Kiel zu seinem Gedenken steht. Seine letzten Lebensjahre verbrachte er vorwiegend in Zürich. 1955 erhielt er die Ehrenbürgerwürde seiner Geburtsstadt Elmshorn, kurz darauf verstarb er unerwartet in Zürich aufgrund eines Herzanfalls, den er beim Versenden von Post an einem Briefkasten erlitt.

Weyl hieß bei engen Freunden Peter Weyl, zum Beispiel unter den Schrödingers. In Zürich hatte er ein Verhältnis mit Erwin Schrödingers Frau Anny, was an der Freundschaft mit Schrödinger nichts änderte, da die Schrödingers in offener Beziehung lebten. Weyls Ehefrau Helene (genannt Hella) wiederum hatte in dieser Zeit eine offene Beziehung mit Paul Scherrer.

Werk

Weyl hat sich mit vielen Gebieten der Mathematik beschäftigt und schrieb mehrere Bücher und über 200 Zeitschriftenartikel.

Er begann als Analytiker, entsprechend den Interessen der Hilbertschule am Anfang des 20. Jahrhunderts (Integralgleichungen, Spektraltheorie), und habilitierte 1910 über singuläre Differentialgleichungen und ihre Entwicklung in Eigenfunktionen, die unter anderem in der mathematischen Physik wichtig sind (später „Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren“ genannt). 1915 (Rendicondi Circolo Mathematico di Palermo) bestimmte er die asymptotische Verteilung der Eigenwerte der Laplacegleichung und zeigte, dass der erste Term proportional dem Volumen ist, was die Physiker (unter anderem Hendrik Antoon Lorentz) bei der Untersuchung der Hohlraumstrahlung, die die ersten Zusammenhänge zwischen Quantenmechanik und klassischer Theorie lieferte, schon vermutet hatten. Andere Parameter außer dem Volumen spielen keine Rolle. Die allgemeine Frage, ob man aus dem Spektrum (den Eigenschwingungen) auf die geometrische Form eines Gebietes schließen kann, popularisierte Mark Kac in seinem Aufsatz „Can one hear the shape of a drum?“ (American Mathematical Monthly 1966).

Weniger bekannt ist, dass Weyl seinen Zürcher Kollegen Erwin Schrödinger nicht unwesentlich bei dessen grundlegenden Aufsatz zur quantentheoretischen Wellenmechanik unterstützte, indem er ihm den Weg zur Lösung der Schrödingergleichung beim Wasserstoffatom wies.

1913 veröffentlichte er das Buch Die Idee der Riemannschen Fläche, in dem die vorher eher heuristisch eingebrachten topologischen Methoden strenger behandelt wurden und das moderne Konzept der Mannigfaltigkeiten erstmals systematisch eingesetzt wurde.

Seit seinem Buch über die Allgemeine Relativitätstheorie war Weyl an Verbindungen zur Physik stark interessiert. Er formulierte die zugrundeliegende Differentialgeometrie allgemeiner und flexibler unter Einführung eines affinen Zusammenhangs. In Raum, Zeit, Materie und in seinem Aufsatz Gravitation und Elektrizität von 1918 führt er erstmals das Konzept einer Eichtheorie ein, jedoch zunächst nicht in der heutigen Form, sondern durch einen lokal veränderlichen Skalenfaktor. Die Idee dahinter war, dass bei Paralleltransport eines Vektors längs einer geschlossenen Kurve nicht nur die Richtung verändert wird (was durch die Krümmung ausgedrückt wird), sondern auch die Länge veränderlich sein konnte. Er hoffte so die Elektrodynamik in die Theorie einzubinden. Als die Elektrodynamik umfassende Erweiterung der Theorie wurde sie schnell von Einstein als den Experimenten widersprechend verworfen. Das Buch Raum, Zeit, Materie entwickelt systematisch den Riccischen Tensorkalkül und benutzt die Parallelverschiebung (von Levi-Civita eingeführt) von Vektoren als fundamentalen Begriff.

Weyl ist der Begründer der Eichtheorien im heutigen Sinn, in einer Arbeit von 1929, mit Eichtransformationen als Phasenfaktoren der quantenmechanischen Wellenfunktionen.

Die Analyse von Riemanns und Helmholtz' Ideen zu den Raumformen, die unter „vernünftigen“ physikalischen Voraussetzungen möglich sind, griff Weyl in seinen spanischen Vorlesungen Die mathematische Analyse des Raumproblems 1920 auf. Dies führte ihn zu Anwendungen der Gruppentheorie, aus der sich seine Beschäftigung mit kontinuierlichen Gruppen entwickelte (Lie-Gruppen).

Seine wichtigsten Arbeiten (Mathematische Zeitschrift Bd. 23, 24, 1925/1926) sind vielleicht in der Theorie der Lie-Gruppen zu sehen, deren Darstellungstheorie er untersucht, wobei er globale Konzepte wie Mannigfaltigkeiten einbringt, statt der bis dahin überwiegenden lokalen Aspekte der Lie-Algebra. Beispielsweise erklärte er erstmals die Spinoren aus der Topologie der Drehgruppe. Außerdem schlägt er hier eine Verbindung zu den Methoden der von Frobenius und Schur entwickelten Darstellungstheorie endlicher Matrixgruppen vor. Weyl gibt eine allgemeine Formel („Weyl-Charakterformel“) für die Charaktere der irreduziblen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen, indem er die schon von Cartan und Wilhelm Killing untersuchten Lie-Algebren mit Spiegelungsgruppen, den Weyl-Gruppen, untersucht.

Ein weiteres wichtiges Resultat seiner Arbeit ist der Satz von Peter-Weyl (Mathematische Annalen 1927), den er zusammen mit seinem Studenten Fritz Peter (1899–1949) formulierte. Sind Sinus und Kosinus orthogonale Funktionensysteme in Bezug auf die Translationsgruppe in einer Dimension, so gibt es solche für allgemeine kompakte Lie-Gruppen G (bei denen ein invariantes (Haar-)Maß als Integral über die Gruppenelemente definiert werden kann). In diesem Funktionenraum, einem Hilbertraum, sind nach dem Peter-Weyl-Theorem die Darstellungen der Gruppe G durch irreduzible Darstellungen der unitären Gruppe gegeben.

In Gruppentheorie und Quantenmechanik gab er 1928 (etwas vor den Büchern von Bartel Leendert van der Waerden und Eugene Wigner) eine Darstellung der gruppentheoretischen Aspekte (und allgemein der mathematischen Aspekte) der Quantenmechanik, speziell der Darstellungstheorie der unitären und orthogonalen Gruppen (die wiederum nach Schur mit denen der symmetrischen Gruppe zusammenhängen). Im Buch The classical groups von 1939 erweiterte er dies auf alle klassischen Gruppen und schuf die Verbindung zur klassischen Invariantentheorie, einem wichtigen Teil der Algebra des 19. Jahrhunderts.

Zusammen mit seinem Sohn Fritz Joachim Weyl veröffentlichte er 1943 das Buch Meromorphic functions and analytic curves, in dem die Nevanlinnasche Wertverteilungstheorie meromorpher Funktionen auf analytische Kurven verallgemeinert wird.

Seit seinem Studium bei Hilbert war Weyl an Zahlentheorie interessiert (nach eigener Angabe verbrachte er mit dem Studium von Hilberts Zahlbericht in den Semesterferien die glücklichsten Monate seines Lebens). Beispielsweise veröffentlichte er in den Mathematischen Annalen 1916 einen Aufsatz über analytische Zahlentheorie „Gleichverteilung der Zahlen mod 1“. Darin zeigte er, dass die Nachkommastellen der Vielfachen einer irrationalen Zahl nicht nur im Intervall [0,1] dicht liegen, wie Kronecker bewies, sondern gleichverteilt sind. Sie lassen sich also gut als Zufallszahlen verwenden.

Seine philosophischen Interessen, die sich schon in Büchern wie Raum, Zeit, Materie zeigten, ließen ihn in den 1920er Jahren auf Seiten der Intuitionisten auf Seiten Brouwers gegen die Formalisten der Hilbert-Schule Partei ergreifen. Die reinen Intuitionisten erkennen nur konstruktive Schlussweisen in endlich vielen Schritten an (und keine solchen Objekte, deren Existenz unter Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen wird), die mit einem Computer ausführbar wären. In späteren Jahren ist Weyl zu einer ausgewogeneren Sichtweise der Mathematik zwischen konstruktiven und axiomatischen Methoden gelangt. Seine ältere Auffassung aus den unruhigen Jahren nach dem Ersten Weltkrieg ist z. B. in Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik (Math. Zeitschrift 1921) dargestellt, seine reifere Philosophie in dem Buch Philosophie der Mathematik und der Naturwissenschaften.

Im Buch Symmetrie gibt er eine populäre Darstellung des Gruppenkonzepts, von Schneekristallen, Ornamenten (Gruppen aus ebenen Translationen und Spiegelungen/Drehungen) bis zur Symmetrie von Gleichungen unter Vertauschung der Wurzeln (Galoistheorie).

Preise und Ehrungen

• Lobatschewski-Preis für Geometrie der Universität Kasan in der UdSSR, 1925.
• 1928 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Bologna (Kontinuierliche Gruppen und ihre Darstellung durch lineare Transformationen).
• 1929 wurde er in die American Academy of Arts and Sciences gewählt.
• 1932 war er Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.
• Arnold-Reymond-Preis, Mai 1954.
• Ehrendoktor der Eidgenössischen Technischen Hochschule 1945 und der Universitäten Oslo 1929, Pennsylvania 1940, Sorbonne (Paris) 1952, Columbia-Universität New York 1954 und der Technischen Hochschule Stuttgart 1929.
• Ehrenbürger der Stadt Elmshorn 17. November 1955.
• ein Mondkrater ist nach Hermann Weyl benannt.
• Zu seinem 100. Geburtstag fand zu seinen Ehren in Kiel der erste internationale Hermann-Weyl-Kongress statt, an dem unter anderen Hans Freudenthal, Jean Dieudonné, Erhard Scheibe, Jürgen Ehlers, Julian Schwinger, George Mackey, David Speiser, Eckehard W. Mielke, Friedrich W. Hehl, Gerhard Mack, Bas van Fraassen, Bernard d’Espagnat, Bernulf Kanitscheider, Wolfgang Deppert, John Archibald Wheeler und Andreas Bartels mit eigenen Originalbeiträgen teilnahmen.
• Der Asteroid "(32267) Hermannweyl" ist nach Hermann Weyl benannt.

Schriften

• Die Idee der Riemannschen Fläche, Teubner 1997 (zuerst 1913, in Neuauflage mit Beiträgen von Patterson, Hulek, Hildebrandt, Remmert, Schneider; Hrsg: R. Remmert: TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik, Suppl. 5, 1997) [1].
• Raum, Zeit, Materie – Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie, 8. Auflage, Springer 1993 (zuerst 1918, 5. Auflage 1922) Online.
• Das Kontinuum – kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis, Leipzig, von Veit und Comp., 1918 Online.
• Gravitation und Elektrizität, Sitzungsberichte Preuss. Akademie der Wiss., 1918 (wieder abgedruckt in Lorentz, Einstein, Minkowski Das Relativitätsprinzip).
• Was ist Materie? – Zwei Aufsätze zur Naturphilosophie, Springer, Berlin 1924.
• Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, München: Oldenbourg Verlag 1927 [= Handbuch der Philosophie, hrsg. von Alfred Baeumler und Manfred Schröter, Teil A], 6. Auflage, München: Oldenbourg Verlag 1990.
• Gruppentheorie und Quantenmechanik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1977 (Nachdruck der 2. Auflage 1931, zuerst Leipzig, Hirzel 1928).
• The classical groups- their invariants and representations, Princeton University Press 1939, 1946, 1961.
• Elementary theory of invariants, Institute for Advanced Study 1936.
• Meromorphic functions and analytic curves, Princeton University Press 1943.
• Symmetrie, Birkhäuser 1955, 1981 (zuerst 1952, Princeton).
• Selecta Hermann Weyl, Birkhäuser Verlag (ausgewählte Aufsätze) 1956.
• Algebraische Zahlentheorie, BI Hochschultaschenbuch 1966.
• Gesammelte Abhandlungen, 4 Bde., Hrsg. K. Chandrasekharan, Springer Verlag 1968.
• Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkung und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie, Springer 1988.

Literatur

• K. Chandrasekharan (Hrsg.): Weyl centennary symposium, 1885–1985, Springer 1986 (darin: Chen Ning Yang Weyls contribution to physics, Roger Penrose Weyl, spacetime and conformal geometry, Armand Borel Weyl and Lie groups, Memorabilia, Publikationsliste).
• Wolfgang Deppert, Kurt Hübner, Arnold Oberschelp, Volker Weidemann (Hrsg.), Exact Sciences and their Philosophical Foundations/Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985, Peter Lang Verlag, Frankfurt am Main/Bern/New York/Paris 1988, ISBN 3-8204-9328-X.
• Jean Dieudonné: Artikel Weyl in Dictionary of Scientific Biography.
• Günther Frei, Urs Stammbach: Hermann Weyl und die Mathematik an der ETH Zürich 1913–1930, Birkhäuser, Basel 1991.
• Hans Freudenthal: Hermann Weyl. Der Dolmetscher zwischen Mathematikern und Physikern um die moderne Interpretation von Raum, Zeit und Materie. in: Forscher und Wissenschaftler im heutigen Europa, 1 Hgg. Hans Schwerte & Wilhelm Spengler, Stalling, Oldenburg 1955, S. 357–366.
• Claus Müller: Hermann Weyl zum 100. Geburtstag, Jahresbericht des Deutschen Mathematikervereins (DMV) 1986.
• Peter Pesic (Herausgeber), Hermann Weyl: Levels of Infinity: Selected Writings on Mathematics and Philosophy, Dover Publications, 2013, ISBN 0-48648-903-5.
• Peter Pesic (Hrsg.), Hermann Weyl: Mind and Nature: Selected Writings on Philosophy, Mathematics, and Physics. Princeton University Press, Princeton, N.J., 2009, ISBN 978-0-691-13545-8.
• Nils Röller: Medientheorie im epistemischen Übergang – Hermann Weyls Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft und Ernst Cassirers Philosophie der symbolischen Formen. Weimar Verlag und Datenbank für Geisteswissenschaften 2002, ISBN 3-89739-275-5.
• David E. Rowe: Hermann Weyl, the Reluctant Revolutionary, Mathematical Intelligencer, Bd. 25, 2003, Nr. 1, S. 61–70.
• Erhard Scholz (Herausgeber): Hermann Weyl’s Raum-Zeit-Materie and a general introduction to his scientific work, Birkhäuser 2001 (DMV Seminar Band 30), darin:
  • Skuli Sigurdsson Journeys into spacetime, Hubert Goenner Weyl´s contributions to cosmology, Scholz Weyls Infinitesimalgeometrie 1917-1925, Norbert Straumann Ursprünge der Eichtheorien, Robert Coleman, Herbert Korté Hermann Weyl, Mathematician, Physicist, Philosopher (S. 161-388), Weyl Bibliographie.
• Peter Slodowy: The early development of the representation theory of semisimple Lie groups – Hurwitz, Schur, Weyl, Jahresbericht DMV 1999.
• Katrin Tent (Hrsg.): Groups and Analysis. The legacy of Hermann Weyl, Cambridge University Press 2008.
• André Weil, Claude Chevalley: Hermann Weyl, L Enseignement mathematique, 1957, S. 157.
• R. O. Wells, Jr. (Hrsg.): The mathematical heritage of Hermann Weyl- proceedings of a symposium at Duke University 1987, American Mathematical Society 1988.
• John Archibald Wheeler: Hermann Weyl and the unity of knowledge, American Scientist Juli 1986.

Online zugängliche Aufsätze:

• Erhard Scholz: The changing concept of matter in H. Weyl's thought 1918–1930, 2004
• Erhard Scholz: "Philosophy as a cultural resource and medium of reflection for Hermann Weyl, 2004
• Erhard Scholz: "Introducing groups into quantum theory 1926–1930"
• Erhard Scholz: Mathematische Physik bei Hermann Weyl zwischen Hegelscher Physik und symbolischer Konstruktion der Wirklichkeit, Preprint 2010, pdf

Einige Online-Aufsätze

• Theorie der Darstellungen kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen, Teil 1–3 (Math.Zeitschrift Bd.23, 24, 1926): [2], Teil 2 [3], Teil 3 [4], mit Nachtrag [5]
• F. Peter, H. Weyl: Über die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer halbeinfachen kontinuierlichen Gruppe, Mathematische Annalen, Band 97, 1927, S. 737–755, [6],
• Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (Gött.Nachr.1911) [7],
• Über die Gleichverteilung der Zahlen mod 1 (Math.Annalen 1916) [8],
• Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik (Vortrag Zürich 1921) [9]
• Die Relativitätstheorie, Jahresbericht DMV 1922: [10], sowie Das Raumproblem, ibid. [11]
• Arbeiten von Weyl aus den Mathematischen Annalen, der Mathematischen Zeitschrift und den Nachr. Gött. Akad. Wiss. sind online hier: GDZ, aus den Proceedings National Academy of Sciences [12] (z.B. englische Übersetzung von Gravitation und Elektron 1929)

Siehe auch

• Weyl-Gruppe
• Weyl-Gleichung
• Weylsches Einbettungsproblem
• Weyl-Spinor
• Weyl-Quantisierung
• Weylkrümmungshypothese
• Weyl-Fermion

Weblinks

 Commons: Hermann Weyl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikiquote: Hermann Weyl – Zitate

• Literatur von und über Hermann Weyl im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• John L. Bell, Herbert Korté: „Hermann Weyl“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Kurzbiografie an der Mathematischen Fakultät Göttingen
• Ausführliche Biographie auf den Seiten der Uni Hamburg
• Hermann Klaus Hugo Weyl. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Hermann Weyl gewidmete englischsprachige Webseite von William O. Straub
• Biographie von Michael Atiyah auf der Website der National Academies Press (PDF; 116 KB)
• Mathematics Genealogy Project