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Quantenmechanik

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Die Quantenmechanik sichtbar gemacht: Rastertunnelmikroskopaufnahme von Kobaltatomen auf einer Kupferoberfläche. Das Messverfahren nutzt Effekte, die erst durch die Quantenmechanik erklärt werden können. Auch die Interpretation der beobachteten Strukturen beruht auf Konzepten der Quantenmechanik.

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, die zur Beschreibung der Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten von Materie verwendet wird. Materielle Objekte, wie z.B. subatomare Teilchen, Atome, Moleküle oder makroskopische Materie, werden als einzelne Teilchen oder als aus einfacheren mikroskopischen Teilchen zusammengesetzte Systeme modelliert. Aus diesen Modellen können unter Anwendung des mathematischen Formalismus der Quantenmechanik der Zustand und die physikalischen Eigenschaften des Systems berechnet werden.

Die Grundlagen der Quantenmechanik wurden im Zeitraum von 1925 bis 1935 von Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, Pascual Jordan, Wolfgang Pauli, Niels Bohr, Paul Dirac, John von Neumann, Friedrich Hund und weiteren Physikern erarbeitet.

Während die klassische Physik im Bereich atomarer Massen und Abstände versagt, erlaubt die Quantenmechanik die sehr präzise Berechnung der physikalischen Eigenschaften von Materie im mikroskopischen und im makroskopischen Bereich. Die Quantenmechanik ist damit eine der Hauptsäulen der modernen Physik und bildet auf vielen ihrer Teilgebiete die Grundlage der theoretischen Beschreibung, so zum Beispiel für die Atomphysik, die Festkörperphysik und die Kern- und Elementarteilchenphysik, aber auch für verwandte Wissenschaften wie die Quantenchemie.

Die Quantenmechanik unterscheidet sich nicht nur in ihrer mathematischen Struktur grundlegend von der klassischen Physik. Sie scheint auch einigen Prinzipien zu widersprechen, die in der klassischen Physik als fundamental und selbstverständlich angesehen werden. Zur Deutung der Theorie wurde eine Reihe verschiedener Interpretationen entwickelt, die sich insbesondere in ihrer Konzeption des Messprozesses und in ihren metaphysischen Prämissen unterscheiden.

Dieser Artikel verzichtet weitgehend auf Formeln. Genauere Informationen zum mathematischen Formalismus finden sich im Artikel Mathematische Struktur der Quantenmechanik.

Geschichte

Datei:Bundesarchiv Bild183-R57262, Werner Heisenberg.jpg
Werner Heisenberg, Nobelpreis 1932 „für die Begründung der Quantenmechanik“
Datei:Schrodinger.jpg
Erwin Schrödinger, Nobelpreis 1933 „für die Entdeckung neuer produktiver Formen der Atomtheorie“
Hauptartikel: Quantenphysik

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts begann die Entwicklung der Quantenphysik zunächst mit den sogenannten alten Quantentheorien.[1] Diese erklärten allerdings immer nur einzelne Phänomene, konnten jedoch keinen Zusammenhang zwischen verschiedenen Experimenten herstellen. Sie beschrieben Phänomene in mikroskopischen Größenordnungen, bei denen bestimmte Größen wie Energie oder Drehimpuls nur bestimmte Werte annehmen konnten. Diese Beobachtung wurde als „Quantisierung“ der Größenwerte bezeichnet. Außerdem ließ sich das Verhalten einzelner Teilchen nicht eindeutig festlegen, sondern es konnten nur Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten bestimmter Messwerte angegeben werden. Diese beiden Eigenschaften waren zentral bei der Entwicklung der Quantenmechanik.

Datei:Dirac.gif
Paul Dirac, Nobelpreis 1933 zusammen mit Schrödinger

Im Jahr 1924 veröffentlichte Louis de Broglie seine Theorie der Materiewellen, wonach jegliche Materie einen Wellencharakter aufweisen kann, und umgekehrt Wellen auch einen Teilchencharakter aufweisen können.[2] Diese Arbeit führte die Quantenphänomene auf eine gemeinsame Erklärung zurück, die jedoch wieder heuristischer Natur war und keine genauen Vorhersagen ermöglichte. Daher wird sie als letzte den alten Quantentheorien zugeordnet, war jedoch richtungsweisend für die Entwicklung der Quantenmechanik. De Broglies Theorie wurde drei Jahre später in zwei unabhängigen Experimenten bestätigt, welche die Beugung von Elektronen nachwiesen. Der britische Physiker George Paget Thomson leitete einen Elektronenstrahl durch einen dünnen Metallfilm und beobachtete die von de Broglie vorhergesagten Interferenzmuster.[3] In einem ähnlichen, bereits 1919 in den Bell Labs durchgeführten Experiment beobachteten Clinton Davisson und sein Assistent Lester Germer die Beugungsmuster eines an einem Nickel-Kristall reflektierten Elektronenstrahls. Die Erklärung gelang ihnen jedoch erst 1927 mit Hilfe der Wellentheorie De Broglies.[4]

Die moderne Quantenmechanik fand ihren Beginn im Jahr 1925 mit der Formulierung der Matrizenmechanik durch Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan.[5][6][7] Wenige Monate später stellte Erwin Schrödinger über einen völlig anderen Ansatz – ausgehend von De Broglies Theorie der Materiewellen – die Wellenmechanik bzw. die Schrödingergleichung auf.[8] Kurz darauf konnte Schrödinger nachweisen, dass sein Ansatz mit der Matrizenmechanik äquivalent ist.[9]

Heisenberg beschrieb seine Unschärferelation im Jahr 1927; im gleichen Jahr wurde auch die Kopenhagener Interpretation formuliert. In den Jahren ab etwa 1927 vereinigte Paul Dirac die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie. Er führte auch erstmals die Verwendung der Operator-Theorie inklusive der Bra-Ket-Notation ein und beschrieb diesen mathematischen Kalkül 1930 in seinem Buch Principles of Quantum Mechanics.[10] Zur gleichen Zeit formulierte John von Neumann die strenge mathematische Basis für die Quantenmechanik, wie zum Beispiel die Theorie linearer Operatoren auf Hilberträumen, die er 1932 in seinem Buch Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik beschrieb.[11] Die Verwendung des Ausdrucks „Quantenphysik“ ist erstmals 1929 in Max Plancks Vortrag Das Weltbild der neuen Physik dokumentiert.[12] Die in dieser Aufbauphase formulierten Ergebnisse haben bis heute Bestand und werden allgemein zur Beschreibung quantenmechanischer Aufgabenstellungen verwendet.

Grundlegende Eigenschaften

Observable und Zustände

Im Rahmen der klassischen Mechanik ist der Zustand eines (punktförmigen) Teilchens eindeutig durch seinen Ort und seine Geschwindigkeit bestimmt. Der Zustand lässt sich also durch Größen beschreiben, die (immer in idealen Messungen) mit eindeutigem Ergebnis gemessen werden können. Eine gesonderte Behandlung des Zustandes und der Messgrößen (oder „Observablen“) ist damit in der klassischen Mechanik nicht nötig, weil der Zustand die Messwerte festlegt und umgekehrt.

Die Natur zeigt jedoch Quantenphänomene, die sich mit diesen Begriffen nicht beschreiben lassen. Es ist im Allgemeinen nicht mehr vorhersagbar, an welchem Ort und mit welcher Geschwindigkeit ein Teilchen nachgewiesen wird. Wenn beispielsweise ein Streuexperiment mit einem Teilchen unter immer exakt gleichen Bedingungen wiederholt wird, befindet sich nach dem Streuvorgang das auslaufende Teilchen immer im selben Zustand (siehe Deterministische Zeitentwicklung), aber kann doch an verschiedenen Orten des Schirms auftreffen. Der Zustand des Teilchens nach dem Streuprozess legt also seine Flugrichtung nicht fest. Allgemein gilt: In der Quantenmechanik gibt es Zustände, die für die Messung einer Observablen das Messergebnis nicht eindeutig vorhersagen. Es lässt sich dann jedem der möglichen Messwerte nur noch eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Daher werden in der Quantenmechanik Observable und Zustände getrennt behandelt und es wird ein anderer Observablenbegriff verwendet als in der klassischen Mechanik.

Die Observablen sind die messbaren Eigenschaften eines quantenmechanischen Systems. Beispiele sind der Ort eines Teilchens, sein Impuls, sein Drehimpuls oder seine Energie. Es gibt zu jeder Observablen einen Satz von speziellen Zuständen, bei denen das Ergebnis einer Messung nicht streuen kann sondern eindeutig festliegt. Ein solcher Zustand wird „Eigenzustand“ der betreffenden Observable genannt, und das zugehörige Messergebnis ist einer der „Eigenwerte“ der Observable. In allen anderen Zuständen, die nicht Eigenzustand zu dieser Observable sind, sind verschiedene Messergebnisse möglich. Verschiedene Observable haben im Allgemeinen auch verschiedene Eigenzustände. Dann ist für den Eigenzustand einer Observablen das Messergebnis einer anderen Observable unbestimmt.

Jeder beliebige quantenmechanische Zustand lässt sich aus den verschiedenen Eigenzuständen einer Observable zusammensetzen. Verschiedene Zustände unterscheiden sich durch die Größe der Anteile der einzelnen Eigenzustände. Den Anteil eines bestimmten Eigenzustands bezeichnet man als dessen Wahrscheinlichkeitsamplitude. Das Betragsquadrat einer Wahrscheinlichkeitsamplitude gibt die Wahrscheinlichkeit an, den entsprechenden Eigenwert als Messwert zu erhalten (Bornsche Regel oder Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation). Bei manchen Observablen, z. B. beim Drehimpuls, sind nur diskrete Eigenwerte erlaubt. Beim Teilchenort hingegen bilden die Eigenwerte ein Kontinuum. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, wird deshalb in Form einer ortsabhängigen Funktion, der so genannten Wellenfunktion angegeben. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion an einem bestimmten Ort gibt die räumliche Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit an, das Teilchen dort zu finden.

Nicht alle quantenmechanischen Observablen haben einen klassischen Gegenpart. Ein Beispiel ist der Spin, der nicht auf aus der klassischen Physik bekannte Eigenschaften wie Ladung, Masse, Ort oder Impuls zurückgeführt werden kann.

Mathematische Formulierung

Für die mathematische Behandlung physikalischer Vorgänge soll der Zustand des betrachteten Systems zum betrachteten Zeitpunkt alle Angaben enthalten, die - bei bekannten äußeren Kräften - zur Berechnung seines zukünftigen Verhaltens erforderlich sind. Daher ist der Zustands eines Massenpunktes zu einem bestimmten Zeitpunkt t in der klassischen Physik schon durch die Angabe von Ort \vec r = (x,y,z) und Impuls \vec p = (p_x,p_y,p_z) gegeben, zusammen also durch einen Punkt in einem 6-dimensionalen Raum, der Zustandsraum oder Phasenraum genannt wird. Genau in dieser Definition liegt begründet, dass die Quantenphänomene in der klassischen Physik keine Erklärung finden können. In der Quantenmechanik wird der Zustand durch einen Vektor im Hilbertraum wiedergegeben, die übliche Notation ist \vert\psi\rangle, vereinfacht wird auch oft nur \,\psi geschrieben. Dabei ist zu berücksichtigen, dass zwei verschiedene Vektoren genau dann denselben physikalischen Zustand bezeichnen, wenn sie sich nur um einen konstanten Zahlenfaktor unterscheiden. Eine unter vielen Möglichkeiten, \vert\psi\rangle zu repräsentieren, ist die Wellenfunktion \psi(\vec r) (die ganze Funktion, nicht nur ihr Wert an einem Ort \vec r), oft ebenfalls einfach als \,\psi geschrieben. Betrachtet man die zeitliche Entwicklung des Zustands, schreibt man \vert\psi(t)\rangle bzw. \psi(\vec r, t). Zwei Wellenfunktionen, die sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, geben denselben Zustand wieder.

Eine Observable wird allgemein durch einen Operator \hat O dargestellt, der auf einen Zustandsvektor wirkt und als Ergebnis einen neuen Vektor des Zustandsraums erzeugt: \hat O \vert\psi\rangle =\vert\phi\rangle. Falls   \vert\psi\rangle ein Eigenzustand dieser Observablen ist, gilt die Eigenwertgleichung \hat O \vert\psi\rangle =a \cdot \vert\psi\rangle. Darin ist der Faktor \,a der Eigenwert, also der für diesen Zustand eindeutig festgelegte Messwert der Observablen \hat O.

Deterministische Zeitentwicklung

Hauptartikel: Schrödingergleichung

Die Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines isolierten Systems erfolgt in der Quantenmechanik analog zur klassischen Mechanik durch eine Bewegungsgleichung, die Schrödingergleichung. Durch Lösung dieser Differentialgleichung lässt sich berechnen, wie sich die Wellenfunktion des Systems entwickelt:

\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \hat H \psi

mit dem Hamilton-Operator \hat H, der die Gesamtenergie des quantenmechanischen Systems beschreibt. Der Hamilton-Operator setzt sich zusammen aus einem Term für die kinetische Energie der Teilchen des Systems und einem zweiten Term, der im Falle mehrerer Teilchen die Wechselwirkungen zwischen ihnen beschreibt sowie im Fall externer Felder die potentielle Energie, wobei die externen Felder auch zeitabhängig sein können.

Die Zeitentwicklung des unbeobachteten quantenmechanischen Zustands ist also vollständig deterministisch.

Stationäre Zustände

Die stationären Zustände des (zeitunabhängigen) Systems sind die Eigenzustände zum Hamilton-Operator \hat H . Nur in ihnen hat das System eine wohldefinierte Energie \,E, eben den jeweiligen Eigenwert:

\hat H \psi = E \psi

Die Schrödingergleichung reduziert sich in diesem Fall auf

\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = E \psi

und hat die Lösung

\psi(t) = \psi(0)\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t}.

Die zeitliche Entwicklung drückt sich also einzig in einem zusätzlichen Exponentialfaktor aus, einem Phasenfaktor. Das bedeutet, dass der durch \,\psi(t) beschriebene Zustand derselbe ist wie \,\psi(0) − ein stationärer Zustand eben. Nur die quantenmechanische Phase ändert sich, und zwar mit der (Kreis-)Frequenz \omega =\tfrac{E}{\hbar}.

Interferenz

Datei:Doubleslitexperiment.svg
Doppelspaltexperiment mit Teilchen

Eine weitere wesentliche Eigenschaft der Wellenfunktion ist die quantenmechanische Interferenz. Aus der Linearität der Schrödingergleichung folgt das Superpositionsprinzip. Demnach ist, wenn \psi_1 und \psi_2 Lösungen derselben Schrödingergleichung sind, auch ihre Summe \psi_1+\psi_2 eine Lösung dieser Schrödingergleichung. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist proportional zum Betragsquadrat |\psi_1+\psi_2|^2. Diese Eigenschaft weist auch Licht auf, das zum Beispiel hinter einem Doppelspalt (siehe nächster Abschnitt) ein Interferenzmuster entstehen lässt. Die Quantenmechanik sagt dementsprechend für Teilchen ähnliche Interferenzerscheinungen wie für Licht voraus.

Das Doppelspaltexperiment zeigt sowohl die statistische Natur der Wellenfunktion als auch den Interferenzeffekt. Dabei werden mikroskopische „Teilchen“, zum Beispiel Elektronen, auf ein Hindernis mit zwei eng beieinander liegenden Spalten gesendet. Unter Annahme des klassischen Teilchenmodells würde man hinter den Spalten zwei klar voneinander abgetrennte „Peaks“ (Häufungen) in der Verteilung der nachgewiesenen Elektronen erwarten. Das kann man sich so vorstellen, als ob man Kugeln durch zwei Schlitze fallen ließe; diese werden zwei Haufen unter den Schlitzen bilden. Die tatsächlich beobachteten Messergebnisse stimmen insofern mit dem Teilchenmodell überein, als jedes Elektron auf dem Schirm zu einem einzelnen Leuchtpunkt führt (siehe Abbildung rechts).[13] Die wiederholte Ausführung des Experimentes macht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ortsmesswerte sichtbar. Sie weist ausgeprägte Interferenzmuster auf, die mit einem Teilchenmodell der Elektronen bei Beibehaltung der Grundlagen der klassischen Partikelmechanik unverträglich scheinen.

Messprozess

Datei:Tonomura e.jpg
Gemessenes Interferenzmuster von Elektronen hinter einem Doppelspalt

Die Tatsache, dass Messungen eindeutige Messergebnisse liefern können, scheint im Widerspruch zu den von der Quantenmechanik postulierten Gesetzmäßigkeiten der Zeitentwicklung des Systemzustands zu stehen: Einerseits erfolgt die Zeitentwicklung des Systemzustands strikt deterministisch, andererseits sind die Messergebnisse nur statistisch vorhersagbar. Einerseits sollen den Systemzuständen im Allgemeinen überlagerte Linearkombinationen von Eigenzuständen entsprechen, andererseits wird kein verwaschenes Bild mehrerer Werte gemessen, sondern stets eindeutige Werte. Eine der hauptsächlichen Herausforderungen für Interpretationen der Quantenmechanik ist es, diesen scheinbaren Widerspruch, das so genannte Messproblem, zu erklären.

Eine Klasse von Interpretationen, die sogenannten Kollaps-Theorien, zu welcher auch die sogenannte Kopenhagener Interpretation zählt, erklärt diese Sachverhalte mit einem Kollaps der Wellenfunktion, also einem Übergang des überlagerten Systemzustands in einen Eigenzustand der gemessenen Observablen. In den klassischen Formulierungen der Quantenmechanik erfolgt dieser Kollaps beim Vorgang des Messens. Dies ist nur eine Beschreibung in der Alltagssprache. Viele Physiker und Interpreten halten es dagegen für notwendig, in physikalischen Begriffen anzugeben, was genau eine „Messung“ ausmacht. Wenn nämlich die Quantenmechanik die zutreffende grundlegende Theorie über die Welt ist, müsste sie alle physikalischen Systeme – inklusive der Messvorrichtung selbst – beschreiben. Dann wird aber auch deren Zeitentwicklung strikt deterministisch beschrieben – bis zum Zeitpunkt einer Messung, womit sich das Problem wiederholt. Das Problem, wo die Grenze zwischen beschreibenden Quantensystemen und der „Messapparatur“ liegt, wird als Demarkationsproblem bezeichnet.

Die Kopenhagener Interpretation selbst erklärt die Kollapsverursachung und Demarkationsfragen nicht weiter: Eine Messung wird schlicht beschrieben als Interaktion eines Quantensystems mit einem Messgerät, das als klassisches physikalisches System aufgefasst wird.

Heisenbergsche Unschärferelation

Aus dem Kollaps der Wellenfunktion folgt, dass die Reihenfolge, in der Messungen durchgeführt werden, die Messergebnisse beeinflussen kann. Die Reihenfolge der Messungen zweier Observablen ist genau dann entscheidend, wenn sie verschiedene Eigenzustände haben. Der Endzustand einer exakten Messung ist immer ein Eigenzustand der Observablen, die zuletzt gemessen wurde. Für Observablen mit verschiedenen Eigenzuständen ergeben sich also je nach Reihenfolge der Messungen verschiedene Endzustände. Wenn die Eigenzustände zweier Observablen nicht einmal teilweise übereinstimmen, ist der Endzustand immer von der Reihenfolge der Messung abhängig. Solche Observablen werden komplementäre Observablen genannt. Ein Beispiel für komplementäre Observablen sind Ort und Impuls.

Die oben erklärte Komplementarität von Observablen ist eng verknüpft mit dem Unschärfeprinzip, das in Form der heisenbergschen Unschärferelation sehr bekannt ist. Nach der exakten Messung einer Observablen A ist das System in einem Eigenzustand von A, der kein Eigenzustand der komplementären Observablen B ist. Das Ergebnis einer folgenden Messung von B ist daher völlig unvorhersagbar und hängt nicht mehr vom Anfangszustand ab.

Eine reale Messung kann jedoch nicht völlig exakt sein. Der Endzustand der Messung ist daher kein reiner Eigenzustand der Observablen A. Das bedeutet, dass auch der Messwert von B nicht völlig unbestimmt ist und noch vom Anfangszustand abhängt. Wenn jedoch die Genauigkeit der ersten Messung immer weiter verbessert wird, ist die erreichbare Genauigkeit der Messung der komplementären Observablen immer kleiner. Für das Produkt der Unschärfen \Delta A und \Delta B gilt

\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{h}{4\pi}

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Selbst wenn beide Messgeräte sehr genau messen können, wird die Genauigkeit der zweiten Messung durch die erste Messung beschränkt. Für das Beispiel von Ort und Impuls bedeutet das, dass in der Quantenmechanik die Beschreibung eines Teilchens durch eine Bahnkurve nur mit begrenzter Genauigkeit möglich ist. Einen Sonderstatus nimmt in der Quantenmechanik die Unschärfe zwischen Energie und Zeit ein, da die Zeit in der Quantenmechanik keine Observable ist.

Tunneleffekt

Datei:EffetTunnel.gif
Durchtunneln und Reflexion an einer Potentialbarriere durch ein Elektron-Wellenpaket. Ein Teil des Wellenpaketes geht durch die Barriere hindurch, was nach der klassischen Physik nicht möglich wäre.

Der Tunneleffekt ist ein Quanteneffekt, der das Verhalten eines Quantenobjekts an einer Potentialbarriere beschreibt. Im Rahmen der klassischen Mechanik kann ein Teilchen eine solche Barriere nur überwinden, wenn seine Energie größer als die Barriere ist, andernfalls wird es reflektiert. Gemäß der Quantenmechanik kann das Teilchen hingegen die Barriere auch im klassisch verbotenen Fall mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit überwinden. Andererseits wird das Teilchen auch dann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit an der Barriere reflektiert, wenn seine Energie größer als die Barriere ist. Die Wahrscheinlichkeiten für das Tunneln bzw. für die Reflexion können bei bekannter Abstandsabhängigkeit der Potentialbarriere präzise berechnet werden.

Der Tunneleffekt hat eine große Bedeutung in verschiedenen Bereichen der Physik, wie zum Beispiel bei der Beschreibung des Alpha-Zerfalls, der Kernfusion oder der Feldemissions- und Rastertunnelmikroskopie.

Verschränkung, EPR-Experiment

Wenn zwei Quantensysteme miteinander in Wechselwirkung treten, müssen diese fortan als ein Gesamtsystem betrachtet werden. Die entsprechende Zusammensetzung des quantenmechanischen Zustandes des Gesamtsystems aus den Zuständen der beiden Teilsysteme wird als Verschränkung bezeichnet. Dies führt zu Korrelationen der physikalischen Eigenschaften der Teilsysteme. Die Verschränkung bleibt auch dann erhalten, wenn der Zeitpunkt der Wechselwirkung weit in der Vergangenheit liegt und die zwei Teilsysteme inzwischen weit voneinander entfernt sind. Es ist zum Beispiel möglich, ein Paar von Elektronen so zu präparieren, dass, wenn das eine Elektron mit dem Spin „up“ beobachtet wird, das andere Elektron am entfernten Standort den Spin „down“ aufweist, und umgekehrt. Diese Korrelationen sind auch beobachtbar, wenn erst nach der Wechselwirkung entschieden wird, welche Richtung als Up- bzw. Down-Achse definiert wird.

Das mit der Verschränkung verbundene Phänomen, dass die Durchführung von Messungen an einem Ort die Messergebnisse an einem (im Prinzip beliebig weit entfernten) anderen Ort beeinflusst, war einer der Gründe, weshalb Albert Einstein die Quantenmechanik ablehnte. Er betrachtete die Separierbarkeit physikalischer Systeme als ein fundamentales Prinzip und versuchte gemeinsam mit Boris Podolski und Nathan Rosen anhand des EPR-Gedankenexperimentes nachzuweisen, dass die Quantenmechanik entweder mit der Separierbarkeit als einem Grundprinzip der Relativitätstheorie kollidiert, oder dass sie unvollständig ist.[14] Dieses Gedankenexperiment erwies sich in seiner ursprünglichen Formulierung als nicht praktisch durchführbar, jedoch gelang es John Stewart Bell im Jahr 1964, die zentrale EPR-Prämisse der Existenz lokaler physikalischer Eigenschaften in der experimentell überprüfbaren Form der Bellschen Ungleichung zu formulieren. Alle bislang vorliegenden experimentellen Untersuchungen haben die Verletzung der Bellschen Ungleichung und damit die Voraussagen der Quantenmechanik bestätigt.[15]

Weiterhin zeigt die genaue theoretische Analyse des EPR-Effektes, dass dieser nicht im Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie steht, da auf diese Weise keine Information übertragen werden kann: Die einzelne Messung ergibt – unabhängig davon, ob das andere Teilchen bereits gemessen wurde – stets ein für sich genommen unvorhersagbares Ergebnis. Erst, wenn das Ergebnis der anderen Messung – durch klassische, unterlichtschnelle Kommunikation – bekannt ist, kann man die Korrelation feststellen oder ausnutzen.

Identische Teilchen, Pauli-Prinzip

Durch die prinzipielle Unmöglichkeit, den Zustand eines quantenphysikalischen Systems vollständig zu bestimmen, verliert eine Unterscheidung zwischen mehreren Teilchen mit gänzlich identischen intrinsischen Eigenschaften (wie beispielsweise Masse oder Ladung, nicht aber Energie oder Impuls) in der Quantenmechanik ihren Sinn. Im Rahmen der klassischen Mechanik können an mehreren identischen Teilchen simultan genaue Orts- und Impulsmessungen durchgeführt werden, womit – zumindest prinzipiell – deren zukünftiger Verlauf vorhersagbar ist und man durch eine erneute Messung von Ort und Impuls zu einem späteren Zeitpunkt jedes Teilchen eindeutig wieder zuordnen kann. Eine quantenmechanische Betrachtung lässt eine solche „Durchnummerierung“ einzelner identischer Teilchen nicht zu. Es ist also beispielsweise nicht möglich festzustellen, ob bei einem System mehrerer Elektronen zwei Messungen an einzelnen Teilchen (wie beispielsweise ihres Impulses oder ihrer Ladung) zu unterschiedlichen Zeitpunkten jeweils an denselben oder an unterschiedlichen Teilchen erfolgten.

Es kann gezeigt werden, dass der Zustand eines Vielteilchensystems identischer Partikel beim Vertauschen zweier Teilchen entweder genau gleich bleiben oder sein Vorzeichen wechseln muss. Teilchen, bei deren Vertauschung der Zustand gleich bleibt, bezeichnet man als Bosonen, Teilchen, bei denen der Zustand das Vorzeichen wechselt, als Fermionen. Das Spin-Statistik-Theorem besagt, dass alle Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen sind und Teilchen mit halbzahligem Spin Fermionen. Es lässt sich im Rahmen der Quantenfeldtheorie aus grundlegenden Eigenschaften der Theorie folgern.

Eine wichtige Konsequenz aus dem Vorzeichenwechsel beim Vertauschen von Fermionen ist die als „Pauliprinzip“ bekannte Regel, dass zwei identische Fermionen nicht die gleichen Einteilchenzustände einnehmen können. Dies ist von großer praktischer Bedeutung, da es bei der aus Atomen aufgebauten Materie die Mehrfachbesetzung elektronischer Zustände ausschließt und eine „Auffüllung“ der elektronischen Zustände bis zur Fermienergie erzwingt, wodurch komplexe chemische Verbindungen ermöglicht werden. Das Pauliprinzip bewirkt außerdem, dass sich die thermodynamischen Eigenschaften von Bosonen und Fermionen erheblich unterscheiden: Bosonen gehorchen der Bose-Einstein-Statistik, während die statistischen Eigenschaften von Fermionen durch die Fermi-Dirac-Statistik beschrieben werden.

Weiterführende Aspekte

Dekohärenz

Die Dekohärenz ist ein modernes Konzept der Quantenmechanik, das die äußerst effiziente Unterdrückung der Kohärenzeigenschaften makroskopischer Quantenzustände erklärt. Damit kann das „klassische“ Verhalten makroskopischer Systeme, die keine Superpositionseffekte zeigen, im Rahmen der Quantenmechanik erklärt werden. Sie ist damit heute ein wichtiger Bestandteil des Korrespondenzprinzips der Quantenmechanik.

Zur Veranschaulichung dieses Effektes sei das Beispiel eines Zeiger-Messinstrumentes betrachtet, welches das Ergebnis einer Messung an einem Zweizustandssystem (zum Beispiel den Zerfallszustand eines radioaktiven Atoms) über seine Zeigerposition anzeigt. In eine vollständige Beschreibung des Zeigerzustandes gehen die mikroskopischen Freiheitsgrade (zum Beispiel die elektronischen Zustände oder die Positionen) der einzelnen Atome ein. Diese Freiheitsgrade werden als „Umgebung“ bezeichnet. Da die Umgebung so viele Teilchen umfasst, ist die Dimension des Phasenraums der Umgebung, und damit auch deren Zustandsdichte enorm, sodass der Energieunterschied zwischen zwei benachbarten Zuständen äußerst gering ist.[16]

Bei Änderungen der Zeigerposition passt sich die Umgebung an die aufgezwungene Änderung an, wobei aufgrund der hohen Zustandsdichte und dem daher verfügbaren extrem niederenergetischen Anregungsspektrum bereits minimale Änderungen der Zeigerposition zu drastischen Änderungen der mikroskopischen Zustände führen. Eine genauere mathematische Analyse zeigt, dass dadurch nach einer kurzen, als Dekohärenzzeit bezeichneten Einschwingphase \tau_d die Interferenzterme der Zeigerzustände verschwinden und nur die „klassischen“ Zustände mit eindeutiger Zeigerstellung übrig bleiben. Die Dekohärenzzeit \tau_d ist bei makroskopischen Körpern im Allgemeinen unter Normalbedingungen äußerst kurz, die Dekohärenz gilt daher als der effizienteste bekannte physikalische Effekt.[17]

Die Dekohärenz ist für einige Interpretationen der Quantenmechanik, wie zum Beispiel die Viele-Welten-Interpretation oder die Consistent Histories Interpretation (vertreten u. a. von Murray Gell-Mann, Robert Griffiths, Roland Omnès)[18], von grundlegender Bedeutung, um den Messprozess als dynamischen Effekt zu deuten, der durch die Schrödingergleichung beschreibbar ist. Sie liefert in diesen Interpretationen eine Erklärung für das klassische Verhalten von makroskopischen Systemen und insbesondere Messgeräten.

Relativistische Quantenmechanik

Datei:Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
Feynman-Diagramme sind eine Notation für Teilchenreaktionen in der Quantenfeldtheorie

In den Anfangszeiten der Entwicklung der Quantenmechanik wurde die Theorie noch nicht unter Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie angewandt. Die Schrödingegleichung ist eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit, aber zweiter Ordnung in der Raumkoordinate, sie ist also nicht relativistisch kovariant.

Frühe Versuche, die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie zu verbinden, erfolgten durch Ersetzen der Schrödingergleichung durch kovariante Gleichungen wie die Klein-Gordon-Gleichung oder die Dirac-Gleichung. Diese Theorien sind jedoch insofern lückenhaft, als sie die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen nicht beschreiben können, einem bei relativistischen Energien allgegenwärtigen Effekt.

Als wesentlich fruchtbarer erwies sich die Entwicklung der Quantenfeldtheorie. In dieser Theorie werden sowohl materielle Objekte als auch deren Wechselwirkungen durch Felder beschrieben, die gemäß bestimmten Quantisierungsregeln, wie z.B. der zweiten Quantisierung, quantisiert werden. Die Quantenfeldtheorie beschreibt nicht nur die Entstehung und Vernichtung von Elementarteilchen (Paarerzeugung, Annihilation), sondern liefert auch eine tiefere Erklärung für deren Ununterscheidbarkeit, für den Zusammenhang zwischen Spin und Statistik von Quantenobjekten sowie für die Existenz von Antiteilchen.[19]

Interpretation

Die klassischen physikalischen Theorien, zum Beispiel die klassische Mechanik oder die Elektrodynamik, haben eine klare Interpretation, das heißt den Symbolen der Theorie (Ort, Geschwindigkeit, Kraft beziehungsweise Spannungen und Felder) ist eine intuitive, klare Entsprechung in Experimenten (also eine messbare Größe) zugeordnet. Da die Quantenmechanik in ihrer mathematischen Formulierung auf sehr abstrakten Objekten, wie etwa Wellenfunktionen basiert, ist eine Interpretation nicht mehr intuitiv möglich. Dennoch wurden seit dem Zeitpunkt der Entstehung der Theorie eine Reihe verschiedener Interpretationen vorgeschlagen, die sich in Ihren Aussagen über die Existenz von Quantenobjekten und ihren Eigenschaften unterscheiden.

Hierbei können die Standpunkte der meisten Interpretationen der Quantenmechanik grob in zwei Gruppen aufgeteilt werden, die instrumentalistische Position und die realistische Position.[20] Gemäß der instrumentalistischen Position stellen die Quantenmechanik beziehungsweise die auf Basis der Quantenmechanik ausgearbeiteten Modelle keine Abbildungen der „Realität“ dar. Vielmehr handele es sich bei dieser Theorie lediglich um einen nützlichen mathematischen Formalismus, der sich als Werkzeug zur Berechnung von Messergebnissen bewährt hat. Diese ursprünglich insbesondere von Bohr vertretene pragmatische Sicht dominierte bis in die 1960er Jahre die Diskussion um die Interpretation der Quantenmechanik und prägt bis heute viele gängige Lehrbuchdarstellungen.[21]

Neben dieser pragmatischen Variante der Kopenhagener Interpretation existiert heute eine Vielzahl alternativer Interpretationen, die bis auf wenige Ausnahmen das Ziel einer realistischen Deutung der Quantenmechanik verfolgen. In der Wissenschaftstheorie wird eine Interpretation als wissenschaftlich-realistisch bezeichnet, wenn sie davon ausgeht, dass die Objekte und Strukturen der Theorie treue Abbildungen der Realität darstellen, und dass sowohl ihre Aussagen über beobachtbare Phänomene, als auch ihre Aussagen über nicht beobachtbare Entitäten als (näherungsweise) wahr angenommen werden können.

In vielen Arbeiten zur Quantenphysik wird Realismus gleichgesetzt mit dem Prinzip der Wert-Definiertheit.[22][23] Dieses Prinzip basiert auf der Annahme, dass einem physikalischen Objekt physikalische Eigenschaften zugeordnet werden können, die es eindeutig entweder hat oder nicht hat. Beispielsweise spricht man bei der Beschreibung der Schwingung eines Pendels davon, dass das Pendel (zu einem bestimmten Zeitpunkt, und innerhalb einer gegebenen Genauigkeit) eine Auslenkung x hat.

In der Kopenhagener Interpretation wird die Annahme der Wertdefiniertheit aufgegeben. Ein Quantenobjekt hat demnach im Allgemeinen keine Eigenschaften, vielmehr entstehen Eigenschaften erst im Moment und im speziellen Kontext der Durchführung einer Messung. Die Schlussfolgerung, dass die Wertdefiniertheit aufgegeben werden muss, ist allerdings weder aus logischer noch aus empirischer Sicht zwingend. So geht beispielsweise die (empirisch von der orthodoxen Interpretation nicht unterscheidbare) de-Broglie-Bohm-Theorie davon aus, dass Quantenobjekte Teilchen sind, die sich entlang wohldefinierter Bahnkurven bewegen.

Zusammenhänge mit anderen physikalischen Theorien

Klassischer Grenzfall

Niels Bohr formulierte 1923 das sogenannte Korrespondenzprinzip, wonach die Eigenschaften von Quantensystemen im Grenzwert großer Quantenzahlen (insbesondere im Grenzwert großer Teilchenzahlen) mit hoher Genauigkeit den Gesetzen der klassischen Physik entsprechen. Dieser Grenzwert bei großen Systemen wird als „klassischer Grenzfall“ oder „Korrespondenz-Limit“ bezeichnet. Hintergrund dieses Prinzips ist die Erfahrungstatsache, dass viele makroskopische Systeme (Federn, Kondensatoren etc.) sehr genau durch klassische Theorien wie die klassische Mechanik oder die klassische Elektrodynamik beschrieben werden können. Daraus resultiert die Erwartung, dass die Quantenmechanik im Falle „großer“ Systeme diese klassischen Eigenschaften reproduziert beziehungsweise ihnen nicht widerspricht.

Ein wichtiges Beispiel für diesen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik ist das Ehrenfestsche Theorem. Es besagt, dass sich die Mittelwerte der quantenmechanischen Orts- und Impulsobservablen eines Teilchen in guter Näherung durch die klassischen Bewegungsgleichungen beschreiben lassen, sofern es Kräften unterworfen ist, die nur wenig von der Position abhängen.

Das Korrespondenzprinzip ist daher ein wichtiges Hilfsmittel bei der Konstruktion und Verifikation quantenmechanischer Modellsysteme: Zum Einen liefern „klassische“ Modelle mikroskopischer Systeme wertvolle heuristische Anhaltspunkte zur quantenmechanischen Beschreibung des Systems. Zum Anderen kann die Berechnung des klassischen Grenzfalls zur Plausibilisierung der quantenmechanischen Modellrechnungen herangezogen werden. Sofern sich im klassischen Grenzfall physikalisch unsinnige Resultate ergeben, kann das entsprechende Modell verworfen werden.

Umgekehrt bedeutet diese Korrespondenz aber auch, dass die korrekte quantenmechanische Beschreibung eines Systems, inklusive einiger nicht-klassischer Effekte wie etwa des Tunneleffekts, oft näherungsweise mittels klassischer Begriffe möglich ist; solche Näherungen erlauben oft ein tieferes Verständnis der quantenmechanischen Systeme. Man spricht hier auch von semiklassischer Physik. Beispiele für semiklassische Beschreibungen sind die WKB-Näherung und die Gutzwillersche Spurformel.

Demgegenüber gibt es auch Systeme mit einem ausgeprägt quantenmechanischen Verhalten, welches selbst bei stärkster Annäherung an den Gültigkeitsbereich der klassischen Physik nicht in den klassischen Grenzfall übergeht. Ein Beispiel ist die Verdoppelung der Wahrscheinlichkeit einer Ablenkung um 90° beim Stoß (neben weiteren Interferenzerscheinungen in der Winkelverteilung), ganz gleich, wie gering die Energie der Teilchen ist und wie nahe sie sich kommen, wenn es sich nur um zwei gleiche Bosonen (z.B. α-Teilchen) handelt.

Verhältnis zur Allgemeinen Relativitätstheorie

Hauptartikel: Quantengravitation

Da die Gravitationskraft im Vergleich zu den anderen Grundkräften der Physik sehr schwach ist, treten allgemein-relativistische Effekte hauptsächlich bei massiven Objekten, wie z.B. Sternen oder schwarzen Löchern auf, während Quanteneffekte überwiegend bei mikroskopischen Systemen beobachtet werden. Daher gibt es nur wenige empirische Daten zu Quanteneffekten, die durch die Gravitation verursacht sind. Zu den wenigen verfügbaren experimentellen Ergebnissen gehört der Nachweis diskreter gebundener Zustände von Neutronen im Gravitationsfeld.[24][25]

Die oben genannten Experimente können im Rahmen der nicht-relativistischen Quantenmechanik beschrieben werden, indem für den Potentialterm der Schrödingergleichung das Gravitationspotential verwendet wird.[24] Die Gravitation wird hier als klassisches (also nicht quantisiertes) Feld betrachtet, eine Vereinheitlichung der Gravitation mit den übrigen drei Grundkräften der Physik, die in ihrer allgemeinsten Form als Quantenfeldtheorien formuliert sind, lässt sich auf diesem Weg also nicht erreichen. Die Vereinheitlichung der Quantentheorie mit der allgemeinen Relativitätstheorie ist ein aktuelles Forschungsthema; der aktuelle Stand ist im Artikel Quantengravitation beschrieben.

Anwendungen

Quantenphysikalische Effekte spielen bei zahlreichen Anwendungsfällen der modernen Technik eine wesentliche Rolle. Beispiele sind der Laser, das Elektronenmikroskop, die Atomuhr oder in der Medizin die bildgebenden Verfahren auf Basis von Röntgenstrahlung bzw. Kernspinresonanz. Die Untersuchung von Halbleitern führte zur Erfindung der Diode und des Transistors, ohne die die moderne Elektronik nicht möglich ist. Auch bei der Entwicklung von Kernwaffen spielen die Konzepte der Quantenmechanik eine wesentliche Rolle.

Bei der Erfindung beziehungsweise Entwicklung dieser und zahlreicher weiterer Anwendungen kommen die Konzepte und der mathematische Formalismus der Quantenmechanik jedoch nur selten direkt zum Einsatz (eine bemerkenswerte Ausnahme sind die aktuellen Arbeiten zur Entwicklung eines Quantencomputers). In der Regel sind hierfür die anwendungsnäheren Konzepte, Begriffe und Regeln der Festkörperphysik, der Chemie, der Materialwissenschaften oder der Kernphysik von größerer praktischer Bedeutung. Die Relevanz der Quantenmechanik ergibt sich hingegen aus der überragenden Bedeutung, die diese Theorie bei der Formulierung des theoretischen Fundamentes vieler wissenschaftlicher Disziplinen hat.

Im Folgenden sind einige Beispiele für Anwendungen der Quantenmechanik beschrieben:

Atomphysik und Chemie

Datei:Hydrogen eigenstate n5 l3 m-2.png
5f-2-Orbital des Wasserstoffatoms.

Die chemischen Eigenschaften aller Stoffe sind ein Ergebnis der elektronischen Struktur der Atome und Moleküle, aus denen sie aufgebaut sind. Grundsätzlich lässt sich diese elektronische Struktur durch Lösung der Vielteilchen-Schrödingergleichung für alle involvierten Atomkerne und Elektronen quantitativ berechnen. Es zeigt sich jedoch in der Praxis, dass einerseits die Durchführung der entsprechenden Berechnungen enorm aufwändig ist, andererseits jedoch zur Vorhersage und Beschreibung vieler chemischer Eigenschaften die Verwendung vereinfachter Modelle und Regeln völlig ausreichend ist. Bei der Formulierung dieser vereinfachten Modelle kommt der Quantenmechanik eine wichtige Bedeutung zu.

Ein in der Chemie besonders häufig verwendetes Modell ist das Orbitalmodell. Bei diesem Modell wird der Vielteilchenzustand der Elektronen der betrachteten Atome durch eine Summe der Einteilchenzustände der Elektronen gebildet. Das Modell beinhaltet verschiedene Näherungen (unter anderem: Vernachlässigung der Coulomb-Abstoßung der Elektronen untereinander, Entkopplung der Bewegung der Elektronen von der Kernbewegung), erlaubt jedoch eine näherungsweise korrekte Beschreibung der Energieniveaus des Atoms. Der Vorteil dieses Modells liegt neben der vergleichsweise einfachen Berechenbarkeit insbesondere in der anschaulichen Aussagekraft sowohl der Quantenzahlen als auch der grafischen Darstellung der Orbitale.

Das Orbitalmodell erlaubt die Klassifizierung von Elektronenkonfigurationen nach einfachen Aufbauregeln (Hundsche Regeln). Auch die Regeln zur chemischen Stabilität (Oktettregel / Edelgasregel / Magische Zahlen) und die Systematik des Periodensystems der Elemente lassen sich durch dieses quantenmechanische Modell rechtfertigen.

Durch Linearkombination mehrerer Atom-Orbitale lässt sich die Methode auf sogenannte Molekülorbitale erweitern, wobei Rechnungen in diesem Fall wesentlich aufwändiger werden, da Moleküle keine Kugelsymmetrie aufweisen. Die Berechnung der Struktur und der chemischen Eigenschaften komplexer Moleküle auf Basis von Näherungslösungen der Schrödingergleichung ist der Gegenstand der Molekularphysik. Dieses Gebiet legte den Grundstein für die Etablierung der Quantenchemie beziehungsweise der Computerchemie als Teildisziplinen der theoretischen Chemie.


Kernphysik

Hauptartikel: Atomkern
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Einfaches Modell des Alphazerfalls: Im Inneren des Kerns verbinden sich Nukleonen zu Alphateilchen, die den Coulombwall durch Tunneln überwinden können.

Die Kernphysik ist ein weiteres großes Anwendungsgebiet der Quantentheorie. Atomkerne sind aus Nukleonen zusammengesetzte Quantensysteme mit einer sehr komplexen Struktur. Bei ihrer theoretischen Beschreibung kommen -abhängig von der konkreten Fragestellung- eine Reihe konzeptionell sehr unterschiedlicher Kernmodelle zur Anwendung, die in der Regel auf der Quantenmechanik oder der Quantenfeldtheorie basieren.[26][27] Im Folgenden sind einige wichtige Anwendungsfälle der Quantenmechanik in der Kernphysik aufgeführt:

  • Einteilchenmodelle gehen davon aus, dass sich die Nukleonen innerhalb des Atomkerns frei bewegen können. Der Einfluss der anderen Nukleonen wird durch ein mittleres Kernpotential beschrieben. Beispiele: Schalenmodell, Fermigasmodell.
  • Clustermodelle beschreiben Kerne als Aggregate von kleinen Nukleonen-Clustern, insbesondere Alphateilchen, die sich durch eine hohe Bindungsenergie auszeichnen.[28] Zu den physikalischen Prozessen, die mit diesem Modell erklärt werden können, zählt der Alphazerfall: Bestimmte instabile Kerne, wie z.B. {}^{238}_{92} \mathrm {U} zerfallen durch Emission von Alphateilchen, wobei die Zerfallswahrscheinlichkeit quantenmechanisch durch den Tunneleffekt beschrieben werden kann.
  • Die quantenmechanische Streutheorie ist die Grundlage zur Berechnung von Streuquerschnitten, die einen Vergleich von Modellrechnungen und den Ergebnissen von Streuexperimenten ermöglichen. Ein häufig verwendetes Näherungsverfahren ist Fermis goldene Regel, die die Übergangsrate (Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit) eines Anfangszustands in einen anderen Zustand unter dem Einfluss einer Störung beschreibt.

Festkörperphysik

Datei:Band structure Si schematic.svg
Bandstruktur von Silicium entlang den Symmetrierichtungen.

Die Vielzahl prinzipiell möglicher chemischer Zusammensetzungen von kondensierter Materie -also von makroskopischer Materie im festen oder flüssigen Zustand- und die große Anzahl an Atomen, aus welchen kondensierte Materie besteht, spiegelt sich in einer großen Vielfalt von Materialeigenschaften wider (siehe Hauptartikel Materie). Die meisten dieser Eigenschaften lassen sich nicht im Rahmen der klassischen Physik beschreiben, während sich quantenmechanische Modelle kondensierter Materie als überaus erfolgreich erwiesen haben.

Aufgrund der großen Anzahl beteiligter Teilchen ist eine direkte Lösung der Schrödingergleichung für alle mikroskopischen Komponenten eines makroskopischen Stückes Materie weder möglich noch sinnvoll. Stattdessen werden Modelle und Lösungsverfahren angewendet, die an die zugrundeliegende Materiegattung (Metall, Halbleiter, Ionenkristall etc.) und an die zu untersuchenden Eigenschaften angepasst sind. In den gängigen Modellen kondensierter Materie sind Atomkerne und Elektronen die relevanten Grundbausteine kondensierter Materie. Hierbei werden in der Regel Atomkerne und innere Elektronen zu einem Ionenrumpf zusammengefasst, wodurch sich die Anzahl der im Modell zu berücksichtigenden Komponenten und Wechselwirkungen stark reduziert. Von den 4 Grundkräften der Physik wird lediglich die elektromagnetische Wechselwirkung berücksichtigt, die Gravitation und die Kernkräfte sind hingegen für die in der Physik kondensierter Materie betrachteten Effekte und Energieskalen irrelevant.

Trotz dieser Vereinfachungen handelt es sich bei Modellen kondensierter Materie um komplexe quantenmechanische Vielteilchenprobleme, wobei insbesondere die Berücksichtigung der Elektron-Elektron-Wechselwirkung eine Herausforderung darstellt. Für viele Anwendungszwecke, wie z.B. die Berechnung der Ladungsverteilung, des Phononenspektrums oder der strukturellen Eigenschaften, ist die Berechnung des elektronischen Grundzustandes ausreichend. In diesem Fall kann das elektronische Vielteilchenproblem unter Anwendung der Dichtefunktionaltheorie oder anderer Verfahren als ein effektives Einteilchenproblem umformuliert werden, welches heute routinemäßig auch für komplexe Systeme berechnet werden kann.[29]

Häufig sind neben den Grundzustandseigenschaften auch die elementaren Anregungen kondensierter Materie von Interesse. Beispielsweise basieren alle experimentellen Methoden der Festkörperspektroskopie auf dem Prinzip, dass durch einen externen Stimulus (z.B. Licht oder Neutronen) bestimmte Freiheitsgrade einer Probe angeregt bzw. abgeregt werden. Bei den elementaren Anregungen handelt es sich um kollektive quantenmechanische Effekte, denen -ähnlich einem freien Quantenobjekt- eine Energie und eine Wellenlänge bzw. ein Wellenvektor zugeordnet werden kann, weshalb sie auch als Quasiteilchen bezeichnet werden. Beispiele sind das Phonon (Energiequant der Gitterschwingung), oder das Exciton (Elektron-Loch-Paar). Quasiteilchen verschiedener Typen können miteinander wechselwirken und so aneinander streuen oder sich verbinden und neue Quantenobjekte mit Eigenschaften bilden, die sich drastisch von den Eigenschaften freier Elektronen unterscheiden. Ein bekanntes Beispiel sind die Cooper-Paare, die gemäß der BCS-Theorie die Supraleitung von Metallen ermöglichen.

Quanteninformatik

Von aktuellem Interesse ist die Suche nach robusten Methoden zur direkten Manipulation von Quantenzuständen.[30] Es werden zurzeit größere Anstrengungen unternommen, einen Quantencomputer zu entwickeln, welcher durch Ausnutzung der verschiedenen Eigenzustände und der Wahrscheinlichkeitsnatur eines quantenmechanischen Systems hochparallel arbeiten würde.[30] Einsatzgebiet eines solchen Quantenrechners wäre beispielsweise das Knacken moderner Verschlüsselungsmethoden. Im Gegenzug hat man mit der Quantenkryptographie ein System zum theoretisch absolut sicheren Schlüsselaustausch gefunden, in der Praxis ist diese Methode häufig etwas abgewandelt und unsicherer, da es hier auch auf die Übertragungsgeschwindigkeit ankommt. Ein weiteres aktuelles Forschungsgebiet ist die Quantenteleportation, die sich mit Möglichkeiten zur Übertragung von Quantenzuständen über beliebige Entfernungen beschäftigt.[31]

Rezeption

Physik

Zwei Jahre nach den ersten Veröffentlichungen hatte sich die Quantenmechanik in der Kopenhagener Interpretation durchgesetzt. Als wichtiger Meilenstein gilt die fünfte Solvay-Konferenz im Jahr 1927. Rasch erlangte die Theorie den Status einer zentralen Säule im Theoriengebäude der Physik.[32] Im Hinblick auf ihre Leistungsfähigkeit bei konkreten Anwendungen (jedoch nicht im Hinblick auf ihre Interpretation, siehe oben) ist die Quantenmechanik bis heute praktisch unumstritten. Zwar existieren eine Reihe alternativer, empirisch nicht-äquivalenter Theorien, wie z.B. die Familie der Dynamischer-Kollaps-Theorien oder die Nichtgleichgewichts-Versionen der De-Broglie-Bohm-Theorie, jedoch haben diese Theorien gegenüber der Quantenmechanik nur eine marginale Bedeutung.[33]

Für die Entwicklung der Quantenmechanik wurden mehrere Nobelpreise der Physik vergeben:

Jahr Name Begründung für die Preisvergabe
1932 Werner Heisenberg
(verliehen 1933)
„für die Begründung der Quantenmechanik, deren Anwendung zur Entdeckung
der allotropen Formen des Wasserstoffs geführt hat“
1933 Erwin Schrödinger und
P. A. M. Dirac
„für die Entdeckung neuer produktiver Formen der Atomtheorie“
1954 Max Born „für seine grundlegenden Forschungen in der Quantenmechanik,
besonders für seine statistische Interpretation der Wellenfunktion

Populärwissenschaftliche Darstellungen

Datei:The Tao of Physics by Fritjof Capra.jpg
F. Capras Buch Das Tao der Physik verbindet Konzepte der Quantenmechanik mit fernöstlichem Mystizismus.

Bereits kurz nach Begründung der Quantenmechanik veröffentlichten verschiedene Quantenphysiker, wie z.B. Born, de Broglie, Heisenberg oder Bohr eine Reihe semi-populärwissenschaftlicher Bücher, die sich insbesondere mit philosophischen Aspekten der Theorie befassten.[34] Der Physiker G. Gamov veranschaulichte in seinem Buch „Mr. Tompkins Explores the Atom“ die Eigenschaften von Quantenobjekten, indem er seinen Protagonisten verschiedene Abenteuer in einer fiktiven Quantenwelt erleben lässt. Auch die 1964 veröffentlichten Feynman-Vorlesungen über Physik wurden in hohen Stückzahlen verkauft. [35] Allerdings erreichten Publikationen über die Quantenmechanik bis in die 1970er Jahre bei weitem nicht das Maß an öffentlicher Wahrnehmung, welches beispielsweise der Relativitätstheorie und der Kosmologie zuteil wurde. Weiterhin prägten insbesondere die praktischen Auswirkungen der Kernphysik, wie z.B. die Risiken von Kernwaffen und Kernenergie, die öffentliche Diskussion über die moderne Physik.[34]

Mit dem Aufkommen der New Age Gegenkultur ab Anfang der 1970er Jahre ging ein verstärktes Interesse an populärwissenschaftlicher Literatur einher, die Verbindungen zwischen der Quantenmechanik, dem menschlichen Bewusstsein und fernöstlicher Religion herstellte.[36] Bücher wie F. Capras „Tao der Physik“ oder G. Zukavs „Dancing Wu Li Masters“ wurden Bestseller.[37] Die Quantenmechanik -so eine Kernaussage dieser Bücher- enthalte holistische und mystische Implikationen, die eine Verbindung von Spiritualität, Bewusstsein und Physik zu einem „organischen“ Weltbild nahelegten.[36][38]

Ab den 1980er Jahren erlebte der Markt für populärwissenschaftliche Literatur zur Quantenmechanik einen weiteren kräftigen Aufschwung, und das Wort „Quanten“ entwickelte sich zu einem in vielen Kompositionen verwendeten Modewort.[39] Die veröffentlichten Bücher umfassten ein breites Themenspektrum, welches von allgemeinverständlichen Darstellungen über weitere Bücher zu dem Themenkomplex „Quantenmechanik und Bewusstsein“ bis hin zu Themen wie dem „Quantum Learning“, „Quantum Golf“ oder den „Quantum Carrots“ reichte.[40] Auch in Film und Fernsehen wurde die Quantenmechanik gelegtlich in populärwissenschaftlicher Form dargestellt, z.B. in Sendungen des Physikers H. Lesch oder in dem Film What the Bleep do we (k)now!?.

Die Literaturwissenschaftlerin E. Leane kommt zu einer zwiespältigen Bewertung des Genres. Einerseits misst sie ihm pädagogische Bedeutung bei der allgemeinverständlichen Darstellung von Wissenschaft bei. Andererseits weist sie auf das Problem von Bedeutungsverschiebungen hin, die durch die Verwendung von Metaphern und „fiktionalen Techniken“ erzeugt werden.[41] Am Beispiel von Zukavs „Dancing Wu Li Masters“, einem der meistverkauften und am häufigsten zitierten populärwissenschaftlichen Bücher zur Quantenmechanik[42], zeigt sie eine rhetorische Umdeutung der Quantenmechanik zur Unterstützung eines anthropozentrischen Weltbildes auf.[43] Der Soziologe S. Restivo weist auf prinzipielle linguistische und konzeptionelle Probleme bei Versuchen hin, Quantenmechanik umgangssprachlich zu beschreiben und mit Mystik zu verbinden.[44] Viele Physiker, wie z.B. J. S. Bell, M. Gell-Mann oder V. Stenger, lehnen Hypothesen, die Verbindungen zwischen Quantenmechanik und Bewusstsein herstellen, als spekulativ ab.[45][46][47]

Kunst

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Quantum Man (2006), J. Voss-Andreae.
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Quantum Corral (2009), J. Voss-Andreae.

Die Quantenmechanik wurde und wird in der Kunst, insbesondere in der Belletristik, aber auch in der bildenden Kunst und punktuell im Theater, wahrgenommen und künstlerisch verarbeitet.

Die Literaturwissenschaftlerin E. Emter weist Rezeptionsspuren der Quantentheorie in Texten von R. Musil („Der Mann ohne Eigenschaften“), H. Broch, E. Jünger, G. Benn, Carl Einstein und B. Brecht nach, wobei sich ihre Studie auf den deutschen Sprachraum und den Zeitraum von 1925 bis 1970 beschränkt.[48][49]

In den letzten Jahren erlangten Arbeiten von Bildhauern Aufmerksamkeit, die Quantenobjekte als Skulpturen darstellen.[50] Der Bildhauer J. Voss-Andreae geht davon aus, dass Kunst, die nicht an die Textform gebunden ist, Möglichkeiten zur Darstellung von Realität hat, die der Wissenschaft nicht zur Verfügung stehen.[51] Ein Beispiel ist seine Skulptur „Quantum Man“ (siehe Abbildung rechts), die von Kommentatoren als Symbolisierung des Welle-Teilchen-Dualismus und der Beobachterperspektive interpretiert wird.[51] Weitere bekannte Beispiele für künstlerische Darstellungen von Quantenobjekten sind die Skulpturen „Quantum Corral“ und die „Spin Family“ des gleichen Künstlers sowie die „Quantum Cloud“ von A. Gormley.[51]

Auch einige Theaterstücke thematisieren die Quantenmechanik, so z.B. Tom Stoppards Bühnenstück „Hapgood“, oder das Stück „QED“ des US-amerikanischen Dramatikers P. Parnell.[52] In seinem Bühnenstück Kopenhagen überträgt der Schriftsteller M. Frayn das Heisenbergsche Unschärfeprinzip in ein Unschärfeprinzip des menschlichen Verhaltens.[53]

Literatur

Standard-Lehrbücher

Allgemeinverständliche Einführungen

  • Tony Hey und Patrick Walters: Das Quantenuniversum. ISBN 3-8274-0315-4
  • Anton Zeilinger: Einsteins Schleier, Die neue Welt der Quantenphysik. Goldmann, 2003, ISBN 3-442-15302-6
  • Silvia Arroyo Camejo: Skurrile Quantenwelt. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-29720-0
  • Gert-Ludwig Ingold: Quantentheorie. C.H.Beck, München 2002, ISBN 3-406-47986-3
  • Claus Kiefer: Quantentheorie. S. Fischer, Frankfurt a.M. 2002, ISBN 3-596-15356-5
  • Transnational College of Lex: What is Quantum Mechanics? A Physics Adventure. Language Research Foundation, Boston 1996, ISBN 0-9643504-1-6 (Das Buch mit 566 Seiten ist Teil eines japanischen Projektes, in dem gleichzeitig naturwissenschaftliche und sprachliche Kenntnisse – hier Englisch – vermittelt werden sollen.)

Anwendungen

Atomphysik und theoretische Chemie:

  • A. Szabo, N. S. Ostlund: Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory, Dover Publications, 1996, ISBN 0-486-69186-1.
  • P. W. Atkins, R. S. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 4. Aufl., Oxford University Press, Oxford, 2004, ISBN 0-19-927498-3.
  • W. Kutzelnigg, Einführung in die Theoretische Chemie, Wiley-VCH, Weinheim, 2002, ISBN 3-527-30609-9.
  • J. Reinhold, Quantentheorie der Moleküle, 3. Aufl., Teubner, 2006, ISBN 3-8351-0037-8.

Kernphysik:

  • B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche, Teilchen und Kerne: Eine Einführung in die physikalischen Konzepte, Springer, 8. Auflage, 2009, ISBN 978-3-540-68075-8.
  • N. D. Cook, Models of the Atomic Nucleus, 2. Aufl., Springer, 2010, ISBN 3-6421-4736-4.

Physik kondensierter Materie:

  • S. G. Louie, M. L. Cohen, Conceptual Foundations of Materials: A Standard Model for Ground- and Excited-State Properties, Elsevier, 2006, ISBN 0-444-50976-3.

Quanteniformatik:

  • M. A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-63503-9.

Interpretationen der Quantenmechanik

  • David Albert: Quantum Mechanics and Experience, Cambridge, MA: Harvard University Press 1992 Zugleich eine sehr gut und leicht lesbare Einführung mit sehr einfachen Modellen.
  • Kurt Baumann, Roman U. Sexl: Die Deutungen der Quantentheorie – 3., überarbeitete Aufl. Vieweg, Braunschweig 1987. (Facetten der Physik ; Band 11) Kritische Überlegungen, ergänzt mit berühmten Originalabhandlungen (in deutscher Übersetzung) von Max Born, Werner Heisenberg, Albert Einstein, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Wladimir Fock, David Bohm, John Stewart Bell, Bryce DeWittISBN 3-528-28540-0
  • John Stewart Bell: Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Cambridge University Press, Cambridge 1988 bündelt Bells Originalaufsätze; für Interpretationsfragen wichtig u.a. die Texte zur Bohmschen Interpretation, größtenteils physikalisch voraussetzungsreich
  • Jeffrey Bub: Interpreting the Quantum World, Cambridge University Press, Cambridge 1997.
  • Jeffrey Bub: The Interpretation of Quantum Mechanics, Reidel, Dordrecht 1974.
  • Nancy Cartwright: Another Philosopher Looks at Quantum Mechanics, or: What Quantum Theory is NotInstrumentalistische Reaktion auf Putnam 2005: Quantenmechanik kann als „lebende und arbeitende Theorie“ uninterpretiert bleiben.
  • Hong Dingguo: On the Neutral Status of QM in the Dispute of Realism vs. Anti-Realism, in: Cohen, Robert S / Hilpinen, Risto / Renzong, Qiu (Hgg.): Realism and Anti-Realism in the Philosophy of Science. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers 1996, 307-316
  • Peter Forrest: Quantum metaphysics. Oxford: Blackwell 1988, ISBN 0-631-16371-9 Diskussion realistischer metaphysischer Interpretationsoptionen
  • Bas van Fraassen: Quantum Mechanics, An Empiricist View, Oxford University Press, Oxford 1991, ISBN 0-19-823980-7 Ausgearbeitete antirealistische Interpretation aus der Position des konstruktiven Empirismus
  • R. I. G. Hughes: The structure and interpretation of quantum mechanics. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Pr. 1989, ISBN 0-674-84391-6 Zugleich eine vollwertige, aber nur Schulmathematik voraussetzende Einführung in die Theorie
  • E. Joos et al.: Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory. Berlin: Springer 2003, ISBN 3-540-00390-8 Ausführliche Diskussion des klassischen Grenzfalls und dessen Relevanz für die Interpretation der Quantentheorie
  • Tim Maudlin: Quantum Non-Locality and Relativity. Blackwell, Oxford U. K. and Cambridge MA 1994.
  • Hilary Putnam: A Philosopher Looks at Quantum Mechanics (Again), in: The British Journal for the Philosophy of Science 56/4 (2005), 615-634 Ablehnung „kopenhagener“ Interpretationen als bloßen Zurückweisungen eines wissenschaftlichen Realismus und der statistischen Interpretation (Born), Diskussion der wichtigsten verbleibenden realistischen Optionen: spontaner Kollaps (GRW) und Bohm
  • Michael Redhead: Incompleteness, nonlocality and realism: a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics. Oxford: Clarendon Pr. 1987, ISBN 0-19-824937-3 Eines der wichtigsten weiterführenden Werke, inklusive einer knappen Darstellung der Theorie
  • Hans Reichenbach: Philosophic Foundations Of Quantum Mechanics, University Of California Press 1944.
  • Pieter E. Vermaas: A Philosopher's Understanding of Quantum Mechanics. Possibilities and Impossibilities of a Modal Interpretation, Delft University of Technology / Cambridge University Press 1999. Nach kurzer Einführung in den Formalismus ähnlich von Neumann ausführliche Darstellung und Diskussion verschiedener Varianten modaler Interpretationen, u.a. van Fraassens, Bubs; Verteidigung einer Variante von Dieks-Kochen.
  • John Archibald Wheeler (Hg.): Quantum theory and measurement Princeton, NJ : Princeton Univ. Pr. 1983, ISBN 0-691-08315-0 Standard-Handbuch mit den wichtigsten Texten aus der Interpretationsgeschichte, umfangreicher und aktueller als Sexl / Baumann.

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Weblinks

Wikibooks Wikibooks: Quantenmechanik – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

  1. Vgl. Max Planck: The origin and development of the quantum theory. Oxford, The Clarendon press 1922. Armin Hermann: Von Planck bis Bohr – Die ersten fünfzehn Jahre in der Entwicklung der Quantentheorie. In: Angewandte Chemie. Band 82, Nr. 1, 1970, S. 1–7, ISSN 0044-8249. Cathryn Carson: The Origins of the Quantum Theory. In: Beam Line (Stanford Linear Accelerator Center). Band 30, Nr. 2, 2000, S. 6–19.
  2. L. de Broglie: Recherches sur la théorie des Quanta. Doktorarbeit. Engl. Übersetzung (übers. A.F. Kracklauer): Ann. de Phys., 10. Serie, Band III, 1925
  3. G. P. Thomson: The Diffraction of Cathode Rays by Thin Films of Platinum. In: Nature. Band 120, 1927, S. 802
  4. C. Davisson und L. H. Germer: Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel In: Physical Review. Band 30, Nr. 6, 1927 doi:10.1103/PhysRev.30.705
  5. W. Heisenberg: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. In: Zeitschrift für Physik. Band 33, 1925, S. 879–893.
  6. M. Born und P. Jordan: Zur Quantenmechanik. In: Zeitschrift für Physik. Band 34, 1925, S. 858
  7. M. Born, W. Heisenberg und P. Jordan: Zur Quantenmechanik II. In: Zeitschrift für Physik. Band 35, 1926, S. 557
  8. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem I. In: Annalen der Physik. Band 79, 1926, S. 361–376. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem II. In: Annalen der Physik. Band 79, 1926, S. 489–527. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem III. In: Annalen der Physik. Band 80, 1926, S. 734–756. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem IV. In: Annalen der Physik. Band 81, 1926, S. 109–139
  9. E. Schrödinger: Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen. In: Annalen der Physik. Band 79, 1926, S. 734–756.
  10. P. A. M. Dirac: Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press, 1958, 4th. ed, ISBN 0-19-851208-2
  11. John von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer Berlin, 1996, 2. Auflage. Engl. (autorisierte) Ausg. (übers. R. T. Beyer): Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton Univ. Press, 1955 (dort p. 28 sqq.)
  12. M. Planck, Das Weltbild der neuen Physik, Monatshefte für Mathematik, Springer, Wien, Bd. 36 (1929), S. 43 und S. 49. Auszug google books
  13. A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki und H. Ezawa: Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern. In: American Journal of Physics. Band 57, 1989, S. 117–120. doi:10.1119/1.16104
  14. A. Einstein, B. Podolsky und N. Rosen: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, In: Physical Review. Band 47, 1935, S. 777–780. (Online)
  15. A. Aspect et al.: Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem. In: Physical Review Letters. Band 47, 1981, S. 460. A. Aspect et al.: Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities. In: Physical Review Letters. Band 49, 1982, S. 91. A. Aspect et al.: Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers. In: Physical Review Letters. Band 49, 1982, S. 1804. M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe und D. J. Wineland: Experimental violation of Bell's inequalities with efficient detection. In: Nature. Band 409, 2001, S. 791–794.
  16. Selbst wenn jedes Atom nur zwei mögliche Zustände einnehmen kann, hat das Gesamtsystem 2N unterschiedliche mögliche Zustande, wobei N bei makroskopischen Systemen die Größenordnung der Avogadrokonstante (~1024) annimmt.
  17. Omnes schätzt die Dekohärenzzeit für ein Pendel mit einer Masse von 10 g auf \tau_d=1.6*10^{-26}s. Siehe R. Omnes: Understanding Quantum Mechanics. Princeton University Press, 1999, S. 202 und S. 75.
  18. Vgl. R. Omnès: Understanding Quantum Mechanics. Princeton University Press 1999; R. B. Griffiths: Consistent Quantum Theory. Cambridge University Press 2003; Robert B. Griffiths: Consistent histories and the interpretation of quantum mechanics, Journal of Statistical Physics 36/1-2 (1984), 219-272. Fay Dowker, Adrian Kent: On the Consistent Histories Approach to Quantum Mechanics, in: Journal of Statistical Physics 82 (1996), 1575-1646.
  19. F. Wilczek, Quantum Field Theory, in Compendium of Quantum Physics, Springer, 2009, S. 549 ff.
  20. Die Gruppierung in Instrumentalismus visa Realismus ist eine starke Vereinfachung der tatsächlich vorhandenen Vielfalt verschiedener Positionen der Wissenschaftstheorie. Ein ausführlicher Überblick über die wichtigsten erkenntnistheoretischen Positionen in der Physik findet sich zum Beispiel in B. d’Espagnat: Reality and the Physicist. Cambridge University Press, 1989.
  21. H. P. Stapp: The Copenhagen Interpretation. In: American Journal of Physics. Band 40, 1972, S. 1098.
  22. In der englischsprachigen Literatur findet sich eine Vielzahl verschiedener Bezeichnungen für die Wert-Definiertheit: „value-definiteness“, „intrinsic property“, „pre-assigned initial values“ (Home und Whitaker), „precise value principle“ (Hughes), „classical principle C“ (Feyerabend), sowie Bells „beables“. Auch das in der Messtechnik verwendete Konzept des „wahren Wertes“ setzt Wert-Definiertheit voraus.
  23. Zur erkenntnistheoretischen Einordnung der Wert-Definiertheit gibt es unterschiedliche Auffassungen. Feyerabend bezeichnete sie als ein „klassisches Prinzip“, und d’Espagnat ordnet sie dem physikalischen Realismus zu. Für den Physiker T. Norsen lässt sich das Prinzip der Wert-Definiertheit hingegen keiner der gängigen realistischen Positionen der Erkenntnistheorie zuordnen, weshalb er die Verwendung des Begriffes „Realismus“ in diesem Zusammenhang ablehnt: T. Norsen: Against ‘realism’. In: Foundations of Physics. Vol. 37, 2007, S. 311 (online).
  24. 24,0 24,1 V. V. Nesvizhevsky, K. V. Protasov, Quantum states of neutrons in the earth's gravitational field: state of the art, applications, perspectives, in Trends in quantum gravity research, Nova Science, 2006, S. 65. google books
  25. T. Jenke, Realization of a gravity-resonance-spectroscopy technique, Nature Physics, 7, 2011, S. 468. online Artikel
  26. „[...] our understanding of the nucleus itself is seemingly quite incomplete. More than 30 nuclear models – based on strikingly different assumptions – are currently employed. Each provides some insight into nuclear structure or dynamics, but none can claim to be more than a partial truth, often in conflict with the partial truths offered by other models.“ in N. D. Cook, Models of the Atomic Nucleus, Springer, 2006, S. 5.
  27. Eine wichtige Ausnahme ist das Tröpfchenmodell, eine empirische Formel zur Berechnung der Bindungsenergie von Atomkernen.
  28. N. D. Cook, Models of the Atomic Nucleus, Springer, 2006, S. 65ff.
  29. S. G. Louie, M. L. Cohen, Conceptual Foundations of Materials: A Standard Model for Ground- and Excited-State Properties, Elsevier, 2006. google books
  30. 30,0 30,1 Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-63503-9.
  31. S. Olmschenk, D. N. Matsukevich, P. Maunz, D. Hayes, L.-M. Duan, and C. Monroe, Quantum Teleportation between Distant Matter Qubits, Science 323, 486 (2009).
  32. „In an amazingly short period the Copenhagen interpretation gained ascendancy as the correct view of quantum phenomena.“ J. T. Cushing, Quantum Mechanics Quantum Mechanics Quantum Mechanics: Historical Contingency and the Copenhagen Hegemony Historical Contingency and the Copenhagen Hegemony, Univ. of Chicago Press, 1994, Kap. 7.2.[url= http://books.google.de/books?id=6ohCb1v6jgMC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA118#v=onepage&q&f=false google books]
  33. „But for GRW to move beyond being regarding as a set of interesting ideas, and to be taken fairly seriously as a genuine alternative to the standard theory, it is also essential that it makes some predictions clearly at variance with regular quantum theory that may then be checked experimentally.“ A. Whitacker, The New Quantum Age: From Bell's Theorem to Quantum Computation and Teleportation, Oxford University Press, 2011, S. 258.google books
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