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Analysis

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Eine Beschreibung der Philosophiezeitschrift Analysis befindet sich unter Analysis (Zeitschrift)

Die Analysis [aˈnalyzɪs] (gr. ανάλυσις análysis „Auflösung“, altgr. ἀναλύειν analýein „auflösen“) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Zielmenge in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Teilgebiete der Analysis

Gottfried Wilhelm Leibniz
Isaac Newton

Neben der Differential- und Integralrechnung umfasst die Analysis weitere Gebiete, welche darauf aufbauen. Dazu gehören die Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, die Variationsrechnung, die Vektoranalysis, die Maß- und Integrationstheorie und die Funktionalanalysis.

Eine ihrer Wurzeln hat auch die Funktionentheorie in der Analysis. So kann die Fragestellung, welche Funktionen die Cauchy-Riemann'schen-Differentialgleichungen erfüllen, als Fragestellung der Theorie partieller Differentialgleichungen verstanden werden. Deshalb werden die Grundlagen der Funktionentheorie auch als komplexe Analysis bezeichnet.

Im weiteren Sinne können auch die Gebiete der harmonischen Analysis, der Differentialgeometrie mit den Teilgebieten Differentialtopologie und Globale Analysis, der analytischen Zahlentheorie, der Nichtstandardanalysis, der Distributionentheorie und der mikrolokalen Analysis dazu gezählt werden. Diese Theorien haben jedoch eigenständige Fragestellungen, verwenden aber auch Methoden aus der Analysis.

Differentialrechnung

Hauptartikel: Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte (x_0, y_0) und (x_1, y_1) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.

Bei nicht linearen Funktionen wie z. B. f(x) = x^2 kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt (x_0, f(x_0)) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle x_0 berechnen kann. Wählt man eine Stelle x_1 ganz nahe bei x_0 und legt eine Gerade durch die Punkte (x_0, f(x_0)) und (x_1, f(x_1)), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s. o.)

m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x_1 immer weiter an x_0 annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in x_0. Der Ausdruck \lim_{x\rightarrow x_0} bedeutet, dass x immer weiter an x_0 angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und x_0 beliebig klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen x_0“. Die Bezeichnung \lim steht für Limes.

f^\prime (x_0) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x_0, wenn der Grenzwert \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} existiert.

Integralrechnung

Hauptartikel: Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.

\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x :=  \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \frac{b-a}{n}\right).

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem sogenannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.

In der sogenannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis in folgender Weise „invers“ zueinander.

Wenn f eine auf einem kompakten Intervall [a,b] stetige reelle Funktion ist, so gilt für x\in(a,b):

{\mathrm d \over \mathrm dx} \left(\int_a^x f(\bar x) \mathrm d\bar x\right)= f(x)

und, falls f zusätzlich auf (a,b) gleichmäßig stetig differenzierbar ist,

\int_a^x\left({\mathrm{d}\over \mathrm{d}\bar x}f(\bar x)\right)\mathrm{d}\bar x = f(x) - f(a).

Deshalb wird die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f auch als unbestimmtes Integral bezeichnet und durch \textstyle \int f(x) \mathrm dx symbolisiert.

Mehrdimensionale Analysis

Datei:Sin(x^2)y.jpg
Beispiel für eine mehrdimensionale Funktion: f(x,y) = y ·sin x2

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine größere mathematische Vielfalt. Die mehrdimensionale Analysis betrachtet Funktionen \textstyle f : D \subseteq \R^m \to \R^n mehrerer reeller Variablen, die oft als ein Vektor beziehungsweise n-Tupel dargestellt werden.

Die Begriffe der Norm (als Verallgemeinerung des Betrags), der Konvergenz, der Stetigkeit und der Grenzwerte lassen sich analog in mehrere Dimensionen verallgemeinern.

Wichtige Begriffe aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung sind die Richtungs- und die partielle Ableitung, welche Ableitungen in einer Variablen beziehungsweise einer Richtung sind. Der Satz von Schwarz stellt sicher, wann partielle beziehungsweise Richtungsableitungen unterschiedlicher Richtungen vertauscht werden dürfen. Außerdem ist der Begriff der totalen Differentiation von Bedeutung. Dieser kann interpretiert werden als die lokale Anpassung einer linearen Abbildung an den Verlauf der mehrdimensionalen Funktion und ist das mehrdimensionale Analogon der (ein-dimensionalen) Ableitung. Der Satz von der impliziten Funktion über die lokale, eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen ist eine wichtige Aussage der mehrdimensionalen Analysis und kann als eine Grundlage der Differentialgeometrie verstanden werden.

In der mehrdimensionalen Analysis gibt es unterschiedliche Integralbegriffe wie das Kurvenintegral, das Oberflächenintegral und das Raumintegral. Jedoch von einem abstrakteren Standpunkt aus der Vektoranalysis unterscheiden sich diese Begriffe nicht. Zum Lösen dieser Integrale sind der Transformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel und der Satz von Fubini, welcher es erlaubt Integrale über n-dimensionale Mengen in iterierte Integrale umzuwandeln, von besonderer Bedeutung. Auch die Integralsätze aus der Vektoranalysis von Gauß, Green und Stokes sind in der mehrdimensionalen Analysis von Bedeutung. Sie können als Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung verstanden werden.

Literatur

Weblinks

Wikibooks Wikibooks: Analysis – Lern- und Lehrmaterialien
 Wiktionary: Analysis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen


Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Analysis aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar.