Umfang (Geometrie)

Umfang des Kreises:
U = d·π (hier ist d = 1)

Umfang des Rechtecks:
U = 2·a + 2·b = 2·(a + b)

Der Umfang einer ebenen Figur, die durch eine Linie begrenzt ist, bezeichnet die Länge ihrer Begrenzungslinie.

Die Formel für den Kreisumfang lautet:

$U=\pi \,d=2\pi \,r$

• $U$ steht dabei für den Umfang,
• $r$ für den Radius des Kreises,
• $\pi$ für die Kreiszahl mit dem Wert 3,14159265… und
• $d$ für den Kreisdurchmesser.

Der Umfang eines Vielecks ist die Summe seiner Seitenlängen.

Herzkurve $\gamma \colon [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$
(Zeichnung mit $a=1$)
$x(t)=2a\cos(t)(1+\cos(t))$
$y(t)=2a\sin(t)(1+\cos(t))$
$U=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t=16a$

Wird die Begrenzungslinie der Figur durch eine geschlossene stückweise glatte Parameterkurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ beschrieben mit

$\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}$,

so lässt sich ihr Umfang $U$ über das folgende Integral berechnen:

$U=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$. (Sektorformel von Leibniz)

Literatur

• Karl Barth: Die technischen Hilfswissenschaften: Mathematik, Geometrie und Chemie. Oldenbourg, S. 95–96

Weblinks

Wiktionary: Umfang – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Perimeter. In: MathWorld. (englisch)
• Umfang und Flächen elementarer Figuren