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Fibonacci-Folge

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Ein Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen.

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen (den Fibonacci-Zahlen), bei der die Summe zweier benachbarter Zahlen die unmittelbar folgende Zahl ergibt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (Folge A000045 in OEIS). Benannt ist sie nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern[1] bekannt.

Definition der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist durch das rekursive Bildungsgesetz

  für

mit den Anfangswerten

definiert. Das bedeutet in Worten:

  • Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert eins vorgegeben.
  • Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger.

Daraus ergibt sich:

n fn n fn n fn n fn n fn
10 10 110 890 210 10.9460 310 1.346.2690 410 165.580.1410
20 10 120 1440 220 17.7110 320 2.178.3090 420 267.914.2960
30 20 130 2330 230 28.6570 330 3.524.5780 430 433.494.4370
40 30 140 3770 240 46.3680 340 5.702.8870 440 701.408.7330
50 50 150 6100 250 75.0250 350 9.227.4650 450 1.134.903.1700
60 80 160 9870 260 121.3930 360 14.930.3520 460 1.836.311.9030
70 130 170 1.5970 270 196.4180 370 24.157.8170 470 2.971.215.0730
80 210 180 2.5840 280 317.8110 380 39.088.1690 480 4.807.526.9760
90 340 190 4.1810 290 514.2290 390 63.245.9860 490 7.778.742.0490
100 550 200 6.7650 300 832.0400 400 102.334.1550 500 12.586.269.0250

Aus der Forderung, dass die Rekursion

auch für ganze Zahlen gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt

  und  

Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann

Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen auf komplexe Zahlen und auf Vektorräume möglich.

Eigenschaften

Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Identitäten:

  • mit der Lucas-Folge , insbesondere:
  • (Identität von Catalan)
  • (Identität von Cassini, Spezialfall der Catalan-Identität)
  • (Identität von d’Ocagne)

Teilbarkeit:

  • Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. .
  • ; falls ist, gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann für nur dann eine Primzahl sein, wenn eine Primzahl ist.
  • (genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar)
  • (genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar)
  • (genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar)
  • (genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar)
  • (genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar)
  • (genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar)[2]
Für die Teilbarkeit durch Primzahlen p gilt unter Verwendung des Jacobi-Symbols:
  • [3]

Reihen:

Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt Φ an. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große n:

Diese Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung

Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch

darstellen.

Φ ist eine irrationale Zahl. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beiträgt. Am besten lässt sich Φ durch Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen und beliebige natürliche Zahlen annehmen.

Zeckendorf-Theorem

Das nach Edouard Zeckendorf benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl n größer Null eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes eine eindeutige Darstellung der Form

Die entstehende Folge von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Da aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ausgeschlossen sind, können keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz unmittelbar hintereinander stehen.

Allgemeiner ist die verwandte Aussage, dass sich jede ganze Zahl z eindeutig als Summe verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender negaFibonacci-Zahlen ( mit ) darstellen lässt.

So wäre zum Beispiel als Binärsequenz 1001 darstellbar.[4]

Fibonacci-Folgen in der Natur

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen
Anordnung gleich großer Kreise im Abstand des goldenen Winkels mit farblicher Markierung der Fibonacci-Spiralen 8, 13, 21, 34.

Viele Pflanzen weisen in der Anordnung ihrer Blätter und anderer Teile Spiralen auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlen gegeben sind, wie beispielsweise bei den Samen in Blütenständen. Das ist dann der Fall, wenn der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Samen bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel ist. Hintergrund ist der Umstand, dass die rationalen Zahlen, die den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren, Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen. Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z. B. bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° …). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und sich so die jeweils übereinanderstehenden Blätter maximalen Schatten machen oder maximale ‚Lichtlücken‘ entstehen.

Beispielsweise tragen die Köpfe der Silberdistel (Carlina acaulis) hunderte von gleichgestaltigen Blüten, die in kleineren Köpfen in einer 21-zu-55-Stellung, in größeren Köpfen in 34-zu-89- und 55-zu-144-Stellung in den Fruchtboden eingefügt sind.[5] Auch die Schuppen von Fichtenzapfen wie auch von Ananasfrüchten bilden im und gegen den Uhrzeigersinn Spiralen, deren Schuppenanzahl durch zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen gegeben ist.[6]

Wissenschaftshistorisch sei hier auf das Buch On Growth and Form von D’Arcy Wentworth Thompson (1917) verwiesen.

Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass die Fibonacci-Folge die Ahnenmenge einer männlichen (n=1) Honigbiene (Apis mellifera) beschreibt. Das erklärt sich dadurch, dass Bienendrohnen sich aus unbefruchteten Eiern entwickeln, die in ihrem Genom dem Erbgut der Mutter (n=2) entsprechen, welche wiederum zwei Eltern besitzt (n=3), usw.

Berechnung

Formel von Moivre-Binet

Die Fibonacci-Folge (rot) als Differenz zweier Folgen mit irrationalen Gliedern (schwarz).

Das explizite Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge wurde unabhängig voneinander von den französischen Mathematikern Abraham de Moivre im Jahr 1718 und Jacques Philippe Marie Binet im Jahr 1843 entdeckt. Dazwischen war sie aber auch den Mathematikern Leonhard Euler und Daniel Bernoulli bekannt, letzterer lieferte 1728 auch den vermutlich ersten Beweis.[7]

Die Fibonacci-Zahlen lassen sich direkt mittels

berechnen, wobei die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung sind und somit auch und gilt. Setzt man

    und    

ein, erhält man die explizite Formel von Moivre-Binet

Bemerkenswert ist das Zusammenspiel zweier irrationaler Zahlen φ und ψ, das zu einem ganzzahligen Ergebnis führt. Die Abbildung zeigt die beiden Teilfolgen mit φ und ψ sowie deren Differenz. Der Einfluss von ψn geht rasch gegen Null. Das kann man verwenden, um die Berechnung zu beschleunigen, indem man den Term ignoriert und das Ergebnis zur nächstgelegenen natürlichen Zahl rundet.

Induktiver Beweis

Einer der einfachsten Beweise gelingt induktiv. Wegen und ist der Induktionsanfang erfüllt. Für den Induktionsschritt sei die Formel schon bis n bewiesen und wir betrachten

.

Dabei haben wir benutzt, dass und der charakteristischen Gleichung bzw. genügen.

Herleitung der Formel von Moivre-Binet

Die Formel von Binet kann mit Matrizenrechnung und dem Eigenwertproblem in der Linearen Algebra hergeleitet werden mittels folgendem Ansatz:

Nun transformiert man die Matrix in eine Diagonalmatrix durch Betrachtung als Eigenwertproblem.

Es gilt , wobei die Matrix der Eigenvektoren und die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist. Damit folgt:

Herleitung mittels Differenzengleichung

Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie zu linearen Differenzengleichungen:

Sei eine geometrische Folge, so ergibt sich:

Wenn also so gewählt wird, dass die charakteristische Gleichung erfüllt ist (also oder ), wird , d. h., erfüllt die Fibonacci-Rekursion mit dem Rekursionsanfang und .

Die rekursive Folge , , hat die explizite Darstellung . Ebenso , , .

Mit und genügt durch die Superpositionseigenschaft auch jede Linearkombination der Fibonacci-Rekursion . Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems ergibt sich und , damit und . Folglich ergibt sich explizit .

Für ergibt sich und , d. h. die klassische Lucas-Folge mit explizit .

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen ist

Die auf der linken Seite stehende Potenzreihe konvergiert für . Über die Partialbruchzerlegung erhält man wiederum die Formel von Moivre-Binet.

Durch Entwicklung der obigen Erzeugenden Funktion in eine Potenzreihe um ergibt sich durch Koeffizientenvergleich ein Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und den Binomialkoeffizienten. Dies gelingt durch Einsetzen des Polynoms in die Potenzreihe für mit und somit .

Nach Multiplikation mit z ergibt sich , nach Umformen dieser Summe zu einer Binomialreihe.

Die letzte Summe kann mittels Umbenennung der Summationsindizes vereinfacht werden zu .

Koeffizientenvergleich liefert schließlich .

Alternativ ergibt sich über die Definition die Darstellung

Darstellung mit Matrizen

Die Fibonacci-Zahlen tauchen auch als Einträge der Potenzen der Matrix auf:

Aus der Relation ergibt sich beispielsweise die erste oben angegebene Formel für . beschreibt zugleich die Summationsvorschrift der Fibonacci-Folge, denn ihr Produkt mit einem Paar aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Spaltenmatrix geschrieben) ergibt das nächste Paar; entsprechend erzeugt das -te Paar aus dem Startpaar . Dies und die Tatsache, dass die Eigenwerte von gerade der Goldene Schnitt und dessen Kehrwert (letzterer mit negativem Vorzeichen) sind, führen wieder auf die oben genannte Formel von Binet.

Näherungsformel für große Zahlen

Für große Werte von n wird in der Formel von Binet immer kleiner, da der Ausdruck in der Klammer vom Betrag ist. Deshalb erhält man die Näherungsformel

Der Absolutbetrag des Quotienten ist für alle n kleiner als 0,5. Demnach beschreibt die Näherungsformel das exakte Ergebnis mit einem Fehler von weniger als 0,5. Durch Runden kommt man daher wieder zu einer exakten Formel:

mit der Gaußklammer .

Verallgemeinerungen

Die klassische („kanonische“) Fibonacci-Folge ist durch drei Kriterien charakterisiert:

  • Eine lineare Iteration, welche die beiden vorangehenden Folgenglieder einbezieht
  • Eine Linearkombination dieser Folgenglieder, in der beide Vorgänger den Koeffizienten +1 tragen
  • Beide Startglieder gleich +1

Jedes dieser Kriterien erlaubt eine Verallgemeinerung:

  • Die Wahl anderer Startglieder und liefert eine Folge , die mit der kanonischen Folge nach der Beziehung zusammenhängt. Ein Beispiel hierfür ist die Lucas-Folge .
Für die Glieder einer solchen Folge gilt ein gegenüber der Formel von Moivre-Binet verallgemeinertes explizites Bildungsgesetz:
mit und .
Die kanonische Folge stellt sich hier als Spezialfall mit u=v=1 dar, was wegen der charakteristischen Gleichung sofort k=1 und l=1 liefert.
  • Die Wahl anderer Koeffizienten für die Linearkombination liefert eine Folge, für die eine andere charakteristische Gleichung gilt. Eine Folge mit der Iterationsvorschrift
besitzt die charakteristische Gleichung . Die Wurzeln dieser Gleichung bestimmen das explizite Bildungsgesetz. Wenn die charakteristische Gleichung die Wurzeln und hat, dann lautet das Bildungsgesetz
,
wobei k und l wieder durch die Startglieder bestimmt sind.
  • Eine Iteration, die mehr als zwei vorangehende Folgenglieder einbezieht, besitzt dementsprechend ein Polynom höheren Grades als charakteristische Gleichung, wobei die Wurzeln dieser Gleichung wieder im Bildungsgesetz auftauchen und die Koeffizienten durch die Anfangswerte bestimmt sind. Es gilt dann
.
Eine Iteration, die nur das unmittelbar vorhergehende Glied verwendet, liefert in diesem Zusammenhang als entartete Fibonacci-Folge eine reine Potenzfolge.

Geschichte

Berechnung der Kaninchenaufgabe im Liber abbaci

Ihre früheste Erwähnung findet sich unter dem Namen maatraameru („Berg der Kadenz“) in der Chhandah-shāstra („Kunst der Prosodie“) des Sanskrit-Grammatikers Pingala (um 450 v. Chr. oder nach anderer Datierung um 200 v. Chr.).[8] In ausführlicherer Form behandelten später auch Virahanka (6. Jh.) und besonders dann Acharya Hemachandra (1089–1172) diese Zahlenfolge, um die rechnerische Möglichkeit der Bildung von Metren durch regelmäßige Verteilung kurzer und langer Silben zu beschreiben.

In der westlichen Welt war diese Reihe ebenfalls schon in der Antike Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) bekannt.[9] Sie ist aber mit dem Namen des italienischen Mathematikers Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci („figlio di Bonacci“, Sohn des Bonacci), verbunden, der in seinem Liber abbaci („Buch der Rechenkunst“, Erstfassung von 1202 nicht erhalten, zweite Fassung von ca. 1227) diese Zahlenfolge mit dem Beispiel eines Kaninchenzüchters beschrieb, der herausfinden will, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres aus einem einzigen Paar entstehen, wenn jedes Paar ab dem zweiten Lebensmonat ein weiteres Paar pro Monat zur Welt bringt:[10]

Modell einer Kaninchenpopulation

Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache mathematische Modellierung des Wachstums einer Population von Kaninchen nach folgenden Regeln:

  1. Jedes Paar Kaninchen wirft pro Monat ein weiteres Paar Kaninchen.
  2. Ein neugeborenes Paar bekommt erst im zweiten Lebensmonat Nachwuchs (die Austragungszeit reicht von einem Monat in den nächsten).
  3. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum („in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus“), so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann.

Fibonacci begann die Reihe, nicht ganz konsequent, nicht mit einem neugeborenen, sondern mit einem trächtigen Paar, das seinen Nachwuchs bereits im ersten Monat wirft, so dass im ersten Monat bereits 2 Paare zu zählen sind. In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Fibonacci führte den Sachverhalt für die zwölf Monate eines Jahres vor (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) und wies auf das Bildungsgesetz der Reihe durch Summierung jeweils zweier aufeinanderfolgender Reihenglieder (2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 usw.) hin. Er merkte außerdem an, dass die Reihe sich nach diesem Prinzip für eine unendliche Zahl von Monaten fortsetzen lässt, was dann allerdings unsterbliche Kaninchen voraussetzt: „et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.“ Weitere Beachtung hatte er dem Prinzip in seinen erhaltenen Werken nicht geschenkt.

Nachdem spätere Mathematiker wie Gabriel Lamé (1795–1870) die Entdeckung dieser Zahlenfolge für sich beansprucht hatten, brachten Édouard Lucas (1842–1891)[11] und andere wieder in Erinnerung, dass der zu dieser Zeit älteste bekannte Beleg von Leonardo da Pisa stammte, und unter dem Namen „Fibonacci-Folge“ („suite de Fibonacci“, „Fibonacci sequence“, „successione di Fibonacci“) ist sie seither in den meisten westlichen Sprachen geläufig.

Rezeptionen in Kunst und Unterhaltung

Martina Schettina: Fibonaccis Traum, 2008, 40×40 cm
  • Das Systemgedicht alfabet (1981) der dänischen Schriftstellerin Inger Christensen basiert auf der Fibonacci-Folge.
  • Das Cover des Debütalbums der kanadischen Band The Organ, Grab That Gun, wurde von David Cuesta mithilfe eines auf der Fibonacci-Folge basierenden Rasters entworfen.[12]
  • Der Künstler Mario Merz setzte sich in seinen Installationen mit der Fibonacci-Folge auseinander.
  • Der Gesang im Lied Lateralus der Progressive-Metal-Band Tool basiert auf Fibonacci-Zahlen.[13]
  • Die Künstlerin Martina Schettina beschäftigt sich in ihren mathematischen Bildern ebenfalls mit den Fibonacci-Zahlen.[14][15]
  • Dan Brown verwendet in seinem Thriller The Da Vinci Code (2003) (deutsch: Sakrileg, 2004) die Fibonacci-Folge als geheime Botschaft.
  • Im Film π – System im Chaos von Darren Aronofsky, in dem der Protagonist nach dem „Muster der Welt” in den Kursdaten von Aktien und in der Zahl π sucht, wird die Fibonacci-Folge erwähnt.
  • In der Serie Criminal Minds (Staffel 4, Folge 8) entführt ein Killer seine Opfer anhand der Fibonacci-Folge.
  • In Lars von Triers Film Nymphomaniac wird im Kapitel 5 - kleine Orgelschule - die Fibonacci-Folge mit einem Bach-Orgelsatz in Verbindung gebracht.
  • In dem Videospiel Watch Dogs von Ubisoft, in der Serienkiller-Mission als Zahlen, die an den einzelnen Tatorten der Opfer aufzufinden sind.[16]

Fibonacci-Datenstrukturen

Die Fibonacci-Folge ist namensgebend für folgende Datenstrukturen, bei deren mathematischer Analyse sie auftritt.

Literatur

Weblinks

 Commons: Fibonacci numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Parmanand Singh: The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. In: Historia Mathematica. 12, Nr. 3, 1985, S. 229–244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.
  2. Nicolai N. Vorobiev: Fibonacci Numbers. Birkhäuser, Basel 2002. ISBN 3-7643-6135-2. S. 59, Online-Version
  3. PDF bei sternenreise.com
  4. Donald E. Knuth: The Art Of Computer Programming Vol. IV.
  5. G. Hegi: Illustrierte Flora von Mitteleuropa, Band VI/4. 2. Auflage 1987. Weissdorn Verlag, Jena. ISBN 3-936055-23-8
  6. Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0, Seite 130–134
  7. In manchen Büchern wird für de Moivres Entdeckung auch 1730 angegeben oder auch die Entdeckung nur Binet zugeschrieben. Für de Moivre, Bernoulli und Binet siehe dazu Beutelspacher (Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1988. ISBN 3-411-03155-7, S. 90) und Schröder (u. a. in: Herbert Schröder: Wege Zur Analysis: Genetisch - Geometrisch - Konstruktiv. Gabler 2001, ISBN 3540420320, S. 12 (Auszug (Google))). Dass die Formel zudem auch Euler bekannt war findet man z. B. bei Winkler (Peter Winkler: Mehr mathematische Rätsel für Liebhaber. Gabler 2010, ISBN 9783827423498, S. 46 (Auszug (Google))) oder Ben-Menahem (Ari Ben-Menahem: Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences- Band 1. Springer 2009, ISBN 9783540688310, S. (Auszug (Google)))
  8. Parmanand Singh: Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. In: Mathematics Education 20,1 (Siwan, 1986), S. 28–30, ISSN 0047-6269
  9. Friedrich Gustav Lang: Schreiben nach Mass. Zur Stichometrie in der antiken Literatur. In: Novum Testamentum, Vol. 41, Fasc. 1, 1999, S. 40–57. Lang verweist S. 55, Fußnote 86, auf Nikomachos von Gerasa, der diese Reihe neben anderen Zahlenreihen aufgelistet habe.
  10. Baldassare Boncompagni (Hrsg.): Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo, Bd. I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, Rom, 1857, S. 283–284 (Kap. XII, 7: „Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur“)
  11. Edouard Lucas: Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique supérieure. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10 (1877), S. 129–193, S. 239–293
  12. Grab That Gun. Auf: en.wikipedia.
  13. Hartmann, Graham. "No. 1: Tool, ‘Lateralus’ – Top 21st Century Metal Songs", Loudwire. Aufgerufen am 22. Februar 2014.
  14. Beitrag in MU – Der Mathematikunterricht „Mathematik und Kunst“ Jg 55 – Heft 2 – April 2009 – Friedrich Verlag, Herausgeber Stefan Deschauer TU Dresden ISSN-Nr. 0025-5807
  15. Ingmar Lehman: Fibonacci-Zahlen in Bildender Kunst und Literatur. Abgerufen am 7. November 2009 (PDF; 131 kB).
  16. http://watchdogs.wikia.com/wiki/Missing_Persons
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