Die Länge ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die Strecken, Wegen und Kurven zugeordnet werden kann. Die Länge einer Kurve wird auch als Bogenlänge oder Rektifikationslinie bezeichnet.
Längen von Strecken
Sind
und
zwei Punkte in der (zweidimensionalen) Zeichenebene (
) mit den jeweiligen Koordinaten
und
so ist die Länge der Strecke
nach dem Satz des Pythagoras gleich
![{\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52f796b1b0ab3d17645e559d1ee04a22f2a082a)
Im dreidimensionalen Anschauungsraum (
) mit den jeweiligen Koordinaten
und
gilt
![{\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3f88900cb6a2d1b2b721a475b1bade81998b6a)
Es gibt im Wesentlichen zwei Sichtweisen, wie man derartige Formeln verallgemeinern kann:
- Man interpretiert die Länge der Strecke
als die Länge des Vektors
und definiert Längenmaße für Vektoren. Der entsprechende verallgemeinerte Längenbegriff für Vektoren heißt Norm.
- Noch allgemeiner ist der Ansatz, statt Streckenlängen den Abstand der Endpunkte zu betrachten. Allgemeine Abstandsbegriffe heißen Metriken.
Längen von Wegen
Ein Weg ist eine stetige Abbildung
von einem Intervall in einen topologischen Raum
. Um Wegen eine Länge zuschreiben zu können, muss dieser Raum jedoch eine Zusatzstruktur aufweisen. Im einfachsten Fall ist
die Ebene
oder der Anschauungsraum
mit dem üblichen Längenbegriff für Strecken; Verallgemeinerungen sind möglich für Riemannsche Mannigfaltigkeiten oder beliebige metrische Räume. Man bezeichnet dann die Länge des Weges
als
.
Wege in der Ebene und im Raum
Ein Weg in der Ebene bzw. im Raum ist durch zwei bzw. drei Koordinatenfunktionen gegeben:
bzw.
für
.
Für stückweise stetig differenzierbare Wege ist die Länge des Weges durch das Integral über die Länge des Ableitungsvektors gegeben:
bzw. ![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6393c7bd527f9918b3c2c5d02bef8cc7611bf09e)
Motivation
Der ebene Weg
wird zunächst durch kleine Geradenstücke
approximiert, welche in zwei Komponenten
und
parallel zu den Koordinatenachsen zerlegt werden. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
. Die Gesamtlänge des Weges wird durch die Summe aller Geradenstücke approximiert:
![{\displaystyle L=\sum \Delta s=\sum {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\sum {\sqrt {\left({\frac {\Delta x}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta y}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f317348c8e558444f6180609319cac4b6e3cfa0)
Geht man von der Konvergenz des Sachverhaltes aus und gibt das Ergebnis ohne exakte Grenzwertberechnung an, so ist die Länge
die Summe aller infinitesimal kleinen Geradenstücke, also:
.
Physikalisch kann der Integrand auch als Betrag der Momentangeschwindigkeit und die Integrationsvariable als die Zeit aufgefasst werden. Dies motiviert die Definition der Länge eines Weges wohl am besten.
Beispiele
- Die Kreislinie mit Radius
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
für ![{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc01113133d5e7f6342e1a4d738e0d84e57b54d)
- hat die Länge
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\ \mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} t=2\pi r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b981158aeac5b2e8607b69a994296018223a93a)
- Ein Stück einer Schraubenlinie mit Radius
und Ganghöhe ![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
![{\displaystyle t\mapsto \left(r\cdot \cos t,\ r\cdot \sin t,\ {\tfrac {h}{2\pi }}\cdot t\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;0\leq t\leq 2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a56a23d487f08f35977e53388fa30cd3f426fe)
- hat die Länge
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t+\left({\tfrac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+\left({\tfrac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&={\sqrt {(2\pi r)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7e55e44ac24f8098d96a136e780b9dc0e5465d)
Spezialfälle
Länge eines Funktionsgraphen
Sei die Funktion
eine differenzierbare Funktion auf
dann berechnet sich die Länge
zwischen den Punkten
und
wie folgt:
![{\displaystyle L(a,b)=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\;\mathrm {d} x\qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8af15ec4256a8d6405c2c62c83e36fa43040c48)
Parameterdarstellung
Ist die Kurve in Parameterdarstellung mit
gegeben und führen wir oben den Parameter
ein, so stellt sich der Ausdruck, mit den Werten
von t, die zu x = a und y = b gehören, so dar:
![{\displaystyle L(\alpha ,\beta )=\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b7513d17af6d46b264a0d3c5bf064e2fa696db)
(Für L schreibt man oft auch s, was dann ohne Integral als
zu sehen ist)
Beispiel: Der Umfang eines Kreises lässt sich mit Hilfe von
berechnen. Ein Kreis mit dem Radius
erfüllt die Gleichung
bzw.
Die Ableitung lautet:
.
Wendet man die Formel
an, so folgt:
Polarkoordinaten
Ist ein ebener Weg in Polarkoordinatendarstellung
gegeben, also
für
,
so erhält man aus der Produktregel
und
, somit also
.
Die Länge des Weges in Polarkoordinatendarstellung ist daher
.
Wege in riemannschen Mannigfaltigkeiten
Ist allgemein
ein stückweise differenzierbarer Weg in einer riemannschen Mannigfaltigkeit, so kann man die Länge von
definieren als
![{\displaystyle L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2479742d504fe9764b5029560bd4bc34067563e2)
Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen
Es sei
ein metrischer Raum und
ein Weg in
. Dann heißt
rektifizierbar, wenn das Supremum
![{\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=0}^{k-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))\right|k\in \mathbb {N} ,0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{k-1}<t_{k}=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f109c97d0f6eb0f5ccb2f044fbf5745f547fba31)
endlich ist. In diesem Falle nennt man
die Länge des Weges
.
Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist also das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge. Für die oben betrachteten differenzierbaren Wege stimmen die beiden Definitionen der Länge überein.
Es gibt stetige Wege, die nicht rektifizierbar sind, beispielsweise die Koch-Kurve oder andere Fraktale, raumfüllende Kurven, sowie fast sicher die Pfade eines Wiener-Prozesses.
Das Wort rektifizieren oder Rektifikation bedeutet gerade machen, das heißt die Kurve (den Faden) an den Enden nehmen und auseinanderziehen, ausstrecken, sodass man eine Strecke erhält, deren Länge man direkt abmessen kann. Heutzutage taucht dieses Wort hauptsächlich noch im Begriff rektifizierbar auf.
Längen von Kurven
Definition der Länge einer Kurve
Die zu einem Weg
gehörende Bildmenge
wird als Kurve (auch Spur des Weges
) bezeichnet. Der Weg
wird auch als Parameterdarstellung oder Parametrisierung der Kurve
bezeichnet. Zwei verschiedene Wege können dasselbe Bild haben, dieselbe Kurve kann also durch verschiedene Wege parametrisiert werden. Es ist naheliegend, die Länge einer Kurve als die Länge eines dazugehörigen Weges zu definieren; das setzt aber voraus, dass die Länge für jede Parametrisierung denselben Wert liefert. Anschaulich ist das klar, und es lässt sich tatsächlich für injektive Parametrisierungen zeigen. Insbesondere gilt:
Seien
und
zwei injektive Parametrisierungen derselben Kurve
, also
. Dann gilt:
.
Parametrisierung einer Kurve nach der Weglänge
Wie bereits gesagt, gibt es für eine Kurve verschiedene Parametrisierungen. Eine besondere Parametrisierung ist dabei die Parametrisierung nach der Weglänge (oder Bogenlänge).
Ist
eine rektifizierbare Kurve mit der Parametrisierung
![{\displaystyle {\begin{matrix}\gamma :&[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&\tau &\mapsto &\gamma (\tau )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eaaf7857d9c2a8e4d9a7efb9dcb98739b57e074)
und
für
die Teilkurve mit der Parametrisierung
, so bezeichnet man die Funktion
![{\displaystyle {\begin{matrix}s:&[a,b]&\to &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &L\left(\Gamma _{t}\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527f5c2f36b17b51014bdf0e40a7d09a657f8f7d)
als Weglängenfunktion von
. Diese Weglängenfunktion
ist stetig und monoton wachsend, für
injektiv sogar streng monoton wachsend und daher auch bijektiv. In diesem Fall existiert eine Umkehrfunktion
. Die Funktion
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {\gamma }}:&[0,L(\gamma )]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&s&\mapsto &\gamma (t(s))\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdbaf9a7746addda2d3f98c0f144df69a316d29)
wird dabei als die Parametrisierung von
mit der Bogenlänge als Parameter bezeichnet.
Ist
stetig differenzierbar und
für alle
, so besteht die Besonderheit der Parametrisierung nach der Bogenlänge darin, dass auch
stetig differenzierbar ist und für alle
![{\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {\gamma }}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5880d2bd63f89aa3dc764a4c447e12393cb9a9)
gilt.
Siehe auch
Literatur
- Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1]