Reduktionsverfahren von d’Alembert

Das Reduktionsverfahren von d’Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, das nach dem Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert benannt ist. Es wird verwendet, um eine lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer Lösung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung $(n-1)$-ter Ordnung zurückzuführen.

Grob gesagt, gilt Folgendes: Um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung ${\mathcal {L}}(y)=f$ zu lösen, beschaffe man sich eine nichttriviale Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(u)=0$. Dann führt der Variation der Konstanten Ansatz $y(x):=c(x)u(x)$ für die ursprüngliche Gleichung ${\mathcal {L}}(y)=f$ auf eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung ${\tilde {\mathcal {L}}}(c')=f$ der niedrigeren Ordnung $n-1$ für $c'(x)$.

Formulierung des Satzes

Man betrachte den Differentialoperator $n$-ter Ordnung

${\mathcal {L}}(v)(x):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)v^{(k)}(x)\ .$

Hierzu sei eine Lösung $u$ der homogenen linearen Differentialgleichung

${\mathcal {L}}(u)=0$

bekannt. Für

$y(x):=c(x)u(x)$

gilt dann

${\mathcal {L}}(y)(x)=\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{k \choose {j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x).$

Mit anderen Worten: $y$ löst die inhomogene Differentialgleichung $n$-ter Ordnung ${\mathcal {L}}(y)=f$ genau dann, wenn

$z(x):=c'(x)$

die inhomogene lineare Differentialgleichung $(n-1)$-ter Ordnung

$\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{k \choose {j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]z^{(j)}(x)=f(x)$

löst.

Beweis

Nach der leibnizschen Regel gilt

$(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)\ ,$

also

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}a_{k}(x)c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)=\sum _{j=0}^{n}\sum _{k=j}^{n}{k \choose j}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)\ .$

Nun ist nach Voraussetzung $\textstyle \sum _{k=0}^{n}{k \choose 0}a_{k}(x)u^{(k)}(x)={\mathcal {L}}(u)=0$. Somit folgt

${\mathcal {L}}(y)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{j=1}^{n}\left[\sum _{k=j}^{n}{k \choose j}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)\right]c^{(j)}(x)\ .$

Indexverschiebung liefert $\textstyle {\mathcal {L}}(y)=\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{k \choose {j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x)$.

$\Box$

Spezialfall: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Sei $u$ Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

$u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x)=0\ .$

Dann ist

$y(x):=c(x)u(x)$

Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$

genau dann, wenn

$z(x):=c'(x)$

der Gleichung

$u(x)z'(x)+[p(x)u(x)+2u'(x)]z(x)=f(x)$

genügt. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollständig lösen.

Verallgemeinerungen

Es existiert auch eine Verallgemeinerung für lineare Systeme von Differentialgleichungen.

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. 140, American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).