| Jewiki unterstützen. Jewiki, die größte Online-Enzyklopädie zum Judentum.
Helfen Sie Jewiki mit einer kleinen oder auch größeren Spende. Einmalig oder regelmäßig, damit die Zukunft von Jewiki gesichert bleibt ... Vielen Dank für Ihr Engagement! (→ Spendenkonten) |
How to read Jewiki in your desired language · Comment lire Jewiki dans votre langue préférée · Cómo leer Jewiki en su idioma preferido · בשפה הרצויה Jewiki כיצד לקרוא · Как читать Jewiki на предпочитаемом вами языке · كيف تقرأ Jewiki باللغة التي تريدها · Como ler o Jewiki na sua língua preferida |
Projektive Geometrie
Die projektive Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie ist aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene hervorgegangen. Im Gegensatz zur „gewöhnlichen“ euklidischen Geometrie gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen.
Die projektive Geometrie befasst sich, wie die affine Geometrie, mit Punkten, Geraden, Ebenen, Kurven und Flächen; allerdings ohne die Parallelität von Geraden. Es gibt also keine Parallelprojektionen, sondern nur Zentralprojektionen. Die zu untersuchenden Objekte liegen jetzt in einer projektiven Ebene oder einem projektiven Raum. Meistens befasst man sich mit Objekten in einem projektiven Raum über den reellen Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} oder den komplexen Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} , das heißt, die Koordinaten der Punkte sind reelle bzw. komplexe Zahlen. Nur in der axiomatischen projektiven Geometrie (s. u.) treten Koordinaten aus allgemeineren Strukturen (Körper, Schiefkörper, Ternärkörper, …) auf. Projektive Ebenen/Räume, in denen der Satz von Desargues gilt, lassen sich mit Hilfe von Vektorräumen über Schiefkörper noch gut beschreiben. Dies zeigt die große Bedeutung des Satzes von Desargues. Allerdings gilt er in mindestens 3-dimensionalen projektiven Räumen immer.
Der Einfachheit halber werden hier bis zum Abschnitt über axiomatische projektive Geometrie immer reelle Koordinaten vorausgesetzt.
Motivation
Eine Parallelprojektion einer Ebene auf eine andere erhält die Parallelität der Geraden. Bei einer Zentralprojektion (s. Bild) ist dies i. A. nicht mehr der Fall. Im Bild werden die zwei grünen parallelen Geraden der horizontalen Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} durch die Zentralprojektion mit Zentrum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} auf zwei sich im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} schneidende (rote) Geraden der senkrechten Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} abgebildet. Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} besitzt allerdings kein Urbild. Man nennt ihn den Fluchtpunkt der grünen Parallelenschar. Andererseits besitzt der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} (in der zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} parallelen Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_v} ) der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} kein Bild. Man nennt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} den Verschwindungspunkt der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} . Eine Zentralprojektion ist also keine Bijektion (1-1-Abbildung) der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} auf die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} . Der Ausweg aus diesem Dilemma: Man fügt in jeder Ebene jeder Parallelschar einen weiteren Punkt hinzu, so dass sich parallele Geraden schneiden. Diese neuen Punkte nennt man Fernpunkte und die Menge der Fernpunkte bildet die Ferngerade der jeweiligen Ebene. Im Bild wird dann der Fernpunkt der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf den Fluchtpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} abgebildet. Der Verschwindungspunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} wird auf den Fernpunkt der (roten) Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline g} abgebildet. Durch das Hinzufügen der Fernpunkte zu einer Ebene entsteht eine neue Inzidenzstruktur mit den typischen Eigenschaften
- (1): je zwei Punkte haben genau eine Verbindungsgerade und
- (2): je zwei Geraden haben genau einen Schnittpunkt .
Man nennt diese neue Struktur die reelle projektive Ebene.
Diese Art eine affine Ebene zu erweitern nennt man projektiv abschließen.
Dualitätprinzip
Vertauscht man in den Inzidenzeigenschaften (1), (2) (s. o.) die Begriffe Gerade und Punkt, sowie Schneiden und Verbinden, so werden lediglich die Aussagen (1) und (2) vertauscht. Hat man also eine Aussage, die nur die Begriffe Gerade, Punkt, schneiden und verbinden verwendet, so gilt auch ihre duale Aussage. Zum Beispiel erhält man durch Dualisierung des Satzes von Pascal den Satz von Brianchon. Der Satz von Desargues ist gleich seiner dualen Aussage. Aber der duale Satz von Pappus ist eine weitere Aussage über projektive Ebenen.
Für affine Ebenen gilt das Dualitätsprinzip nicht.
Inhomogene Koordinaten
Um einem Punkt einer reellen projektiven Ebene Koordinaten zuzuordnen, beschreibt man einen endlichen Punkt (keinen Fernpunkt) in gewohnter Weise durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)} . Für den Fernpunkt der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=mx+b} bietet sich die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (m)} (einschließlich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \infty} ) an (s. Bild). Da ein Punkt entweder durch zwei Koordinaten oder durch eine Koordinate (Fernpunkt) beschrieben wird, nennt man diese Koordinaten inhomogene Koordinaten. Gegenüber den homogenen Koordinaten, haben inhomogene Koordinaten den großen Vorteil: Sie sind eindeutig und man kann im endlichen Bereich in gewohnter Weise rechnen.
Homogene Koordinaten
Dass die reelle projektive Ebene in ihrer inhomogenen Beschreibung nur formal eine inhomogene Struktur ist, zeigt ihre Beschreibung mit homogenen Koordinaten. Hierzu definiert man im Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3}
- jede Ursprungsgerade ist ein (projektiver) Punkt und
- jede Ursprungsebene ist eine (projektive) Gerade.
Ein Punkt inzidiert mit einer Gerade, wenn die dem Punkt entsprechende Ursprungsgerade in der der Geraden entsprechenden Ursprungsebene liegt. Man kann zeigen, dass die so definierte Inzidenzstruktur geometrisch zu dem oben definierten Modell der reellen projektiven Ebene äquivalent, isomorph, ist. Das Bild zeigt die Einbettung der endlichen Punkte des inhomogenen Modells der reellen projektiven Ebene in den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} als Ebene mit der Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=1} . Die Rolle der Ferngerade übernimmt die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=0} . Jede Ursprungsgerade dieser Ebene ist ein Fernpunkt. Das Bild zeigt die Zuordnung der Fernpunkte beider Modelle. Da ein vom Nullpunkt verschiedener Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1,x_2,x_3) \in \R^3} eine Ursprungsgerade und damit einen Punkt der projektiven Ebene beschreibt, nennt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1,x_2,x_3} seine homogenen Koordinaten und
- bezeichnet den (projektiven) Punkt mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1:x_2:x_3)} .
Da eine Ursprungsgerade aber durch jeden beliebigen vom Nullpunkt verschiedenen Punkt auf ihr beschrieben werden kann, gilt
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (tx_1:tx_2:tx_3)=(x_1:x_2:x_3)} .
D.h., homogene Koordinaten beschreiben die Punkte der reellen projektiven Ebene nicht eindeutig. Dies ist ein Nachteil gegenüber inhomogenen Koordinaten. Eine Gerade (Ursprungsebene) wird im homogenen Modell durch eine Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax_1+bx_2+cx_3=0} beschrieben.
Die Koordinaten endlicher Punkte (keine Fernpunkte) lassen sich umrechnen durch
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y) \ \leftrightarrow \ (x:y:1)\quad } bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad (x_1:x_2:x_3) \ \leftrightarrow \ (\tfrac{x_1}{x_3}, \tfrac{x_2}{x_3}) \ .}
Der große Vorteil der homogenen Koordinaten ist
- Jede inzidenzerhaltende Abbildung (Kollineation) wird durch eine lineare Abbildung (Matrix) beschrieben.
(Eine affine Abbildung ist eine Kombination aus einer linearen Abbildung und einer Verschiebung.)
Bettet man die x-y-Ebene so ein, dass sie im Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} gleich der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ x_1+x_2+x_3=1\ } ist, so wird die Ursprungsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1+x_2+x_3=0} zur Ferngerade. In diesem Fall sind die homogenen Koordinaten die baryzentrischen Koordinaten bezüglich des Dreiecks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)} .
n-dimensionaler projektiver Raum
Die Beschreibung der reellen projektiven Ebene mit homogenen Koordinaten zeigt, dass man einen n-dimensionalen projektiven Raum analog im Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^{n+1}} definieren kann:
- Die Punkte sind die Ursprungsgeraden des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^{n+1}}
- Die Geraden sind die Ursprungsebenen.
Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} erhält man die projektive Gerade. Sie ist als Inzidenzstruktur zwar uninteressant, aber die auch hier definierte Gruppe der projektiven Permutationen ist als projektive lineare Gruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PGL(2,\R)} interessant. Sie operiert im homogenen Modell auf den Ursprungsgeraden des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} als Matrizengruppe oder im inhomogenen Modell als gebrochen lineare Abbildungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\mapsto \tfrac{ax+b}{cx+d}} . Eine wesentliche Eigenschaft ist:
- Die Gruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PGL(2,\R)} operiert scharf 3-fach-transitiv, d. h. zu je zwei Punktetripeln gibt es genau eine Abbildung, die das eine auf das andere abbildet.
Kollineation, Zentralkollineation, Projektivität
- Kollineation
- Eine Kollineation einer projektiven Ebene ist eine bijektive Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} der Punktmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P} auf sich, die kollineare Punkte auf kollineare Punkte abbildet. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} permutiert sowohl die Menge der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P} als auch die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal G} der Geraden.
- Zentralkollineation
Wichtige Kollineationen einer projektiven Ebene sind die Zentralkollineationen (auch Perspektivitäten genannt).
- Eine Zentralkollineation lässt einen Punkt, das Zentrum, und alle Geraden durch diesen Punkt fest.
Man kann nachweisen, dass es dann eine Gerade, die Achse, gibt, deren Punkte alle fix bleiben. Es kann allerdings vorkommen, dass das Zentrum auch auf der Achse liegt. In diesem Fall nennt man die Zentralkollineation Elation, andernfalls Homologie. Ist die Achse die Ferngerade, so ist eine Zentralprojektion im endlichen (affinen) Teil eine Punktstreckung oder eine Translation (Verschiebung).
- Projektivität
- Eine Hintereinanderausführung von mehreren Zentralkollineationen nennt man projektive Kollineation oder Projektivität.
Für die reelle projektive Ebene gilt
- (PR): Jede Kollineation ist eine projektive Kollineation und kann in homogenen Koordinaten durch eine lineare Abbildung beschrieben werden.
- Beispiel
Die Translation Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ (x,y) \; \to \; (x+s,y +t)\ } wird in homogenen Koordinaten (s. o.) durch
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1\colon x_2\colon x_3) \ \to \ (x_1+sx_3\colon x_2+tx_3\colon x_3)}
und damit als lineare Abbildung mit der Matrix Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & s\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ } beschrieben.
Mehr Beispiele findet man in dem Artikel Homogene Koordinaten.
Die von den 3×3-Matrizen erzeugte projektive Kollineationsgruppe der reellen projektiven Ebene ist die projektive lineare Gruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PGL(3,\R).}
Die Eigenschaft (PK) ist nicht allgemeingültig. So gibt es zum Beispiel in der komplexen projektiven Ebene Kollineationen, die nur als semilineare Abbildungen dargestellt werden können. Z.B.: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1:x_2:x_3) \ \rightarrow \ (\overline x_1:\overline x_2:\overline x_3)\ . }
- Kollineation zwischen Inzidenzstrukturen
Eine projektive Ebene/Raum kann meistens mit wenigstens zwei Modellen (inhomogen, homogen) beschrieben werden. Um nachzuweisen, dass zwei Inzidenzstrukturen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathcal P_1,\mathcal G_1), \; (\mathcal P_2,\mathcal G_2)} dieselbe Geometrie beschreiben, ist es nötig, eine bijektive Abbildung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P_1} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P_2} anzugeben, die kollineare Punkte auf kollineare Punkte abbildet. D.h. man muss den Begriff Kollineation entsprechend erweitern. Im Allgemeinen ist
- eine Kollineation eine Abbildung von einer Inzidenzstruktur auf eine zweite, die Geraden auf Geraden abbildet.
Dualität, Polarität
- Eine bijektive Abbildung der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P} einer projektiven Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathcal P, \mathcal G)} auf die Menge der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal G} , die kollineare Punkte auf kopunktale Geraden abbildet und umgekehrt, heißt Dualität.
Eine Dualität ist also eine Kollineation einer projektiven Ebene auf ihre duale projektive Ebene.
Beispiel: Die Abbildung der reellen projektiven Ebene, die einem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a:b:c)} (in homogenen Koordinaten) die Ebene mit der Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax_1+bx_2+cx_3=0} zuordnet, ist eine Dualität.
Besondere Dualitäten sind Polaritäten:
- Eine Dualität Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta} heißt Polarität, wenn aus der Inzidenz von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} mit der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta(Q)} folgt, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta(P)} liegt. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta(P)} heißt Polare von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} Pol von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta(P)} .
- Eine Polarität ist immer involutorisch, d. h. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta^2=} Identität.
Die Dualität im obigen Beispiel ist eine Polarität.
- Gibt es bei einer Polarität Punkte, die auf ihrer Polaren liegen, so nennt man die Polarität hyperbolisch (z. B. Pol-Polare-Beziehung zu einem nicht ausgearteten Kegelschnitt), im anderen Fall elliptisch.
Das obige Beispiel einer Polarität ist elliptisch. Wesentlich hierfür ist allerdings, dass die zugrunde liegende projektive Ebene die reelle Ebene ist ! Sind die Koordinaten komplexe Zahlen, ist die Polarität hyperbolisch, denn in diesem Fall hat die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=0} nichttriviale Lösungen: z. B. liegt der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1:i:0)} auf seiner Polaren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1+ix_2=0} .
Doppelverhältnis
Bei projektiven Abbildungen in einem projektiven Raum ist das Teilverhältnis nicht mehr invariant (z. B.: Der Mittelpunkt einer Strecke geht nicht mehr in den Mittelpunkt der Bildstrecke über). Das Analogon zum Teilverhältnis ist in der projektiven Geometrie das Doppelverhältnis (Verhältnis zweier Teilverhältnisse).
Im Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} ist das Teilverhältnis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,B;S)} , in dem ein Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} eine Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AB} teilt, die durch die Beziehung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overrightarrow {AS}=\lambda \; \overrightarrow{SB}\ } definierte Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} .
- Beispiele
1) Ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,B;S)=1}
, so ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S}
der Mittelpunkt der Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AB}
.
2) Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,B;S)=3}
teilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S}
die Strecke im Verhältnis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3:1}
3) Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,B;S)=-3}
liegt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S}
außerhalb und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B}
teilt die Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AS}
im Verhältnis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2:1}
.
Im Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} ist das Doppelverhältnis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,B;S,T)} , in dem ein Punktepaar Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S,T} eine Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AB} teilt, die Zahl
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,B;S,T)=(A,B;S):(A,B;T)}
(Verhältnis zweier Teilverhältnisse).
Das Doppelverhältnis, das hier zunächst nur für die affinen Punkte der reellen projektiven Ebene/Raum definiert wurde, lässt sich in homogenen Koordinaten mit Hilfe von Verhältnissen von Determinanten einheitlich ausdrücken (s. Doppelverhältnis).
Die große Bedeutung des Doppelverhältnisses beruht auf der Eigenschaft
- Das Doppelverhältnis ist bei Projektivitäten invariant.
Ist das Doppelverhältnis zweier Punktepaare Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} , so spricht man von einer harmonischen Teilung. Liegen die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,B,S,T} harmonisch und ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} der Fernpunkt der Gerade, so ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} der Mittelpunkt der Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AB} .
Affine Beschränkung (schlitzen)
Aus einem projektiven Raum lassen sich immer durch Herausnehmen von Hyperebenen (schlitzen) wieder affine Räume herstellen. Damit lassen sich die in einem projektiven Raum gewonnenen Resultate durch eine geeignete Wahl einer Ferngerade/-Hyperebene dann auch affin beschreiben. So sind z. B. einige Eigenschaften von Parabel und Hyperbel einfach die affinen Versionen von Ausartungen des Satzes von Pascal für einen projektiven Kegelschnitt.
Projektiver Kegelschnitt, Quadriken
Projektiver Kegelschnitt
Stellt man die Parabel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=x^2} gemäß obiger Umrechnung (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\tfrac{x_1}{x_3}, y=\tfrac{x_2}{x_3 }} ) in homogenen Koordinaten dar, so erhält man die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^2-x_2x_3=0} . Diese Gleichung beschreibt im Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} einen Kegel mit der Spitze im Ursprung. Er berührt die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=0} in der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Achse. Diese Gleichung ist also auch für den Fernpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0:1:0)} (der y-Achse) erfüllt. Das Nullstellengebilde der homogenen Gleichung besteht aus den Parabelpunkten plus einem Fernpunkt.
- Man nennt die projektive Kurve mit der Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^2-x_2x_3=0} und alle dazu projektiven Bilder einen nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitt.
(Ein n.a. projektiver Kegelschnitt lässt sich auch über andere Eigenschaften definieren. Z.B.: Steiner-Erzeugung, v.Staudt-Kegelschnitt oder durch Symmetrien. Siehe hierzu die Artikel über projektive Kegelschnitte und über Ovale.)
Stellt man die Hyperbel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=1/x} in homogenen Koordinaten dar, so erhält man die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2-x_3^2=0} . Diese Gleichung ist auch für die beiden Fernpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1:0:0),(0:1:0)} (der x- bzw. y-Achse) erfüllt. Man erkennt, dass diese Gleichung durch den Koordinatenwechsel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1\leftrightarrow x_3} (lineare Abbildung) in die aus der Parabel entstandene Kurve übergeht. Sie ist damit auch ein projektiver Kegelschnitt.
Geht man vom Einheitskreis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+y^2=1} aus, erhält man zunächst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^2+x_2^2=x_3^2} und daraus Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^2-(x_3-x_2)(x_3+x_3)=0} . Auch diese Gleichung lässt sich durch eine lineare Abbildung in die erste Gleichung transformieren.
Ein Kegelschnitt besitzt besonders viele Automorphismen (Kollineationen, die den Kegelschnitt invariant lassen).
- Die Automorphismengruppe eines projektiven Kegelschnitts ist isomorph zur Gruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PGL(2,\R)} . (Diese ist 3-fach-transitiv, d. h. zu je zwei Tripeln von Punkten gibt es eine Kollineation, die das eine Tripel auf das andere abbildet.)
Projektive Quadriken
Analog zu einem projektiven Kegelschnitt lassen sich projektive Quadriken in projektiven Räumen in homogenen Koordinaten als Nullstellengebilde von quadratischen Formen beschreiben.
Wie bei Kegelschnitten fallen im 3-dimensionalen projektiven Raum affin verschiedene Quadriken zusammen. Z.B.: Kegel und Zylinder oder Ellipsoid und elliptisches Paraboloid.
Plücker-Koordinaten und Klein-Quadrik
Im 3-dimensionalen reellen projektiven Raum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^3(\R)}
lässt sich
ein Punkt (1-dim. Unterraum des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^4}
) in homogenen Koordinaten durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0\colon x_1\colon x_2\colon x_3)}
und
eine Ebene (3-dim. Unterraum) mit der Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0}
durch den (projektiven) Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_0\colon a_1\colon a_2\colon a_3)}
beschreiben.
Für die bei vielen Untersuchungen wichtigen Geraden (Ursprungsebenen) gibt es keine so einfache homogene Beschreibung. Überlegungen von J. Plücker führten zur Einführung der nach ihm benannten Plücker-Koordinaten [1]:
Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist durch ein Paar von Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=(x_0\colon x_1\colon x_2\colon x_3),\; Y=(y_0\colon y_1\colon y_2\colon y_3)} auf ihr eindeutig bestimmt. Plücker konnte zeigen, dass die sechs 2x2-Determinanten
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{ij}=\left|\begin{array}{cc}x_i&y_i\\ x_j&y_j\end{array}\right| \; , \quad i \ne j \; , \; i,j= 0,1,2,3 \ ,}
bis auf ein gemeinsames Vielfaches die Gerade durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X,Y} eindeutig bestimmen. Die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{XY}} lässt sich also durch den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p_{01}\colon p_{02}\colon p_{03}\colon p_{12}\colon p_{13}\colon p_{23})} des 5-dimensionalen reellen projektiven Raums Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^5(\R)} beschreiben.
Die durch die Geraden des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^3(\R)} bestimmten Punkte überdecken allerdings nicht den ganzen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^5(\R)} . Denn die Determinanten müssen noch die homogene quadratische Gleichung, die Plücker-Relation, erfüllen:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{01}p_{23}+p_{02}p_{13}+p_{03}p_{12}=0} .
Diese Gleichung beschreibt eine projektive Quadrik im 5-dimensionalen projektiven Raum, die als Klein-Quadrik bezeichnet wird. Jeder Punkt der Klein-Quadrik repräsentiert eine Gerade des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^3(\R)} .
Anwendungen der Plücker-Koordinaten findet man im englischen Artikel Plücker coordinates.
Das Konzept der Plücker-Koordinaten lässt sich auf jeden 3-dimensionalen pappusschen projektiven Raum (der Koordinatenbereich ist ein Körper) übertragen.
Homogene Darstellung rationaler Kurven
Eine Kurve mit einer rationalen Darstellung
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{p_1(t)}{q_1(t)},\frac{p_2(t)}{q_2(t)}\right) }
wobei die Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_i} Polynome sind, lässt sich in homogenen Koordinaten polynomial darstellen:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\left(p_1(t)q_2(t) : p_2(t)q_1(t):q_1(t)q_2(t)\right) \ .}
Eine ebene Kurve mit rationalen Koeffizientenfunktionen lässt sich also als Zentralprojektion einer polynomialen Kurve des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} auf die Einbettungsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=1} auffassen.
Auf diese Weise lässt sich z. B. eine rationale Bezierkurve mit Hilfe einer Projektion einer gewöhnlichen (polynomialen) Bezier-Kurve darstellen. Insbesondere Ellipsen- und Hyperbelbögen sind Projektionen von Bezierkurven vom Grad 2 (Parabeln).
Axiomatische projektive Geometrie
In der axiomatischen projektiven Geometrie geht man zunächst von sehr schwachen Axiomen, den Inzidenzaxiomen aus. Eine so definierte projektive Ebene besteht aus einer Menge von Punkten und einer Menge von Geraden mit den einfachen Inzidenzeigenschaften
- (1:) Je zwei Punkte haben genau eine Verbindungsgerade und
- (2:) Je zwei Geraden haben genau einen Schnittpunkt.
Solch eine projektive Ebene ist noch sehr weit von der reellen projektiven Ebene entfernt. Erst durch ein zusätzliches Axiom (Satz von Pappos) ist solch eine projektive Ebene überhaupt erst mit Hilfe eines Vektorraums über einem Körper beschreibbar und damit lineare Algebra einsetzbar. Um zu erreichen, dass dieser Körper sogar die reellen Zahlen sind, sind noch einige weitere Axiome nötig. (Siehe Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie)
Da in einem projektiven Raum sich Geraden nicht unbedingt schneiden müssen, aber andererseits jede ebene Punktmenge eine projektive Ebene sein soll, muss man im Raum Axiom (2) durch das Veblen-Young-Axiom ersetzen:
- (Axiom von Veblen-Young) Sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} vier Punkte, so dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AB} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle CD} mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AD} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BC} mit einem gemeinsamen Punkt.
In einem mindestens 3-dimensionalen projektiven Raum gilt, im Gegensatz zum ebenen Fall, immer der Satz von Desargues und der Raum ist dann über einem Schiefkörper (nicht notwendig kommutativer Körper) koordinatisierbar.
Im ebenen Fall gibt es zahlreiche sog. nicht desarguessche projektive Ebenen, die in der Regel durch einen Schließungssatz, z. B. dem kleinen Satz von Desargues (Zentrum liegt auf der Achse) oder durch die Reichhaltigkeit der Automorphismengruppe (Gruppe der Kollineationen auf sich) charakterisiert werden. Eine Klasseneinteilung der nichtdesargueschen Ebenen liefert die Lenz-Barlotti-Klassifikation.
Die Sätze von Desargues und Pappus
- Satz von Desargues
- Liegen zwei Dreiecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'B'C'} perspektiv mit Zentrum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} , so sind die Schnittpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U,V,W} der Geraden durch sich entsprechende Seiten kollinear (s. oben, erstes Bild).
Die große Bedeutung dieses Satzes besteht in der Möglichkeit, eine projektive Ebene, in der für alle möglichen Konfigurationen der Satz gilt, einen Schiefkörper für eine inhomogene Koordinatisierung zu konstruieren. Dabei beschränkt man die projektive Ebene durch Herausnahme (Schlitzen) einer Gerade auf eine affine Ebene, in der dann die affine Formen des Satzes von Desargues gelten:
- (GD): (großer Desargues) Liegen zwei Dreiecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'B'C'} perspektiv mit Zentrum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} , so folgt aus der Parallelität zweier Seitenpaare die Parallelität des dritten Seitenpaares (s. Bild).
- (KD): (kleiner Desargues) Liegen zwei Dreiecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'B'C'} auf drei parallelen Geraden, so folgt aus der Parallelität zweier Seitenpaare die Parallelität des dritten Seitenpaares (s. Bild).
In der nun affinen Ebene wählt man zwei sich in einem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O} schneidende Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_x,g_y} . (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O} wird zum Ursprung des Koordinatensystems und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_x,g_y} werden zur x- und y-Achse.) Mit Hilfe des kleinen Satzes von Desargues definiert man zunächst Translationen und damit dann auf den Punkten der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_x} eine Addition. Mit Hilfe des großen Satzes konstruiert man Punktstreckungen und damit eine Multiplikation.[2] Schließlich lässt sich zeigen, dass Addition und Multiplikation aus der Punktmenge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_x} einen Schiefkörper machen. Mit Hilfe einer Parallelprojektion (im Bild rot) lässt sich dieser Koordinatenschiefkörper auch auf die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_y} übertragen. Damit lässt sich dann jedem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} der affinen Ebene in gewohnter Weise ein Koordinatenpaar Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)} zuordnen. Eine Gerade wird (wie üblich) durch eine Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=mx+d} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=c} beschrieben. Die so koordinatisierte affine Ebene lässt sich dann wieder durch Hinzunahme von Fernpunkten (s. o.) zu einer inhomogenen Beschreibung der projektiven Ebene erweitern. Auch die homogene Darstellung (s. o.) ist möglich. Da der Koordinatenschiefkörper allerdings nicht notwendig kommutativ ist, muss man auf die Reihenfolge bei der Multiplikation achten.
Liegen sechs Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 } einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , so sind die Punkte
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_7= \overline{P_1P_2}\cap \overline{P_4P_5}, \ } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_8= \overline{P_6P_1}\cap \overline{P_3P_4},\ } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_9= \overline{P_2P_3}\cap \overline{P_5P_6}}
kollinear, d. h., sie liegen auf einer Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} (siehe Bild).
Ist die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} die Ferngerade, so erhält man die affine Form des Satzes.
Die Bedeutung dieses Satzes besteht darin, dass seine Gültigkeit in einer desarguesschen Ebene aus dem Koordinatenschiefkörper einen Körper (Multiplikation ist kommutativ) macht. Aber die Bedeutung des Satzes von Pappus ist noch viel größer, denn es gilt
- (Satz von Hessenberg) In einer projektiven Ebene, in der der Satz von Pappus gilt, gilt auch der Satz von Desargues.
Das heißt: Aus der alleinigen Gültigkeit des Satzes von Pappus lässt sich schon ein Körper konstruieren. Allerdings ist eine endliche desarguessche Ebene immer schon pappussch, da jeder endliche Schiefkörper kommutativ ist (Satz von Wedderburn).
Projektive Abbildungen von Punktreihen und Geradenbüschel
Sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g,h} zwei Geraden einer projektiven Ebene und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} ein Punkt, der nicht auf beiden Geraden liegt, so nennt man die Abbildung, die einen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi(P)=h\cap\overline{PZ}} abbildet (projiziert) eine perspektive Abbildung (auch perspektive Zuordnung genannt) von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} mit Zentrum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} .
Eine Hintereinanderausführung mehrerer solcher Abbildungen nennt man eine projektive Abbildung. (Man beachte, dass hier nicht von einer Kollineation der projektiven Ebene die Rede ist. Es werden dabei lediglich die Punkte der Ausgangsgerade auf die Punkte der Zielgerade abgebildet.)
Ist die Zielgerade gleich der Ausgangsgerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} (nur bei echt projektiven Abbildungen), so gilt für die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi_g} aller projektiven Abbildungen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf sich
- (1) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi_g} ist eine Gruppe,
- (2) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi_g} operiert auf der Punktmenge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} 3-fach-transitiv, d. h. zu je zwei Tripeln von Punkten gibt es eine projektive Abbildung, die das eine Tripel auf das andere abbildet.[3]
Die Bedeutung der projektiven Abbildungen zeigt der Satz
- (3) Eine projektive Ebene ist genau dann pappussch, wenn eine projektive Abbildung einer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf sich, die 3 Fixpunkte besitzt, nur die Identität sein kann.[4] Daraus folgt, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi_g} sogar scharf transitiv ist.
Weiterhin gilt:
- (4) In einer pappusschen projektiven Ebene über einem Körper Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi_g} isomorph zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PGL(2,K)} .[5]
Aufgrund des Dualitätsprinzips gibt es auch perspektive/projektive Abbildungen von einem Geradenbüschel auf ein anderes:
Sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U,V} zwei Punkte einer projektiven Ebene und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} eine Gerade, die nicht durch die beiden Punkte geht, so nennt man die Abbildung, die eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} des Geradenbüschels in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} auf die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi(g)=\overline{V(g\cap a)}} abbildet (projiziert) eine perspektive Abbildung des Geradenbüschels in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} auf das Geradenbüschel in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} mit Achse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} . Eine Hintereinanderausführung mehrerer solcher Abbildungen nennt man eine projektive Abbildung des einen Büschels auf das andere.
Die Aussagen (1) – (4) gelten in analoger Weise auch für projektive Abbildungen von Geradenbüscheln.
Eine projektive Abbildung eines Geradenbüschels auf ein anderes spielt bei Steiners Definition eines projektiven Kegelschnitts (s. Satz von Steiner) eine wesentliche Rolle.
Endliche projektive Ebenen/Räume
Setzt man voraus, dass die Punktmenge (und damit auch die Geradenmenge) endlich ist, erhält man eine endliche projektive Ebene/Raum. Einfache Beispiele sind die projektiven Ebenen über endlichen Körpern. Da es keine echten endlichen Schiefkörper gibt (Satz von Wedderburn), ist jede endliche desarguessche Ebene bzw. Raum schon pappussch also über einem Körper koordinatisierbar.
Für eine endliche projektive Ebene gilt:
- Enthält eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+1} Punkte, so enthalten alle Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+1} Punkte, durch jeden Punkt gehen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+1} Geraden und insgesamt gibt es Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n^2+n+1} Geraden und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n^2+n+1} Punkte.
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} heißt in diesem Fall die Ordnung der endlichen Ebene.
Endliche projektive Ebenen spielen auch in der kombinatorischen Geometrie als Beispiele von Blockplänen eine Rolle.
Fano-Axiom
Es gibt (axiomatische) affine Ebenen, in denen sich die Diagonalen in einem Parallelogramm nicht schneiden, was unserer Erfahrung aus der reellen Ebene widerspricht. Um dies zu verhindern, schließt man solche Fälle mit dem affinen Fano-Axiom aus. Bei projektiven Ebenen leistet dies das projektive Fano-Axiom. Es lautet:
- (F): Die Schnittpunkte der Gegenseiten (Diagonalpunkte) in einem beliebigen vollständigen Viereck sind nicht kollinear.
Beschränkt man eine projektive Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, so entsteht eine affine Ebene, in der die Diagonalen eines Parallelogramms nie parallel sind. Das Minimalmodell ist keine Fano-Ebene. Nimmt man aus dem Minimalmodell eine Gerade heraus, so entstehen Parallelogramme, deren Diagonalen parallel sind.
Pappussche Fano-Ebenen sind solche, die über einem Körper der Charakteristik Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ne 2} , d. h. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1+1\ne 0} , beschrieben werden können.
Ovale, Ovoide, quadratische Mengen
Neben Geraden und Ebenen spielen in projektiven Ebenen Ovale und in projektiven Räumen Ovoide als die nächst einfachen Kurven und Flächen eine Rolle.
- Ein Oval in einer projektiven Ebene ist eine Punktmenge, die von einer Gerade in höchstens zwei Punkten geschnitten wird und in jedem Punkt gibt es genau eine Tangente (Gerade mit einem Schnittpunkt).
Einfache Beispiele von Ovalen sind die n.a. projektiven Kegelschnitte. Während n.a. projektiven Kegelschnitte nur in pappusschen Ebenen existieren, gibt es Ovale fast in jeder projektiven Ebene. Die Kegelschnitte zeichnen sich durch Schließungssätze (Pascal, Brianchon) und durch besonders viele Symmetrien aus (s. o.).
In der reellen projektiven Ebene erhält man durch Zusammensetzen eines Halbkreises und einer geeigneten Halbellipse Ovale, die keine Kegelschnitte sind. Die Kurve mit der Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^4+y^4=1} ist auch ein Oval, das kein Kegelschnitt ist.
Für endliche projektive Ebenen (d. h. die Punktmenge und Geradenmenge sind endlich) gilt
- In einer projektiven Ebene der Ordnung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} (d. h. jede Gerade enthält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+1} Punkte) ist eine Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak o} genau dann ein Oval, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\mathfrak o|=n+1} ist und keine drei Punkte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak o} kollinear (auf einer Gerade) liegen.
Ist die Ebene pappussch und ungerader Ordnung gilt sogar:
- (Satz von Segre) In einer endlichen pappusschen Ebene ungerader Ordnung ist jedes Oval ein projektiver Kegelschnitt.
In einer pappusschen Ebene gerader Ordnung ist dieser Satz in seiner Allgemeinheit falsch. Es gibt Ovale, die keine Kegelschnitte sind.
Das räumliche Analogon zu einem Oval ist das Ovoid:
- Ein Ovoid in einem projektiven Raum ist eine Menge von Punkten, die von einer Gerade in höchstens zwei Punkten geschnitten wird und die Menge der Tangenten durch einen Punkt überdecken genau eine Hyperebene.
Einfache Beispiele von Ovoiden im reellen projektiven Raum sind Ellipsoide. Setzt man eine Halbkugel und ein Halbellipsoid passend zusammen erhält man ein Beispiel, das keine Quadrik ist.
Für endliche projektive Räume der Dimension Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\ge 3} ist der Raum über einem Körper koordinatisierbar[6] und es gilt:
- Ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal O} ein Ovoid in einem endlichen projektiven Raum der Dimension Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\ge3} , so ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{red}d=3}\; .}
(Es gibt also im endlichen Fall nur im 3-dimensionalen Raum Ovoide !) [7]
- In einem projektiven Raum der Ordnung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n>2} und Dimension Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d={\color{red}3}} ist eine Menge von Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal O} genau dann ein Ovoid, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\mathcal O|=n^2+1} ist und keine drei Punkte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal O} kollinear (auf einer Gerade) liegen.[8]
Eine Folge des Satzes von Segre ist:
- Im 3-dimensionalen Raum ungerader Ordnung ist jedes Ovoid schon eine Quadrik.
Wie im ebenen Fall ist dieser Satz für Räume gerader Ordnung falsch. Im geraden Fall gibt es Ovoide (Tits-Suzuki-Ovoide), die keine Quadriken sind.
Quadratische Mengen sind noch allgemeiner. Sie besitzen dasselbe Schnittverhalten mit Geraden wie Quadriken, müssen aber keine sein. Einfache Beispiele hierzu sind der Kegel und das einschalige Hyperboloid. Aber es gibt auch quadratische Mengen, die keine Quadriken sind.
Topologische projektive Ebenen
Eine topologische projektive Ebene ist eine projektive Ebene, auf deren Punkt- und Geradenmenge je eine Topologie so erklärt ist, dass die Bildung des Schnittpunktes von zwei Geraden und die Bildung der Verbindungsgeraden stetige Operationen sind.
Projektive algebraische Geometrie
Statt im affinen Raum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^n} zu arbeiten, geht man in der algebraischen Geometrie oft zum projektiven Raum über. Der Hauptvorteil besteht dabei darin, dass sich die Anzahl der Schnittpunkte zweier Varietäten dann leicht mit Hilfe des Satzes von Bézout bestimmen lässt.
Projektiver Raum als Verband
Ein projektiver Raum und seine Unterräume lässt sich auch als ein spezieller Verband auffassen:
- Der Verband der Unterräume eines endlich dimensionalen projektiven Raums ist äquivalent zu einem endlich dimensionalen komplementierten atomaren modularen Verband.[9]
Literatur
- E. Artin: Geometric Algebra, Interscience Publishers, 1957
- F. Bachmann: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, 1959, (2. Auflage. Springer 1973)
- R. Baer: Linear Algebra and Projective Geometry,(Erstausgabe: 1952), Dover, 2005, ISBN 978-0-486-44565-6
- W. Blaschke: Projektive Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-0348-6932-0
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. I. Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
- A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07241-5
- H. Brauner: Geometrie projektiver Räume I,II, BI-Verlag, 1976
- Harold S. M. Coxeter: Projective Geometry, Springer 2003,
- P. Dembowski: Finite Geometries, Springer-Verlag, 1968, ISBN 978-3-642-62012-6
- Gerd Fischer: Analytische Geometrie. Vieweg 1978, S. 131–204
- R. Hartshorne: Foundations of Projective Geometry, New York: W.A. Benjamin, Inc,1967
- David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 14 Auflage. Teubner, Stuttgart 1999, ISBN 3-519-00237-X (archive.org).
- J. W. P. Hirschfeld: Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, 1979, ISBN 978-0-19-850295-1
- D.R. Hughes, F.C. Piper: Projective Planes, Springer-Verlag, 1973, ISBN 0-387-90043-8.
- L. Kadison, M.T. Kromann: Projective Geometry and modern Algebra, Birkhäuser-Verlag, 1996
- Gerhard Kowol: Projektive Geometrie und Cayley-Klein Geometrien der Ebene. Birkhäuser, Boston 2009
- Derrick Norman Lehmer: An Elementary Course in Synthetic Projective Geometry. Gutenberg eText
- H. Karzel, K. Sörensen, D. Windelberg Einführung in die Geometrie, Vandenhoeck und Ruprecht 1973
- H. Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Geest und Portig, Leipzig 1965.
- Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie, BI-Taschenbuch, 1969.
- Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-07280-2.
- Jürgen Richter-Gebert: Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Springer Science & Business Media, 2011, ISBN 978-3-642-17285-4.
- Pierre Samuel: Projective Geometry, Springer-Verlag 1988, ISBN 978-0-387-96752-3
Weblinks
- Projective Geometry. (Memento vom 4. Mai 2005 im Internet Archive) (PDF)
- Hanns-Jörg Stoß: Projektive Geometrie I.
- Projektive Geometrie, Kurzskript. (PDF) Uni Darmstadt
- Nigel Hitchin: Projective Geometry.
Einzelnachweise
- ↑ Beutelpacher/Rosenbaum: S. 162
- ↑ R. Lingenberg: Grundlagen der Geometrie, S. 70
- ↑ H. Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akad. Verl.-Gesellsch., 1965, S. 29
- ↑ H. Brauner: Geometrie projektiver Räume I, BI-Verlag, 1976, S. 42–47
- ↑ R. Lingenberg: Grundlagen der Geometrie, BI-Verlag, 1978, S. 113
- ↑ P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 28
- ↑ P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 48
- ↑ P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 48
- ↑ O. Tamaschke: Projektive Geometrie I, BI-Taschenbuch, 1969, S. 151
| Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Projektive Geometrie aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar. |