Charakteristische Funktion (Mathematik)

zweidimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates

Die charakteristische Funktion (auch Indikatorfunktion genannt) einer Teilmenge $T\subseteq X$ bezeichnet in der Mathematik diejenige Funktion von $X$ nach $\{0,1\},$ die für $x\in X$ genau dann $1$ ist, wenn $x$ Element von $T$ ist, und ansonsten $0\colon$

$\chi _{T}\colon X\to \{0,1\},\;x\mapsto {\begin{cases}1,&{\text{falls }}x\in T,\\0,&{\text{sonst}}.\end{cases}}$

Die Schreibweisen $\xi _{T}$ und $\mathrm {1} _{T}$ sind ebenfalls gebräuchlich.

Die Zuordnung ${\mathcal {P}}(X)\to 2^{X},\,T\mapsto \mathrm {\chi } _{T},$ liefert eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ und der Menge aller Funktionen von $X$ in die Menge $\{0,1\}.$

Bei der Bildung der partiellen charakteristischen Funktion wird die Definitionsmenge auf $T$ eingeschränkt; im Sinne von partiellen Funktionen kann man sie also wie folgt beschreiben:

$\chi _{T}'\colon X\rightsquigarrow \{0,1\},\;x\mapsto {\begin{cases}1,&{\text{falls }}x\in T,\\{\text{undefiniert}},&{\text{sonst}}.\end{cases}}$

Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

Für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )$ und $A\in {\mathcal {F}}$ ist die Indikatorfunktion $\chi _{A}\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R} },$ welche definiert ist durch $\chi _{A}(\omega )=1,$ wenn $\omega \in A,$ und ansonsten ist $\chi _{A}(\omega )=0,$ eine Zufallsvariable. Für sie gilt:

Erwartungswert: $\operatorname {E} (\chi _{A})=\operatorname {P} (A)$

Varianz: $\operatorname {Var} (\chi _{A})=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))^{2}+(1-\operatorname {P} (A))(0-\operatorname {P} (A))^{2}=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$

Kovarianz: $\operatorname {Cov} (\chi _{A},\chi _{B})=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

Man sieht: Die Varianz von $\chi _{A}$ ist maximal im Fall $P(A)={\tfrac {1}{2}}$ und zwei Indikatorvariablen sind genau dann unkorreliert, wenn die zugehörigen Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

Siehe auch

• Prädikatabbildung
• Diracmaß

Literatur

• A. A. Konyushkov: Characteristic function of a set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).