Stochastischer Prozess

Die Brownsche Brücke, ein stochastischer Prozess

Ein stochastischer Prozess ist die mathematische Beschreibung von zeitlich geordneten, zufälligen Vorgängen. Die Theorie der stochastischen Prozesse stellt eine wesentliche Erweiterung der Wahrscheinlichkeitstheorie dar und bildet die Grundlage für die stochastische Analysis. Obwohl einfache stochastische Prozesse schon vor langer Zeit studiert wurden, wurde die heute gültige formale Theorie erst Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt, vor allem durch Paul Lévy und Andrei Kolmogorow.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $(Z,{\mathcal {Z}})$ ein mit einer σ-Algebra versehener Raum (zumeist die reellen Zahlen mit der Borelschen σ-Algebra) und $T$ eine Indexmenge, zumeist $T\in \{\mathbb {N} _{0},\mathbb {R} _{+}\}$. Ein stochastischer Prozess $X$ ist dann eine Familie von Zufallsvariablen $X_{t}\colon \Omega \to Z,\;t\in T$, also eine Abbildung

$X\colon \Omega \times T\to Z,\;(\omega ,t)\mapsto X_{t}(\omega )$,

sodass $X_{t}\colon \omega \mapsto X_{t}(\omega )$ für alle $t\in T$ eine ${\mathcal {F}}$-${\mathcal {Z}}$-messbare Abbildung ist. Die Menge $Z$ wird auch der Zustandsraum des Prozesses genannt, er enthält alle Werte die der Prozess annehmen kann.

Eine alternative Formulierung sieht vor, dass $X$ eine einzige Zufallsvariable $\Omega \to (H,{\mathcal {H}})$ ist, wobei $H\subseteq Z^{T}$ eine (mit einer geeigneten σ-Algebra versehene) Menge von Funktionen $f\colon T\to Z$ ist. Bei geeigneter Wahl fallen diese beiden Definitionen zusammen.

Die Frage nach der Existenz von stochastischen Prozessen mit bestimmten Eigenschaften wird mit dem von Daniell-Kolmogorow und dem Satz von Ionescu-Tulcea (benannt nach Cassius Ionescu-Tulcea) weitgehend gelöst.

Einteilung

Die grundlegendste Einteilung stochastischer Prozesse in verschiedene Klassen erfolgt über die Indexmenge $T$ und die Wertemenge $Z$:

• Ist $T$ abzählbar (etwa $T=\mathbb {N} _{0}$), so heißt der Prozess zeitdiskret, ansonsten zeitstetig.
• Ist $Z$ endlich oder abzählbar, spricht man von wertediskreten Prozessen oder Punktprozessen. Ist $Z=\mathbb {R}$, so spricht man von einem reellwertigen Prozess.

Außerdem werden stochastische Prozesse noch analog zu den Zufallsvariablen danach klassifiziert, ob der Erwartungswert und die Varianz existieren.

• Ein stochastischer Prozess heißt integrierbar, wenn $\operatorname {E} (|X_{t}|)<\infty$ für alle $t\in T$ gilt.
• Ein stochastischer Prozess heißt quadratintegrierbar, wenn $\operatorname {E} (X_{t}^{2})<\infty$ für alle $t\in T$ gilt.

Darüber hinaus werden stochastische Prozesse noch nach stochastischen Eigenschaften in verschiedene Prozessklassen unterteilt. Die wichtigste Klasse ist hierbei die der Markow-Prozesse, die sich durch eine Art „Gedächtnislosigkeit“ auszeichnen. Die meisten untersuchten Prozesse gehören dieser Klasse an. Innerhalb der Markow-Prozesse (im zeitdiskreten Fall spricht man auch von Markow-Ketten) sind wiederum die Lévy-Prozesse von Bedeutung, die ein stochastisches Äquivalent zu den linearen Abbildungen darstellen. Weitere Prozessklassen sind Martingale, Gauß-Prozesse und Ito-Prozesse.

Pfade

Für jedes $\omega \in \Omega$ erhält man eine Abbildung $X(\cdot ,\omega )\colon T\rightarrow Z,\,t\mapsto X(t,\omega )=X_{t}(\omega )$. Diese Abbildungen nennt man die Pfade des Prozesses. Häufig spricht man statt von den Pfaden auch von den Trajektorien oder den Realisierungen des stochastischen Prozesses.

Ist speziell $T=\mathbb {R} _{+}$ und $Z\subseteq \mathbb {R}$ (oder ein allgemeinerer topologischer Raum), so kann man von Stetigkeitseigenschaften der Pfade sprechen. Man nennt einen zeitstetigen stochastischen Prozess stetig, rechtsseitig stetig, linksseitig stetig bzw. càdlàg, wenn alle Pfade des Prozesses die entsprechende Eigenschaft haben. Der Wiener-Prozess hat stetige Pfade, von denen im Bild zu den Beispielen unten zwei zu sehen sind. Der Poisson-Prozess ist ein Beispiel für einen zeitstetigen, wertdiskreten càdlàg-Prozess; er hat also rechtsseitig stetige Pfade, bei denen an jeder Stelle der linksseitige Limes existiert.

Stochastische Prozesse versus Zeitreihen

Neben der Theorie der stochastischen Prozesse gibt es auch die mathematische Disziplin der Zeitreihenanalyse, die weitgehend unabhängig davon operiert. Definitionsgemäß sind stochastische Prozesse und Zeitreihen ein und dasselbe, dennoch weisen die Gebiete Unterschiede auf: Während die Zeitreihenanalyse sich als Teilgebiet der Statistik versteht und versucht, spezielle Modelle (wie etwa ARMA-Modelle) an zeitlich geordnete Daten anzupassen, steht bei den stochastischen Prozessen die Stochastik und die spezielle Struktur der Zufallsfunktionen (etwa Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Variation oder Messbarkeit bezüglich gewisser Filtrierungen) im Vordergrund.

Beispiele

Ein Standard-Wiener-Prozess auf den Zeitintervall [0,3], außerdem sind der Erwartungswert und die Standardabweichung eingezeichnet

• Ein einfaches Beispiel für einen zeitdiskreten Punktprozess ist der symmetrische Random Walk, hier veranschaulicht durch ein Glücksspiel: Ein Spieler beginnt zum Zeitpunkt $t=0$ mit einem Startkapital von 10 Euro ein Spiel, bei dem er nacheinander immer wieder eine Münze wirft. Bei „Kopf“ gewinnt er einen Euro, bei „Zahl“ verliert er einen. Die Zufallsvariablen $X_{t},\;t\in \mathbb {N} _{0},$ für den Kontostand nach t Spielen definieren einen stochastischen Prozess (mit deterministischer Startverteilung $X_{0}=10$). Genauer betrachtet handelt es sich bei X um einen Lévy-Prozess und um ein Martingal.
• Einer der wichtigsten stochastischen Prozesse ist der Wiener-Prozess (auch „Brownsche Bewegung“ genannt). Hierbei sind die einzelnen Zustände normalverteilt mit linear anwachsender Varianz. Der Wiener-Prozess findet Anwendung in der stochastischen Integration, der Finanzmathematik und der Physik.
• Weitere Beispiele: Bernoulli-Prozess, Brownsche Brücke, Gebrochene Brownsche Bewegung, Markow-Kette, Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, Poisson-Prozess, Weißes Rauschen.

Siehe auch

• Liste stochastischer Prozesse

Weblinks

• Gerhard Winkler: Stochastische Prozesse in der statistischen Modellierung. Skript bei GSF - Forschungszentrum für Umwelt und Gesundheit GmbH, 161 S. (PDF-Datei; 829 kB)
• Hendrik van Hess: Stochastische Prozesse.