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Stern-Brocot-Folge
Die Stern-Brocot-Folge (A002487 in OEIS[1]) auch als „diatomische Folge von Stern und Brocot“ oder „Stern-Sequenz“ bekannt, ist eine Folge ganzer Zahlen, die unabhängig von dem Mathematiker Moritz Stern[2] und dem Uhrmacher Achille Brocot[3] (bekannt auch durch die Brocot-Hemmung) entdeckt wurde. Sie ist unter anderem Grundlage des Stern-Brocot-Baumes zur Abzählung rationaler Zahlen.
Brocot stieß als Uhrmacher auf die Folge, als er zu einem gewünschten Übersetzungsverhältnis (dezimal) die am besten passenden Zahnradpaarung (genauer: die beste Approximation durch ein Verhältnis der ganzzahligen Zähnezahlen) suchte.[4]
Das Bildungsgesetz der Folge lautet:
Die Folge der Zahlen lautet 0; 1; 1; 2; 1; 3; 2; 3; 1; 4; 3; 5; 2; 5; 3; 4; 1; 5; 4; 7; … wobei auch die folgende Stufentafel (Beginn der Folge mit s1) zur besseren Darstellung verschiedener Eigenschaften benutzt wird:
| 1 | |||||||||||||||||||
| 1 | 2 | ||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 2 | 3 | ||||||||||||||||
| 1 | 4 | 3 | 5 | 2 | 5 | 3 | 4 | ||||||||||||
| 1 | 5 | 4 | 7 | 3 | 8 | 5 | 7 | 2 | 7 | 5 | 8 | 3 | 7 | 4 | 5 | ||||
| 1 | 6 | 5 | 9 | 4 | 11 | 7 | 10 | 3 | 11 | 8 | 13 | 5 | 12 | 7 | 9 | 2 | 9 | 7 | … |
| 1 | 7 | 6 | 11 | 5 | 14 | 9 | 13 | 4 | 15 | 11 | 18 | 7 | 17 | 10 | 13 | 3 | 14 | 11 | … |
| 1 | 8 | 7 | 13 | 6 | 17 | 11 | 16 | 5 | 19 | 14 | 23 | 9 | 22 | 13 | 17 | 4 | 19 | 15 | … |
| 1 | 9 | 8 | 15 | 7 | 20 | 13 | 19 | 6 | 23 | 17 | 28 | 11 | 27 | 16 | 21 | 5 | 24 | 19 | … |
Die Summe der 2n Zahlen in der n-ten Zeile ist 3n und wenn n eine Zweierpotenz ist, wird sn = 1. Jede der Spalten ist eine arithmetische Folge, d. h. die Differenz zwischen zwei untereinander stehenden Zahlen ist konstant.
Zusammenhang mit anderen Folgen
Wenn man das Pascalsche Dreieck als Stufentabelle anordnet (siehe folgende Tabelle), so haben die aufsteigenden Diagonalen zwei Eigenschaften: Die Anzahl der ungeraden Zahlen ist die Stern-Brocot-Folge, die Summe der Zahlen die Fibonacci-Folge.
| 1 | ||||||
| 1 | 1 | |||||
| 1 | 2 | 1 | ||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | … |
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | … |
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | … |
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | … |
Die gelb markierte Diagonale zeigt ein Beispiel. In der ersten Spalte geht man von Zeile n = 9 aus und betrachtet die übrigen Werte der Diagonalen: Die Anzahl der ungeraden Zahlen ist 4 und s9 ist ebenfalls 4; Die Summe auf der Diagonalen ist 1+7+15+10+1= 34 = f9 in der Fibonacci-Folge.
Weblinks
- Code-Beispiele zur Programmierung der Stern-Brocot-Folge auf Rosettacode.org
- Artikel „Die verkannte Schwester der Fibonacci-Folge“ von Jean-Paul Delahaye in „Spekrum der Wissenschaft“ 05/2015 (nur als Auszug, aber mit Quellen des Artikels und weiterführenden Links).
Einzelnachweise
- ↑ A002487 ist die Bezeichnung der Zahlenfolge in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http//oeis.org)
- ↑ Artikel „Ueber eine zahlentheoretische Funktion.“ von Moritz Stern, erschienen im „Journal für die reine und angewandte Mathematik“, 55, 1858. S. 193-220.
- ↑ Artikel „Calcul des rouages par approximation, Nouvelle méthode.“ von Achille Brocot, erschienen in der „Revue chronomeétrique“, 3, 1861. 186-94
- ↑ Die Anwendung wird beispielsweise im Beitrag „Trees, Teeth, and Time: The mathematics of clock making“ von David Austin beschrieben, herausgegeben von der American Mathematical Society (abgerufen am 15. Mai 2015)
| Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Stern-Brocot-Folge aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar. |