Raumzeit

Raumzeit oder Raum-Zeit-Kontinuum bezeichnet die Vereinigung von Raum und Zeit in einer einheitlichen vierdimensionalen Struktur. Sie ist in der Relativitätstheorie verwirklicht.

Der Mensch erlebt im Alltag Ort und Zeit als zwei verschiedene Gegebenheiten. Bei Bewegungsgeschwindigkeiten, wie sie im Alltag auftreten, ist diese Unterscheidung sinnvoll. Sie findet sich in der gesamten klassischen Physik und größtenteils in der Technik. Bei Geschwindigkeiten von der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit zeigt sich jedoch, dass Zeit und Ort eines Ereignisses sich stets gegenseitig bedingen.

Historische Raumzeit-Konzepte

Raumzeit nach Aristoteles

Aristoteles-Raumzeit

Zur Konstruktion der Aristoteles-Raumzeit wird der Euklidsche Raum $\mathbb {E} ^{3}$ über das Schema des Aristoteles mit der »Euklidschen Zeit« $\mathbb {E} ^{1}$ zur sog. Aristoteles-Raumzeit kombiniert:

${\mathcal {A}}=\mathbb {E} ^{1}\times \mathbb {E} ^{3}$

(Die Euklidsche Zeit $\mathbb {E} ^{1}$ unterscheidet sich nur dadurch vom Raum der reellen Zahlen $\mathbb {R}$, dass $\mathbb {E} ^{1}$ keinen absolut definierten Nullpunkt aufweist. Gemeinsam ist beiden eine Orientierung (Zeitrichtung)).

(Der dreidimensionale Euklidische Punktraum $\mathbb {E} ^{3}$ ist dabei eine Äquivalenzklasse von Räumen $\mathbb {R} ^{3}$, die man erhält, wenn man den Nullpunkt des $\mathbb {R} ^{3}$ an verschiedene Raumpunkte verschiebt. In der Tat ist die wichtigste Eigenschaft der Räume $\mathbb {E} ^{n}$ ihre Homogenität bzw. Isotropie: Kein Punkt bzw. keine Richtung ist vor anderen ausgezeichnet. Gemeinsam ist allen ein vorgegebenes Skalarprodukt, das die Orthonormalbasen vorgibt. Alle Räume sind orientiert (Händigkeit).)

Galileoraum

Raumzeit nach Galileo

Neben der Aristoteles-Raumzeit wird auch der Galileoraum ${\mathcal {G}}$ definiert. Dieser ist nur geringfügig allgemeiner als die Aristoteles-Raumzeit, indem die Räume $\mathbb {E} ^{3}$ zwar zu verschiedenen Zeiten als verschieden angesehen werden, wobei aber die Zeit global definiert ist.

Dieser Raum basiert auf Galileos Beobachtung, dass sich die Erde um ihre Achse dreht und es einem Beobachter auf der Erde dennoch so vorkommt, als stünde die Erde still. Auch bemerkte Galileo, dass eine Flüssigkeit auch in einem Schiff, das sich gleichmäßig bewegt, immer gerade nach unten tropft.

Das Problem wird dadurch gelöst, dass unabhängige Inertialsysteme $\mathbb {E} ^{3}$ definiert werden, zu denen eine Relativbewegung gemessen wird. Somit hat der Beobachter auf der Erde den Eindruck, dass die Erde stillsteht und sich die Sonne um die Erde dreht, während ein Beobachter nahe der Sonne, wenn er sich auf ein anderes Inertialsystem bezieht, eine Bewegung der Erde relativ zur Sonne feststellt.

Der Galileoraum zeichnet sich dadurch aus, dass zwar unterschiedliche Inertialsysteme existieren, aber nur eine absolute (d. h. allen Punkten gemeinsame) Zeit.

Newton-Cartan-Raumzeit

Raumzeit nach Newton-Cartan

Élie Cartan erweiterte die Raumdefinition um die Möglichkeit, bahnförmige Bewegungen (wie etwa die Umkreisung der Erde um die Sonne) als geradlinige Bewegungen aufzufassen, indem jeweils das Inertialsystem verschoben wird. Die von Cartan erweiterte Raumzeit wird auch als Newtonraumzeit ${\mathcal {N}}$ bezeichnet.

Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

Kausalität

Die Kopplung von Raum und Zeit muss der Forderung genügen, dass, falls Ereignis A das Ereignis B hervorruft, diese „Kausalität“ in allen Koordinatensystemen gelten muss. Ein Koordinatensystemwechsel darf also die Kausalität von Ereignissen nicht verändern. Die Kausalität wird mathematisch durch einen Abstandsbegriff definiert, der von den drei differentiellen Ortskoordinaten dx, dy, und dz der Ereignisse (s. u.) und ihren differentiellen Zeitpunkten dt abhängt. Die Forderung nach der „Invarianz“ (Erhaltung der Kausalität) des verallgemeinerten Abstandes zweier Ereignisse führt dazu, dass physikalische Modelle in mathematischen Räumen beschrieben werden, in denen Zeit und Raum in bestimmter Weise gekoppelt sind. Es lässt sich ein absolut (absolut im Sinne der Invarianz gegenüber Koordinatenwechsel) gültiger Abstandsbegriff (z. B. die sogenannte Eigenzeit bzw. der „verallgemeinerte Abstand“, s. u.) für Raumzeitpunkte des erwähnten vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums (sogenannte „Ereignisse“) definieren, jedoch ist es vom Bewegungszustand des Beobachters und der Anwesenheit von Masse bzw. Energie (z. B. in Feldern) abhängig, was davon als räumlicher bzw. als zeitlicher Abstand gemessen wird. Mathematisch wird die Raumzeit mit Hilfe einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit beschrieben, speziell im sogenannten Minkowski-Raum. Beispielsweise gilt in diesem Raum für das „Ereignis“ mit den vier Koordinaten cdt, dx, dy, dz – mit der Lichtgeschwindigkeit c –, dass der zugehörige „verallgemeinerte Abstand“ vom Ursprung – oder genauer sein Quadrat (ds)² – nicht wie üblich durch den Satz von Pythagoras  (ds)² = (cdt)² + (dx)² + (dy)² + (dz)², sondern durch den indefiniten Ausdruck  (ds)² := (cdt)² − (dx)² − (dy)² − (dz)² definiert ist (man spricht von einer nicht-trivialen „Signatur“ des vierdimensionalen Raumzeit-Kontinuums, etwa so: (+,−,−,−)).

Minkowski-Raum, Vierervektoren

In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten $(x,y,z)$ um eine Zeitkomponente $ct$ zu einem Vierervektor im Minkowski-Raum $\mathbb {M} ^{4}=\mathbb {R} ^{1,3}$ („Raumzeit“) erweitert, also $(ct,x,y,z)$ (bzw. in einer anderen, weniger gebräuchlichen Konvention $(ict,x,y,z)$ mit der Lichtgeschwindigkeit c und der imaginären Einheit i).

Ein Punkt in der Raumzeit besitzt drei Raumkoordinaten sowie eine Zeitkoordinate und wird als Ereignis oder Weltpunkt bezeichnet.

Für Ereignisse wird ein invarianter raum-zeitlicher Abstand definiert. Im klassischen euklidischen Raum, einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, bleibt das differentielle räumliche Abstandsquadrat (euklidische Norm) zweier Punkte lediglich unter Galilei-Transformationen konstant:

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}$

In der SRT dagegen wird ein für alle Beobachter identischer (verallgemeinerter) Abstand definiert, der auch unter Lorentz-Transformationen konstant (invariant) bleibt (Diese Invarianz definiert man durch die Forderung, dass der vierdimensionale Abstand bzw. die Minkowski-Metrik konstant (invariant) unter einer linearen Koordinatentransformation ist, wodurch sich die oben erwähnte Homogenität der Raumzeit ausdrückt):

$\mathrm {d} s^{2}:=\eta _{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}.$

Dies ist die quadrierte Minkowski-Norm, welche die uneigentliche Metrik (Abstandsfunktion) der flachen Raumzeit erzeugt. Sie wird durch das (indefinite) invariante Skalarprodukt auf dem Minkowski-Raum induziert, welches sich als Wirkung des (pseudo)-metrischen Tensors $\eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)$ definieren lässt:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\eta _{\mu \nu }x^{\mu }y^{\mu }$ (beachte: Einsteinsche Summenkonvention)

Der metrische Tensor wird im physikalischen Sprachgebrauch auch als Minkowski-Metrik oder flache „Metrik“ der Raumzeit bezeichnet, obwohl er im eigentlichen Sinne nicht mit der Metrik an sich zu verwechseln ist. Es handelt sich mathematisch vielmehr um ein Skalarprodukt auf einer pseudoriemannschen Mannigfaltigkeit.

Bei dem Linienelement $\mathrm {d} s$ handelt es sich bis auf den Faktor $1/c$ um die differentielle Eigenzeit:

$\mathrm {d} \tau ={\frac {ds}{c}}=dt\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

Diese wird mit einer mitbewegten Uhr gemessen, also im „momentan begleitenden Inertialsystem“, in dem das auf der Weltlinie befindliche Teilchen ruht: $(v(t)\equiv 0)$.

Ein Element (Vektor) der Raumzeit heißt

• zeitartig, wenn $ds^{2}>0$ gilt (Raumzeit-Abstand reell). Zwei Ereignisse, für die $\mathrm {d} s^{2}$ positiv ist, sind gegenseitig sichtbar, d.h. sie liegen innerhalb des Lichtkegels.
• raumartig, wenn $ds^{2}<0$ gilt (Raumzeit-Abstand imaginär). Zwei Ereignisse, für die $\mathrm {d} s^{2}$ negativ ist, sind raumzeitlich so weit voneinander entfernt, dass ein Lichtstrahl nicht rechtzeitig von einem zum anderen Ereignis gelangen kann. Da Information entweder über Licht oder Materie übertragen wird und Materie in der Relativitätstheorie niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann (und somit auch nicht schneller als diese sein kann), können solche Ereignisse niemals in einer Ursache-Wirkung-Beziehung stehen. Sie könnten nur mit Überlichtgeschwindigkeit wahrgenommen werden, sind also prinzipiell gegenseitig unsichtbar, d.h. sie liegen außerhalb des Lichtkegels.
• lichtartig, wenn $ds^{2}=0$ gilt. Licht bewegt sich stets genau mit der Geschwindigkeit $c$, so dass für es in allen Bezugssystemen $\mathrm {d} s^{2}\equiv 0$ gilt (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie).

Die Klassifizierung der Raumzeit-Vektoren (raumartig, lichtartig oder zeitartig) bleibt bei den zulässigen Transformationen (Lorentztransformationen) unverändert (Invarianz des Lichtkegels).

Praktische Anwendung findet das Rechnen mit Raumzeitvektoren in der Kinematik schneller Teilchen.

Mathematische Motivation der Minkowski-Metrik

• Betrachtet man den D'Alembert-Operator $\Box$ mit

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2},$

so ist zu erkennen, dass man auch abkürzend

$\Box =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }$

schreiben kann, wenn folgende zwei Vierervektoren eingeführt werden:

$\partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)$

$\partial ^{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)$

In diesem Fall tritt die Zeit als vierte Dimension auf, die Metrik $\eta _{\mu \nu }$ muss also von einer $4\times 4$-Matrix induziert sein.

• Da die vier Dimensionen linear unabhängig sind, lässt sich $\eta _{\mu \nu }$ auf Diagonalform bringen (Hauptachsentransformation).

$(\eta _{\mu \nu })=\left({\begin{array}{cccc}\alpha _{0}&0&0&0\\0&\alpha _{1}&0&0\\0&0&\alpha _{2}&0\\0&0&0&\alpha _{3}\end{array}}\right)$

• Aufgrund der Forderung, dass es keine ausgezeichneten Raumzeit-Koordinaten gibt, können die Diagonalelemente nur den Wert $\pm 1$ besitzen. Für die Raumkoordinaten wird meist $-1$ gewählt. Dies ist aber eine Konvention, die nicht einheitlich verwendet wird.

$(\eta _{\mu \nu })=\left({\begin{array}{cccc}\pm 1&0&0&0\\0&\mp 1&0&0\\0&0&\mp 1&0\\0&0&0&\mp 1\end{array}}\right)$

• Die Zeitkomponente kann nicht dasselbe Vorzeichen haben wie die Raumkomponenten. Hierzu betrachtet man wieder den D’Alembert-Operator $\Box$:

$\Box =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\eta _{\mu \nu }\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }$

Daraus ergäbe sich als homogene Wellengleichung für eine Welle $\psi$

$\left({\vec {\nabla }}^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\psi =0$

Setzt man nun für $\psi$ eine ebene Welle an, d. h. $\psi ({\vec {r}},t)=A\,e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$, so ergäbe sich eine komplexe Frequenz, und damit wäre $\psi$ exponentiell gedämpft. In diesem Fall gäbe es also keine dauerhaften ebenen Wellen, was im Widerspruch zur Beobachtung steht. Folglich muss die Zeitkomponente ein anderes Vorzeichen haben:

$(\eta _{\mu \nu })=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)$

Daraus ergibt sich die korrekte homogene Wellengleichung

$\left({\vec {\nabla }}^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\psi =0$

Minkowski-Diagramm

Im Minkowski-Diagramm können die Verhältnisse geometrisch dargestellt und analysiert werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente wird dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem Vorzeichen wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.

Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie

Nichteuklidische Geometrien

Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit (ct, x, y, z) in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die pseudo-riemannsche Geometrie. Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das Parallelenaxiom, müssen in diesen Theorien aufgegeben und durch allgemeinere Beziehungen ersetzt werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise kein Geradenteilstück mehr. Einer Geraden in der euklidischen Geometrie entspricht die Geodäte in der nicht-euklidischen Welt; im Falle einer Kugeloberfläche sind die Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im – aus Geodätenabschnitten bestehenden – Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

Raumzeit-Krümmung

Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch jede Form von Energie, wie etwa Masse, Strahlung oder Druck, verursacht. Diese Größen bilden zusammen den Energie-Impuls-Tensor und gehen in die Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang von Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben – in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c² beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.

In vielen populären Darstellungen der allgemeinen Relativitätstheorie wird häufig nicht beachtet, dass nicht nur der Raum, sondern auch die Zeit gekrümmt sein muss, um ein Gravitationsfeld zu erzeugen. Dass stets Raum und Zeit gekrümmt sein müssen, ist anschaulich leicht zu verstehen: Wäre nur der Raum gekrümmt, so wäre die Trajektorie eines geworfenen Steines immer dieselbe, egal welche Anfangsgeschwindigkeit der Stein besäße, da er stets nur dem gekrümmten Raum folgen würde. Nur durch die zusätzliche Krümmung der Zeit können die verschiedenen Trajektorien zustande kommen. Im Rahmen der ART kann dies auch mathematisch gezeigt werden.

Im normalen, dreidimensionalen Raum ist nur die Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. Hat der Körper die Geschwindigkeit v, so ist die Weltlinie gegenüber der Zeitachse geneigt, und zwar um den Winkel $\tan \alpha =v/c$. Die Projektion der Bahn wird mit steigendem v um den Faktor $1/\sin \alpha$ länger, der Krümmungsradius um den gleichen Faktor $1/\sin \alpha$ größer, die Winkeländerung also kleiner. Die Krümmung (Winkeländerung pro Längenabschnitt) ist daher um den Faktor $\sin ^{2}\alpha$ kleiner.

Mit

$\sin \alpha ={\frac {v}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

folgt dann aus der Weltlinienkrümmung g/c² für die beobachtete Bahnkrümmung $R$ im dreidimensionalen Raum

$R={\frac {g}{v^{2}}}\cdot \left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$.

Raumkrümmung und Zentrifugalbeschleunigung

Für kleine Geschwindigkeiten v≪c ist die Bahnkrümmung g/v² und entspricht damit dem Wert bei einer klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mit v=c hat der Faktor (1 + v²/c²) den Wert 2, die Krümmung entspricht also dem doppelten Wert 2g/v² der klassischen Betrachtung. Die Winkelabweichung von Sternenlicht der Fixsterne in Sonnennähe sollte also doppelt so groß sein wie im klassischen Fall. Dies wurde von Arthur Eddington im Rahmen einer Afrikaexpedition zur Beobachtung der Sonnenfinsternis von 1919 erstmals verifiziert.

Wegen dieser kleinen Abweichung vom klassischen Wert sind die Planetenbahnen auch keine exakten Ellipsen mehr, sondern unterliegen einer Apsidendrehung. Beim Planeten Merkur wurde dies erstmals nachgewiesen.

Symmetrien

Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von Symmetrien, die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes (Translation, Rotation) auch die Symmetrien unter Lorentztransformationen (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das Relativitätsprinzip sicher.

Literatur

• George F. R. Ellis & Ruth M. Williams: Flat and curved space-times. Oxford Univ. Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-851164-7
• Erwin Schrödinger: Space-time structure. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1950, deutsch: Die Struktur der Raum-Zeit., Wiss. Buchges., Darmstadt 1993, ISBN 3-534-02282-3
• Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler: Spacetime physics. Freeman, San Francisco 1966, ISBN 0-7167-0336-X, deutsch:Physik der Raumzeit. Spektrum Akad. Verl.,Heidelberg 1994, ISBN 3-86025-123-6
• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0468-6

Philosophische Bücher:

• Robert DiSalle: Understanding space-time: the philosophical development of physics from Newton to Einstein. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-85790-1
• Moritz Schlick: Raum und Zeit in der gegenwärtigen Physik. Springer, Berlin 1922, preview
• Lawrence Sklar: Space, Time, and Spacetime, University of California Press 1977

Weblinks

Wiktionary: Raumzeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Albert Einsteins klassischer Lexikonartikel Space-Time von 1926 in der Encyclopædia Britannica
• Zeit, Albert Einstein 1929, Einstein Archives Online
• Space-time Vortex, Science@Nasa, 16. November 2005
• SPACETIME - From the Greeks to Gravity Probe B, stanford.edu, abgerufen am 28. April 2011