Kompressionsmodul

Der Kompressionsmodul (Formelzeichen: K) ist eine intensive und stoffeigene physikalische Größe aus der Elastizitätslehre. Er beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Die Eigenschaft von Stoffen, dass sie einer Komprimierung Widerstand entgegensetzen, hat ihre Ursache im Pauli-Prinzip.

Die Kompression, Verdichtung, Komprimierung ist ein (allseitiges) Zusammendrücken eines Körpers, welches dessen Volumen verringert und seine Dichte (Massendichte) erhöht. Körper werden nur als kompressibel bezeichnet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. In der Festigkeitslehre wird im Allgemeinen jeder Festkörper als verformbar (in Form (reiner Schub) als auch hydrostatische Volumsveränderungen (kompressibel)) angenommen. Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine elastische Verformung und die Verdichtung kehrt sich beim Nachlassen des Drucks wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Ausdehnung = Expansion). Bei Festkörpern kann abhängig von Material eine bleibende Änderung der Struktur eintreten (z. B. Zerbröseln des Betons, Kornumlagerungen im Grundbau). Der Kompressionsmodul beschreibt nur den spontan elastischen Anteil (des hydrostatischen Anteiles) der Volumensänderung, weder plastische noch bruchmechanische noch viskoelastische Anteile gehen ein. Der Kompressionsmodul wird ausschließlich über die spontan elastische Veränderung der Massendichte zufolge mechanischer Spannung definiert, also nach Abzug eventueller thermischer Verformungen.

Definition

Der Kompressionsmodul ist definiert als:

K:=-V\cdot {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} V}}=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} V/V}}

Das negative Vorzeichen entsteht, weil bei einem Druckzuwachs das Volumen abnimmt, also $\mathrm {d} V$ negativ ist, aber $K$ positiv bleiben soll. Die SI-Einheit des Kompressionsmoduls ist Pascal bzw. Newton/Quadratmeter. Der Kompressionsmodul ist eine Materialkonstante, die unter anderem von der Temperatur und vom Druck abhängig ist. Der Kompressionsmodul stellt eine Spannung (z. B. in $\mathrm {\tfrac {N}{m^{2}}}$ ) dar, welche jenen fiktiven Druck darstellt, bei dem das Volumen zu Null werden würde, wenn lineare Elastizität und geometrische Linearität in den Ortskoordinaten (somit nicht in den Materialkoordinaten) gegeben wäre, also der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

$V$ – Volumen
$\mathrm {d} p$ – infinitesimale Druckänderung
$\mathrm {d} V$ – infinitesimale Volumenänderung
$\mathrm {d} V/V$ – relative Volumenänderung

Kompressibilität

Der Kehrwert des Kompressionsmoduls ist die Kompressibilität (Formelzeichen: κ oder χ), auch Kompressibilitätskoeffizient. Dieser wird oft bei Gasen und Flüssigkeiten anstatt des Kompressionsmoduls verwendet.

\kappa ={\frac {1}{K}}=-{\frac {\mathrm {d} V/V}{\mathrm {d} p}}=-{\frac {1}{V}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} p}}

.

Man unterscheidet zwischen isothermer Kompressibilität $\kappa _{T}$ (konstante Temperatur $T$ und konstante Teilchenzahl $N$ ), wobei $F(T,V,N)$ die Freie Energie ist

\kappa _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T,N}={\frac {1}{pV}}\left({\frac {\partial F}{\partial p}}\right)_{T,N}

und adiabatischer Kompressibilität $\kappa _{S}$ (konstante Entropie $S$ und konstante Teilchenzahl $N$ ), wobei $U(S,V,N)$ die Innere Energie ist

\kappa _{S}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{S,N}={\frac {1}{pV}}\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{S,N}\;.

Bei Gasen folgt die Kompressibilität im Rahmen der Näherung als Ideales Gas dem Boyle-Mariotte-Gesetz mit dem einfachen Ergebnis:

\kappa _{T}=1/p\,

\kappa _{S}=1/(\gamma \,p)\;,

wobei $\gamma$ (oft auch als $\kappa$ bezeichnet) der Isentropenexponent ist.

Die Kompressibilität von Flüssigkeiten wurde lange bezweifelt, bis sie John Canton 1761, Jacob Perkins 1820 und Hans Christian Oersted 1822 durch Messungen nachweisen konnten.

Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten

Man kann den Kompressionsmodul hierbei aus anderen Elastizitätskonstanten errechnen, unter Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens und isotropen Materials:

K={\frac {E}{3-6\nu }}={\frac {GE}{9G-3E}}={\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}

wobei:

$E$ – Elastizitätsmodul
$\nu$ – Poissonzahl
$G$ – Schubmodul

Beispiele

Kompressionsmodul einiger Substanzen
Luft	1,01·10⁵ Pa isotherm, 1,42·10⁵ Pa adiabat, unter Normalbedingung
Helium im festen Zustand	5·10⁷ Pa (geschätzt)
Öl	10⁹ bis 1,6·10⁹ Pa^[1]
Wasser	2,08·10⁹ Pa (Wert steigt bei Druckanstieg)
Methanhydrat	9,1·10⁹ Pa (linear approximiert im Druckbereich 10-100 MPa)
Glas	3,5·10¹⁰ bis 5,5·10¹⁰ Pa
Stahl	1,6·10¹¹ Pa
Diamant	4,42·10¹¹ Pa
Osmium	4,62·10¹¹ Pa
ADNR	4,91·10¹¹ Pa Aggregierte Diamant-Nanoröhrchen (härtestes 2008 bekanntes Material^[2])

Wasser

Der Kompressionsmodul von Wasser beträgt bei einer Temperatur von 10 °C unter Normaldruck 2,08·10⁹ Pa.

Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität $\kappa =-{\frac {\mathrm {d} V}{V\cdot \mathrm {d} p}}=0{,}5{\frac {1}{\mathrm {GPa} }}$ das folgende Diagramm:

Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf den Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.^[3]

Bei einer Dichte von 1.000 kg/m³ in 0 m Tiefe ergibt sich durch Kompressibilität des Wassers in 12.000 m Tiefe eine Erhöhung der Dichte dort um 6 % auf 1.060 kg/m³ und dadurch eine Erhöhung des berechneten realen Drucks vom idealen (ohne Dichteerhöhung) von etwa +3,5 %. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.

Neutronensterne

Bei Neutronensternen sind unter dem Druck der Gravitation alle Atomhüllen zusammengebrochen und aus Elektronen der Hüllen und Protonen der Atomkerne sind Neutronen entstanden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 Größenordnungen über dem von Diamanten.

Umrechnung

Zusammenhänge zwischen Elastizitätsmoduln

Siehe auch

Kompression (Begriffsklärung)
Inkompressibilität und Inkompressibles Fluid
thermische Zustandsgleichung
Boyle-Mariotte-Gesetz, Ideales Gas
Schubmodul
Poissonzahl
Elastizitätsmodul (Zugmodul, Youngscher Modul)
Kontinuumsmechanik
Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Einzelnachweise

↑ Dieter Will, Norbert Gebhardt: Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen, S. 21–, Springer DE 1 June 2011, ISBN 978-3-642-17242-7
↑ Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. Applied Physics Letters, 22. August 2005.
↑ Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses

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[WillGebhardt2011-1] Dieter Will, Norbert Gebhardt: Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen, S. 21–, Springer DE 1 June 2011, ISBN 978-3-642-17242-7

[Dubrovinskaia_et_al._2005-2] Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. Applied Physics Letters, 22. August 2005.

[3] Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses

[1]

[2]

[3]