Körper (Geometrie)

Beispiele für geometrische Körper: Kugel, Pyramide, Würfel, Volltorus, Hohlzylinder, Kreiszylinder, Kegel und ein verknoteter Volltorus.

Ein Körper ist in der Geometrie eine dreidimensionale Figur, die durch ihre Oberfläche beschrieben werden kann. Die Oberfläche eines Körpers kann dabei aus flachen oder gekrümmten Flächenstücken zusammengesetzt sein. Besteht die Oberfläche eines Körpers nur aus ebenen Flächenstücken, handelt es sich um einen Polyeder. Zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts vieler geometrischer Körper gibt es mathematische Formeln (siehe Formelsammlung Geometrie). Genauer gesagt heißt eine geometrische Figur der soeben beschriebenen Art dreidimensionaler Körper, da diese Begriffsbildung auch auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden kann.

Definition

Geometrische Körper können auf verschiedene Weise mathematisch definiert werden. Wird der dreidimensionale Raum als Punktmenge aufgefasst, dann ist ein Körper eine Teilmenge dieser Punkte, die bestimmte Eigenschaften erfüllt.

In der Stereometrie ist ein Körper eine beschränkte dreidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raums, die allseitig von endlich vielen ebenen oder gekrümmten Flächenstücken begrenzt wird, einschließlich dieser Begrenzungsflächen. Eine Menge heißt dabei beschränkt, wenn es eine entsprechend große Kugel gibt, die die Menge vollständig umfasst. Die Vereinigung der Punkte aller begrenzenden Flächenstücke bildet die Oberfläche des Körpers. Die Oberfläche eines Körpers zerlegt den Raum in zwei getrennte Teilmengen, wobei das Innere des Körpers diejenige Teilmenge ist, die keine Gerade enthält.^[1]

In der geometrischen Modellierung ist ein Körper eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge des dreidimensionalen Raums, die gleich dem Abschluss ihres Inneren ist. Eine Menge heißt dabei abgeschlossen, wenn sie ihren Rand mit enthält, und der Abschluss einer Menge ist die kleinste abgeschlossene Menge, die diese umfasst. Die dritte Bedingung stellt sicher, dass ein Körper vollständig dreidimensional ist, also keine Bereiche niedrigerer Dimension aufweist. Man spricht an dieser Stelle auch von der Regularität oder der Homogenität eines Körpers. Nach dieser Definition kann ein Körper auch aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Komponenten bestehen.^[2]^[3]

Die Oberfläche eines Körpers kann ebenfalls aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Teilen bestehen. Indem diesen Teilflächen jeweils eine Orientierung zugewiesen wird, kann ein Körper auch über seine Oberfläche beschrieben werden. Man spricht dann auch von der Oberflächendarstellung (boundary representation) des Körpers.

Beispiele

Die bekanntesten Körper besitzen flache oder kreis- bzw. kugelförmige Grenzflächen. Als Beispiele für Körper im Allgemeinen dienen: Würfel, Tetraeder, Pyramide, Prisma, Oktaeder, Zylinder, Kegel, Kugel und Volltorus.

Polyeder

→ Hauptartikel: Polyeder

Zu den bekanntesten geometrischen Körpern gehören die regelmäßigen Polyeder. Das sind die dreidimensionalen, von regelmäßigen Vielecken begrenzten Vielflächner, deren Kanten nur nach außen zeigen und nicht unendlich groß sind, die also auch konvex und beschränkt sind, wie beispielsweise der Würfel, der Tetraeder oder auch der sogenannte Fußballkörper. Von diesen Körpern gibt es nur fünf Arten: die platonischen Körper, die mit sich selbst oder untereinander dual sind, die archimedischen Körper und die dazu dualen catalanischen Körper sowie die Johnson-Körper. Dazu kommen die Prismen und die Antiprismen. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder, mit denen alleine eine lückenlose Raumfüllung möglich ist: Würfel, dreieckiges und sechseckiges Prisma, verdrehter Doppelkeil und Oktaederstumpf.

Weiteres

Zur Veranschaulichung von Körpern finden Körpernetze, (physische) Körpermodelle und Software-Anwendungen für dynamische Raumgeometrie und CAD Verwendung.
Die Geometrie kennt Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen vieler Körper.
Symmetrieeigenschaften einzelner Körper lassen sich in der Gruppentheorie darstellen.
Kristalle sind aus (idealisierten) Elementarzellen aufgebaut, die sich als geometrische Körper verstehen lassen.

Literatur

Tommy Bonnesen, W. Fenchel: Theorie der konvexen Körper. American Mathematical Soc., 1971, ISBN 0828400547.

Einzelnachweise

↑ Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main, Jahr=1998, ISBN 3-871-44336-0, S. 298.
↑ Max K. Agoston: Computer Graphics and Geometric Modelling: Implementation & Algorithms. Springer, 2005, ISBN 978-1-846-28108-2, S. 158.
↑ Leila de Floriani, Enrico Puppo: Representation and conversion issues in solid modelling. In: George Zobrist, C Y Ho (Hrsg.): Intelligent Systems and Robotics. CRC Press, 2000, ISBN 978-9-056-99665-9.

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[1] Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main, Jahr=1998, ISBN 3-871-44336-0, S. 298.

[2] Max K. Agoston: Computer Graphics and Geometric Modelling: Implementation & Algorithms. Springer, 2005, ISBN 978-1-846-28108-2, S. 158.

[3] Leila de Floriani, Enrico Puppo: Representation and conversion issues in solid modelling. In: George Zobrist, C Y Ho (Hrsg.): Intelligent Systems and Robotics. CRC Press, 2000, ISBN 978-9-056-99665-9.

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