Zehnerpotenz

Zehnerpotenzen, auch Stufenzahlen, sind Potenzen mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten. Eine wichtige Anwendung der Zehnerpotenzen ist die Exponentialschreibweise von Gleitkommazahlen.

Die Zehnerpotenzen

Einige Zehnerpotenzen haben eigene Zahlennamen:

Name	Zahl in Exponentialschreibweise	Zahl in Dezimalschreibweise
Trilliardstel	$10^{-21}$	$0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,001$
Trillionstel	$10^{-18}$	$0{,}000\,000\,000\,000\,000\,001$
Billiardstel	$10^{-15}$	$0{,}000\,000\,000\,000\,001$
Billionstel	$10^{-12}$	$0{,}000\,000\,000\,001$
Milliardstel	$10^{-9}$	$0{,}000\,000\,001$
Millionstel	$10^{-6}$	$0{,}000\,001$
Hunderttausendstel	$10^{-5}$	$0{,}000\,01$
Zehntausendstel	$10^{-4}$	$0{,}000\,1$
Tausendstel	$10^{-3}$	$0{,}001$
Hundertstel	$10^{-2}$	$0{,}01$
Zehntel	$10^{-1}$	$0{,}1$
Eins	$10^{0}$	$1$
Zehn	$10^{1}$	$10$
Hundert	$10^{2}$	$100$
Tausend	$10^{3}$	$1\,000$
Zehntausend	$10^{4}$	$10\,000$
Hunderttausend	$10^{5}$	$100\,000$
Million	$10^{6}$	$1\,000\,000$
Milliarde	$10^{9}$	$1\,000\,000\,000$
Billion	$10^{12}$	$1\,000\,000\,000\,000$
Billiarde	$10^{15}$	$1\,000\,000\,000\,000\,000$
Trillion	$10^{18}$	$1\,000\,000\,000\,000\,000\,000$
Trilliarde	$10^{21}$	$1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$

Der Exponent gibt dabei die Zahl der Nullen der Dezimalschreibweise der Zehnerpotenz an. Wenn dort 10 hoch sechs (10⁶) steht, dann ist es also eine Million.

Verwendung

Hertzsprung-Russell-Diagramm. Abszisse: Farbindex der Sterne, Ordinate: Leuchtkraft (Sonne = 1) in Zehnerpotenzen

Da unser übliches Zahlensystem, das Dezimalsystem (zu lat. decimus „der Zehnte“), auf Zehnerpotenzen beruht, sind sie geeignet, auch sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt zu schreiben. Sie bilden die Grundlage der wissenschaftlichen Schreibweise (kurz SCI für englisch scientific), die die Zahlen auf vorgestellte Mantisse und Exponent der Basis 10 reduzieren kann.

Dazu als Beispiele:

$4{,}711\cdot 10^{3}=4711$

$4{,}711\cdot 10^{6}=4\,711\,000$

$0{,}000000004711=4{,}711\cdot 10^{-9}$

Auch die Achsen von Diagrammen werden oft nicht linear, sondern in Zehnerpotenzen als logarithmische Skala geteilt, wenn es um sehr große Wertebereiche geht. Ein Beispiel aus der Astronomie – die man ja mit „astronomisch großen Zahlen“ assoziiert – ist das Hertzsprung-Russell-Diagramm, das im nebenstehenden Bild auf der Ordinate eine Skala von 0,00001 bis 100 000 Einheiten der Sonnen-Leuchtkraft L₀ zeigt. Dann liegt aber z. B. in der Mitte zwischen 10 und 100 L₀ nicht der Wert 20 oder 50, sondern 31,63 L₀. Dieser Wert ist nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel von 10 und 100, d. h. die Wurzel aus 1000 bzw. 10^1,5.

Rechnen mit Zehnerpotenzen

Es gibt einige einfache Rechenregeln für das Rechnen mit Zehnerpotenzen:

• Multipliziert man eine natürliche Zahl mit einer Stufenzahl, so werden die Nullen der Stufenzahl an die natürliche Zahl angehängt.
• Multipliziert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl, so rückt das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Stufenzahl Nullen hat.
• Dividiert man einen Dezimalbruch durch eine Stufenzahl, so rückt das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Stufenzahl Nullen hat.

Zehnerpotenzen und SI-Präfixe

Für Maßeinheiten definiert das Internationale Einheitensystem entsprechende Vorsilben:

SI-Präfixe
Name	Deka	Hekto	Kilo	Mega	Giga	Tera	Peta	Exa	Zetta	Yotta
Symbol	da	h	k	M	G	T	P	E	Z	Y
Faktor	101	102	103	106	109	1012	1015	1018	1021	1024
Name	Dezi	Zenti	Milli	Mikro	Nano	Piko	Femto	Atto	Zepto	Yokto
Symbol	d	c	m	µ	n	p	f	a	z	y
Faktor	10−1	10−2	10−3	10−6	10−9	10−12	10−15	10−18	10−21	10−24

Details für extrem kleine Zahlen

Billionstel

Ein Billionstel entspricht dem Bruch

${\frac {1}{1\,000\,000\,000\,000}}$.

Wie bei allen Dezimalzahlen und Brüchen mit Zahlwörtern ab der Billion, die auf -ion enden, gibt es hier einen deutsch-englischen falschen Freund. Im Englischen entspricht billion der Milliarde im Deutschen, sodass billionth dem deutschen Milliardstel entspricht. Das englische Wort für Billionstel ist trillionth.

Die entsprechende Pseudomaßeinheit für diverse mengenbezogene Größen ist parts per trillion, Teile pro Billion (ppt), 1 ppt (ein Anteil von einem Billionstel) sind 10⁻¹⁰ Prozent.

Vergleichsbeispiele

Ein Billionstel entspricht ungefähr dem Verhältnis von:

• Drei Liter Wasser zum Volumen des Starnberger Sees.
• Der Masse des Jupitermondes Amalthea zur Masse der Sonne.
• Der Körpermasse einer roten Waldameise (ca. 10 mg) zu der von 2000 Elefanten (mit durchschnittlich 5 Tonnen).

Billiardstel

Ein Billiardstel entspricht dem Bruch

${\frac {1}{1\,000\,000\,000\,000\,000}}$.

Im englischsprachigen Raum wird „Quadrillionth“ anstelle Billiardstel verwendet.

Vergleichsbeispiele

Licht kann in einer Billiardstel Sekunde die Strecke der Dicke eines menschlichen Haares zurücklegen, benötigt von der Erde bis zum Mond ca. 1,3 Sekunden.

Trillionstel

Ein Trillionstel entspricht dem Bruch

${\frac {1}{1\,000\,000\,000\,000\,000\,000}}$.

Auch hier gibt es einen deutsch-englischen falschen Freund. Im englischsprachigen Ausland entspricht die trillion der Billion im deutschsprachigen Raum, sodass trillionth dem deutschsprachigen Billionstel entspricht.

Vergleichsbeispiel

Ein Trillionstel entspricht ungefähr dem Verhältnis von einem Tropfen Wasser (ca. 0,05 ml) zum Volumen des Bodensees (knapp 50 km³).

Trilliardstel

Ein Trilliardstel entspricht dem Bruch

${\frac {1}{1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000}}$.

Vergleichsbeispiel

Ein Trilliardstel entspricht ungefähr dem Verhältnis von 1,3 Liter Wasser zum Gesamtvolumen der Weltmeere (welche ca. 1,3 Milliarden km³ enthalten).

Siehe auch

• Binärzahl zu Zweierpotenzen, als Basis der Datenverarbeitung
• Oktalzahl zu Achterpotenzen
• Hexadezimalzahl zu Sechzehnerpotenzen
• Vigesimalsystem zu Zwanzigerpotenzen
• Hexagesimalsystem zu Sechzigerpotenzen, etwa in der Zeitrechnung
• Lange und kurze Skala, zwei Benennungssysteme für große Zehnerpotenzen
• Größenordnung

Kulturelle Rezeption

• Zehn Hoch

Weblinks

Wiktionary: Zehnerpotenz – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen