Zahlschrift

Eine Zahlschrift ist ein Schriftsystem für das Schreiben von Zahlen. Durch das Medium der Schriftlichkeit, die hierbei historisch auch Techniken des Ritzens, Kerbens, Stempelns und Meißelns einschließt, grenzt sich Zahlschrift ab einerseits gegen die Zahlwortsysteme der natürlichen Sprachen und andererseits gegen Systeme, bei denen Finger- und Körpergesten, Rechensteine, Knoten, Lichtsignale oder andere, weder sprachliche noch im engeren Sinn schriftliche Zeichen für die Repräsentation von Zahlen eingesetzt werden.

Systembestandteile einer Zahlschrift

Die wesentlichen Systembestandteile einer Zahlschrift sind:

• Ein Inventar von Einzelzeichen als den kleinsten eine numerische Bedeutung tragenden Elementen, deshalb auch Grundzahlzeichen genannt, denen ein Zahlwert (Grundzahlwert) als feste Bedeutung zugeordnet ist, und die einzeln notiert, kumulativ wiederholt oder untereinander kombiniert die numerischen Ausdrücke der Zahlschrift ergeben. Sie dienen primär zur Schreibung natürlicher Zahlen. Das Inventar kann ergänzt werden durch ein Inventar von Hilfszeichen, die keine numerische Bedeutung tragen, sondern z.B. zur Gliederung numerischer Ausdrücke, zu ihrer Markierung und Abgrenzung gegen andere schriftliche Ausdrücke, als wertverändernde diakritische oder als Operatorzeichen dienen oder Beziehungen zwischen Zahlwerten ausdrücken und als Vorzeichen, Bruchzeichen oder Dezimalkomma bereits geeignet sind, den darstellbaren Zahlenraum von den natürlichen auf die rationalen hin zu erweitern. In moderner Zeit kommen eigene Inventare mathematischer Symbole hinzu, die hierbei die Grundzahlzeichen in der Schreibung komplexer mathematischer Objekte ablösen und die einfachen Hilfszeichen um weitere nichtnumerische Zeichen für die Formalisierung mathematischer Aussagen ergänzen.

• Ein Inventar von syntaktischen Regeln, die die Wiederholbarkeit, Kombinierbarkeit und Positionierbarkeit der Einzelzeichen in der Bildung zusammengesetzter numerischer Ausdrücke regulieren, in Verbindung mit arithmetisch basierten semantischen Regeln für die Transformation der Einzelzeichenwerte eines solchen Ausdrucks in dessen Gesamtwert, sowie weitere Regeln, die z.B. die allgemeine Schreibrichtung und die Verwendung spezifischer Schreibformen für besondere praktische Anwendungsgebiete betreffen können.

• Ein für die Gestaltung dieser Regeln und des elementaren Zeicheninventars grundlegendes Zahlensystem, das die Reihe der natürlichen Zahlen mithilfe einer (mindestens einer) festgelegten Basiszahl und ihrer Potenzen in Einheiten aufsteigender Ordnung gliedert, so dass jede höhere Einheit an die Stelle der in ihr insgesamt enthaltenen niederen Einheiten treten kann, um den Bedarf an Zeichen zu minimieren und die Darstellung derjenigen Zahlen, die größer als die Basis sind, zu ökonomisieren.

Grundstruktur schriftlicher Ausdrücke natürlicher Zahlen

Ein zahlschriftlich auf der Grundlage eines Zahlensystems gebildeter numerischer Ausdruck gibt für eine natürliche Zahl stets zweierlei an:

• welche Potenzen der Basis in der Zahl enthalten sind, angefangen bei der höchsten in ihr enthaltenen
• wie oft diese Potenzen in ihr enthalten sind

Ergibt das Produkt aus dem Wert der höchsten enthaltenen Potenz und der Häufigkeit ihres Vorkommens noch nicht den Gesamtwert der darzustellenden Zahl, sondern bleibt noch ein Rest, so wird mit diesem Rest und der nächstniedrigeren Potenz nach dem gleichen Prinzip verfahren, und so immer fort, bis kein Rest mehr vorhanden ist. Als niedrigste Potenz gilt hierbei nicht die Basiszahl selbst (B¹), sondern die Zahl Eins (B⁰), gemäß der Regel, dass die Potenz einer beliebigen Basis mit dem Exponenten Null stets den Wert Eins hat. Beispiele anhand der Zahl 1434:

• Römisch (Typ kumulativ-additiv, Basis 10, ohne Hilfsbasis 5):
  MCCCCXXXIIII
  = 1000 + (100 + 100 + 100 + 100) + (10 + 10 + 10) + (1 + 1 + 1 +1)
• Milesisch-griechisch (Typ beziffernd-additiv, Basis 10):
  ’αυλδ
  = 1000 + 400 + 30 + 4
• Chinesisch (Typ multiplikativ-additiv, Basis 10):
  一千 四百 三十 四
  = (1 × 1000) + (4 × 100) + (3 × 10) + 4
• Babylonisch (Typ kumulativ-positionell, kumulative Hilfsbasis 10, positionelle Basis 60):
    
  = (10 + 10 + 1 + 1 + 1) × 60 + (10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1) × 1
• Maya (Typ beziffernd-positionell, Basis 20):
       
  = (3 × 400) + (11 × 20) + (14 × 1)
• Indisch-arabisch (Typ beziffernd-positionell, Basis 10):
  1434
  = (1 × 1000) + (4 × 100) + (3 × 10) + (4 × 1)

Typologische Unterscheidung von Zahlschriften

Vor dem Hintergrund der besonderen Wertschätzung der indisch-arabischen Zahlschrift und der Vorteile ihres Stellenwertsystems für die Schreibung großer Zahlen und für die Durchführung schriftlicher Rechenoperationen werden Zahlschriften nach einem weitverbreiteten Einteilungsprinzip als "positionelle" und "additive" unterschieden.

Positionelle Zahlschriften wie die indisch-arabische drücken für jede Potenz deren Wert durch die Stellung und die Häufigkeit durch den Wert eines einzelnen Zeichens aus. Sie benötigen deshalb auch nur B-1 (im Dezimalsystem: 10-1 = 9) Zahlzeichen, um für jede beliebige Potenz deren bis zur Erreichung der nächsthöheren Potenz mögliche Vervielfachungen anzugeben, außerdem ein zusätzliches Leerzeichen für den Wert Null, wenn innerhalb eines zusammengesetzten Ausdrucks für einen bestimmten Potenzbereich kein Wert anzugeben ist, und sind trotzdem geeignet mit einem derart begrenzten Zeicheninventar schon Zahlen beliebiger, nur durch den verfügbaren Schreibraum begrenzter Größe darzustellen.

Additive Zahlschriften benennen dagegen jede Potenz der Basis mit einem eigenen Zeichen, das sie entsprechend der Häufigkeit ihres Auftretens kumulativ wiederholen (kumulativ-additiv), wie die römische, oder das sie mit einem multiplizierenden Zeichen versehen, wie die chinesische (multiplikativ-additiv), oder sie benennen, wie es die griechische tut, nicht nur jede Potenz, sondern auch jedes Vielfache einer Potenz, das bis zum Erreichen der nächsthöheren möglich ist, mit einem eigenen Zeichen, so dass das Einzelzeichen stets das fertige Produkt aus Häufigkeits- und Potenzwert ausdrückt (beziffernd-additiv).

Der mit additiven Zahlschriften darstellbare Zahlenraum ist prinzipiell durch den Umfang des verfügbaren Zeicheninventar begrenzt, wenn dieses nicht durch ständige Einführung neuer Zeichen für höhere Potenzen beliebig anwachsen soll, oder wenn sie nicht ein additives Prinzip mit dem positionellen verbinden. Letzteres ist bei der babylonisch-kuneiforme Zahlschrift der Fall, die "kumulativ-positionelle" verfährt, indem sie die Zahlen 1-59 durch kumulative Wiederholung von zwei Zeichen für 1 und 10 schreibt, die derart gebildeten kumulativen Ausdrücke aber ihrerseits innerhalb eines übergreifenden Stellenwertsystems auf der Basis 60 anordnet, so dass ebenfalls eine Schreibung beliebig großer, nur durch den verfügbaren Schreibraum begrenzter Zahlen möglich ist.

Literatur

• Stephen Chrisomalis: Numerical Notation. A Comparative History. Cambridge University Press, Cambridge [u.a.] 2010, ISBN 978-0-521-87818-0
• Geneviève Guitel: Histoire comparée des numérations écrites. Flammarion, Paris 1975
• Georges Ifrah: Histoire universelle des chiffres, Seghers, Paris 1981, Nachdruck Éditions Robert Laffont, Paris 1994, ISBN 2-221-07838-1; deutsche Übersetzung: Universalgeschichte der Zahlen. Campus, Frankfurt/ New York 1991, ISBN 3-88059-956-4
• Karl Menninger: Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1958, Nachdruck ebenda 1998, ISBN 3-525-40701-7

Einzelnachweise

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