Zahlensystem

Ein Zahlensystem wird zur schriftlichen Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach festgelegten Regeln als Folge von Zahlzeichen, auch Ziffern genannt, dargestellt. Die moderne Forschung unterscheidet zwischen additiven, hybriden und positionellen (Stellenwert-) Zahlensystemen.

Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle.

Ein Beispiel ist das Strichsystem (Unärsystem), das sich anbietet, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll (wie zum Beispiel die Getränke auf einem Bierdeckel). Hierbei wird die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Striche dargestellt. Dies ist vermutlich eines der ältesten Zählsysteme überhaupt. Das Unärsystem wird bei der Darstellung größerer Zahlen sehr schnell unübersichtlich. Deshalb ist es meist üblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fünften Strich quer über die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es aus diesem Grund nicht geeignet ist, große Zahlen darzustellen, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet. Eine Addition um einen Zahlenwert ist einfach durch das Hinzufügen eines Striches möglich. Herkömmliche Systeme lassen eine so einfache und schnelle Erweiterung im Allgemeinen nicht zu.

Hybridsysteme

Hierbei wird eine Grundziffer einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt; die Werte beider werden miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends v. Chr., in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus Äthiopien, als auch aus Südindien und Sri Lanka, sowie der Maya-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.

Beispiele im japanisch/chinesischen Zahlensystem

    23:  二十三  (2 × 10 + 3)
30.000:  三万    (3 × 10.000)

Stellenwertsysteme

→ Hauptartikel: Stellenwertsystem

Aufbau

Bei der in Alltag und Wissenschaft üblichen Schreibweise von Zahlen wird eine Zahl durch Ziffern (0, 1, 2, …), Vorzeichen (plus, minus) und Trennzeichen (Komma, Leerzeichen) dargestellt. Jede Ziffer steht dabei für eine der ersten natürlichen Zahlen. Die Anzahl der verwendeten Ziffern wird Basis des Stellenwertsystems genannt. Die gängigsten Basen sind 2 (Dualsystem), 8 (Oktalsystem), 10 (unser vertrautes Dezimalsystem) oder 16 (das in der Datenverarbeitung wichtige Sedezimalsystem). Die Ziffern werden dann je nach ihrer Stelle unterschiedlich bewertet, wobei der Stellenwert einer Potenz der Basis entspricht (zum Beispiel „Einerstelle“, „Zehnerstelle“, „Hunderterstelle“, …). Die Stelle mit der niedrigsten Bewertung steht dabei ganz rechts. Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt dann durch Multiplikation der einzelnen Ziffernwerte mit den zugehörigen Stellenwerten und der Addition dieser Produkte.

Auf diese Weise lassen sich in einem Stellenwertsystem alle natürlichen Zahlen darstellen. Für die Erweiterung auf negative Zahlen wird ein Vorzeichen links vor die Ziffernfolge gesetzt, mit dem angegeben wird, ob eine Zahl positiv oder negativ ist. Durch die Verwendung negativer Potenzen lassen sich in einem Stellenwertsystem auch rationale Zahlen schreiben, wobei der Übergang von nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen in der Zahldarstellung markiert wird, beispielsweise ein Komma oder ein Punkt.

Darstellungsbereich

Datei:Simple number line.svg

Zahlengerade

Datei:Zahlenkreis.svg

Zahlenkreis

Die Menge der darstellbaren Zahlen lässt sich bei einer unbeschränkten Anzahl von Stellen an einer Zahlengeraden veranschaulichen. Steht nur eine beschränkte Anzahl von Stellen zur Verfügung, wird das an einem Zahlenkreis veranschaulicht. Bei dieser Beschränkung kann eine Addition oder Subtraktion von Zahlen aus dem Bereich der darstellbaren Zahlen herausführen.

Literatur

• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2. Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9.
• John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6.

Weblinks

 Commons: Numeral systems – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Zahlensystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme (JavaScript)
• Online Rechner bis 35-Zahlensystem (Memento vom 25. Oktober 2012 im Internet Archive) konvertieren unterschiedlicher Zahlensysteme und Visualisierung (JavaScript)
• Online-Tool zum gleichzeitigen Konvertieren der Zahlensysteme (PHP)
• Es werde Zahl! – Der Ursprung des Rechnens. Artikel zur Geschichte der Zahlensysteme mit Tabellen von ägyptischen Zahlhieroglyphen, hieratischen und Keilschrift-Zahlen.