Teilmenge

Mengendiagramm: A ist eine (echte) Teilmenge von B.

Die mathematischen Begriffe Obermenge und Teilmenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei Mengen. Ein anderes Wort für Teilmenge ist Untermenge.

Für die mathematische Abbildung der Einbettung einer Teilmenge in ihre Grundmenge, die mathematische Funktion der Teilmengenbeziehung, wird die Inklusionsabbildung verwendet. A ist eine Teilmenge von B und B ist eine Obermenge von A, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist. Wenn B zudem weitere Elemente enthält, die nicht in A enthalten sind, so ist A eine echte Teilmenge von B und B ist eine echte Obermenge von A. Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge A heißt die Potenzmenge von A.

Den Begriff Teilmenge prägte Georg Cantor – der 'Erfinder' der Mengenlehre – ab 1884; das Symbol der Teilmengenrelation wurde von Ernst Schröder 1890 in seiner „Algebra der Logik“ eingeführt.

Notationen und Sprechweisen

$A\subseteq B$ (A ist Teilmenge von B), eine Variante des Symbols ist $\subseteqq$

$A\subset B$ (A ist echte Teilmenge von B)

$B\supseteq A$ (B ist Obermenge von A)

$B\supset A$ (B ist echte Obermenge von A)

Diese Notation betont die Analogie zu den Schreibweisen x ≤ y und x < y. Daneben ist aber auch die folgende weit verbreitet:

$\ \subseteq$ steht für „ist Teilmenge von“,

$\subset$ für „ist echte Teilmenge von“. Varianten des Symbols sind $\subsetneq$ $\varsubsetneq \subsetneqq \varsubsetneqq$.

Von letztgenanntem Symbol ist die zur anderen Konvention gehörige Verneinung $A\nsubseteq B$ („$A$ ist keine Teilmenge von $B$“) zu unterscheiden.

Manche Autoren (etwa Kelley; s. u.) verwenden das Symbol $\subset$ anstelle des Symbols $\ \subseteq$ .

In der Situation $A\subseteq B$ sagt man auch oft:

„A ist in B enthalten“ oder „A wird von B umfasst“ oder „B enthält A“ oder „B umfasst A“ oder Ähnliches.

Für $A\subset B$ sagt man dementsprechend auch:

„A ist echt in B enthalten“ oder „A wird von B echt umfasst“ oder „B enthält A echt“ oder „B umfasst A echt“.

Bei Verwendung solcher Sprechweisen ist darauf zu achten, dass im Zusammenhang mit der Element-Relation $\in$ manchmal die gleichen oder ähnliche Sprechweisen benutzt werden, was ggf. zu Unklarheiten führen kann.

Die entsprechenden Unicode-Symbole sind: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ (siehe: Unicode-Block Mathematische Operatoren).

Definition

$A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A:x\in B$

Dies bedeutet: „A ist Teilmenge von B definitionsgemäß genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.“

$A\subset B:\Longleftrightarrow A\subseteq B\land A\neq B$

Dies bedeutet: „A ist echte Teilmenge von B definitionsgemäß genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und zugleich mindestens ein Element von B nicht Element von A ist.“

Beispiele

Die Menge {Trommel, Spielkarte} ist eine Teilmenge der Menge {Gitarre, Spielkarte, Digitalkamera, Trommel}

• {1, 2} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ist eine (unechte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3, 4} ist keine Teilmenge von {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ist keine Teilmenge von {2, 3, 4}.
• {} ist eine (echte) Teilmenge von {1, 2}.

• {1, 2, 3} ist eine (echte) Obermenge von {1, 2}.
• {1, 2} ist eine (unechte) Obermenge von {1, 2}.
• {1} ist keine Obermenge von {1, 2}.

• Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen.
• Die Menge der rationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen.

Eigenschaften

• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:

  $\varnothing \subseteq A$

• Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:

  $A\subseteq A$

• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der Vereinigung:

  $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$

• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe des Durchschnitts:

  $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A$

• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der Differenzmenge:

  $A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B=\varnothing$

• Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der charakteristischen Funktion:

  $A\subseteq B\Leftrightarrow \chi _{A}\leq \chi _{B}$

• Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:

  $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A$

  Diese Regel wird oft beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet, indem man die gegenseitige Inklusion (in zwei Arbeitsschritten) zeigt.

• Beim Übergang zum Komplement dreht sich die Richtung der Inklusion um:

  $A\subseteq B\Rightarrow A^{\rm {c}}\supseteq B^{\rm {c}}$

• Bei der Bildung der Schnittmenge erhält man stets eine Teilmenge:

  $A\cap B\subseteq A$

• Bei der Bildung der Vereinigungsmenge erhält man stets eine Obermenge:

  $A\cup B\supseteq A$

Die Inklusion als Ordnungsrelation

Die Inklusion als Beziehung zwischen Mengen erfüllt die drei Eigenschaften einer partiellen Ordnungsrelation, sie ist nämlich reflexiv, antisymmetrisch und transitiv:

$A\subseteq A$

$A\subseteq B\subseteq A\Rightarrow A=B$

$A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$

(Dabei ist $A\subseteq B\subseteq C$ eine Kurzschreibweise für „$A\subseteq B$ und $B\subseteq C$“.)

Ist also $M\,$ eine Menge von Mengen (ein Mengensystem), dann ist $(M,\subseteq )$ eine Halbordnung. Insbesondere gilt dies für die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer gegebenen Menge $X$.

Inklusionsketten

Ist $M\,$ ein Mengensystem, so dass von je zwei der in $M\,$ vorkommenden Mengen die eine die andere umfasst oder von der anderen umfasst wird, so nennt man ein solches Mengensystem eine Inklusionskette. Ein Beispiel hierfür liefert das System $\{{]{-\infty ,x}[}\mid x\in \mathbb {R} \}$ der linksseitig unbeschränkten offenen Intervalle von $\mathbb {R}$.

Ein spezieller Fall einer Inklusionskette liegt vor, wenn eine (endliche oder unendliche) Mengenfolge gegeben ist, welche vermöge $\subseteq$ aufsteigend oder vermöge $\supseteq$ absteigend angeordnet ist. Man schreibt dann kurz:

$A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \ ...$

$A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \ ...$

Größe und Anzahl von Teilmengen

• Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich und für die Mächtigkeiten gilt:

  $A\subseteq B\Rightarrow |A|\leq |B|$

  $A\subset B\Rightarrow |A|<|B|$

• Jede Obermenge einer unendlichen Menge ist unendlich.
• Auch bei unendlichen Mengen gilt für die Mächtigkeiten:

  $A\subseteq B\Rightarrow |A|\leq |B|$

• Bei unendlichen Mengen ist es aber möglich, dass eine echte Teilmenge dieselbe Mächtigkeit hat wie ihre Grundmenge. Zum Beispiel sind die natürlichen Zahlen eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen, aber die beiden Mengen sind gleich mächtig (nämlich abzählbar unendlich).
• Die Potenzmenge einer Menge A ist stets mächtiger als die Menge A selbst: $|A|<|{\mathcal {P}}(A)|$.
• Eine endliche Menge mit n Elementen hat genau 2ⁿ Teilmengen.
• Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen (endlichen) Menge ist durch den Binomialkoeffizienten ${\tbinom {n}{k}}$ gegeben.

Siehe auch

• charakteristische Funktion

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5
• John L. Kelley: General Topology. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1975, ISBN 3-540-90125-6. (Reprint der Edition bei Van Nostrand aus dem Jahre 1955)