Torische Varietät

Eine torische Varietät ist eine spezielle algebraische Varietät und damit ein Objekt aus der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Studium torischer Varietäten wird auch als torische Geometrie bezeichnet.

Definitionen

Algebraischer Torus

Ein algebraischer Torus $T$ über $\mathbb {C}$ ist eine algebraische Gruppe, die isomorph zu einer algebraischen Gruppe der Form $\mathbb {C} ^{\ast }\times \dotsb \times \mathbb {C} ^{\ast }$ ist.

Torische Varietäten als torische Einbettungen

Eine torische Varietät ist eine irreduzible algebraische Varietät $X$, die einen algebraischen Torus $T$ als eine Zariski-offene Teilmenge enthält, sodass die Gruppenverknüpfung des Torus sich zu einer algebraischen Gruppenoperation $T\times X\to X$ des Torus auf der ganzen Varietät fortsetzen lässt. Hierbei meint algebraisch, dass die Gruppenoperation durch einen Morphismus algebraischer Varietäten gegeben ist.

Bei manchen Autoren wird zusätzlich verlangt, dass eine torische Varietät normal ist. Dabei heißt eine algebraische Varietät normal, falls in jedem Punkt der Varietät der lokale Ring ein normaler Ring ist.

Zusammenhang mit der Konvexgeometrie

Polyedrische Gitterkegel

Sei $N$ ein Gitter, das heißt eine freie abelsche Gruppe von endlichem Rang. Ein spitzer konvexer rationaler polyedrischer $N$-Kegel ist ein spitzer konvexer Kegel im Vektorraum $N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$, der von endlich vielen Vektoren aus $N$ erzeugt wird. Im Folgenden sprechen wir kurz von einem $N$-Kegel.

Jedem $N$-Kegel $\sigma$ kann ein dualer Kegel $\sigma ^{\vee }$ zugeordnet werden. Dazu betrachtet man zum dualen Gitter $M=Hom(N,\mathbb {Z} )$ den dualen Vektorraum $M_{\mathbb {R} }=M\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ und definiert $\sigma ^{\vee }=\{u\in M|\langle u,v\rangle \geq 0\forall v\in \sigma \}$.

Fächer

Ein Fächer zu einem Gitter $N$ ist eine endliche Menge von $N$-Kegeln, in der zu jedem Kegel auch alle seine Seiten enthalten sind und in der zu je zwei Kegeln deren Schnitt eine Seite beider Kegel ist. Damit ist der Begriff eines Fächers analog zum Begriff eines geometrischen Simplizialkomplex in der algebraischen Topologie.

Torische Varietäten aus Gitterkegeln und Fächern

Einem $N$-Kegel $\sigma$ wird zunächst sein dualer Kegel $\sigma ^{\vee }$ zugeordnet. Zu diesem betrachtet man die kommutative Halbgruppe $S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap M$. Es stellt sich heraus (Lemma von Gordan), dass diese Halbgruppe endlich erzeugt ist und die Monoidalgebra $\mathbb {C} [S_{\sigma }]$ daher eine endlich erzeugte kommutative $\mathbb {C}$-Algebra ist. Das Maximalspektrum dieser Algebra hat dann die Struktur einer normalen torischen affinen Varietät und man erhält alle normalen affinen torischen Varietäten auf diese Weise.

Affine torische Varietäten, die von den Kegeln eines Fächers kommen, können miteinander zu einer abstrakten torischen Varietät verklebt werden. Auf diese Weise erhält man alle normalen torischen Varietäten.

Siehe auch

• Tropische Geometrie: Teilgebiet der algebraischen Geometrie, das ebenfalls stark mit der diskreten Mathematik verbunden ist.

Literatur

• David A. Cox, John B. Little, Henry K. Schenck: Toric varieties. American Mathematical Society, Providence 2011, ISBN 978-0-8218-4819-7.
• Ludger Kaup: Vorlesungen über Torische Varietäten. Konstanzer Schriften in Mathematik und Informatik, Nr. 130, Fassung vom Frühjahr 2002, ISSN 1430-3558, (PDF; 2,2 MB).
• Günter Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94755-8.
• William Fulton: Introduction to toric varieties. Princeton University Press, Princeton, NJ. 1993, ISBN 0-691-03332-3.
• Tadao Oda: Convex bodies and algebraic geometry : an introduction to the theory of toric varieties. Springer, Berlin, 1988, ISBN 3-540-17600-4.
• Jean-Luc Brylinski: Eventails et variétés toriques. in Séminaire sur les singularités des surfaces Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-09746-5.
• V.I. Danilov: The geometry of toric varieties. Russian Math. Surveys 33:2, 1978, S. 97–154 (PDF; 2,9 MB).
• Tadao Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. Springer, Berlin 1978, ISBN 3-540-08852-0.
• George R. Kempf, Finn Faye Knudsen, David B. Mumford, B. Saint-Donat: Toroidal Embeddings I. Springer, Berlin 1973, ISBN 978-3-540-06432-9.

Weblinks

• Seite von David A. Cox mit verschiedenen Skripten zu torischen Varietäten
• Lecture notes on toric varieties von Mircea Mustaţă von der University of Michigan