Term

In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik.

In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden. So kann man bspw. für die lineare Funktion $f(x)=mx+n$ von einem linearen Term $mx$ und einem konstanten Term $n$ reden.

Umgangssprachliche Erklärung

Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel $(x+y)^{2}$ ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen $x$ und $y$ einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere Werte in Betracht kommen, so ist etwa $(p_{1}\vee \neg p_{2})\wedge p_{3}$ ein Term, der einen Wert erhält, wenn man den booleschen Variablen $p_{1},p_{2},p_{3}$ einen Wahrheitswert zuordnet. Die genaue mathematische Definition nimmt allerdings keinen Bezug auf die möglichen Wertzuweisungen, wie unten ausgeführt wird.

Grob kann man sagen, dass ein Term eine Seite einer Gleichung oder Relation, z.B. einer Ungleichung, ist. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sie besteht aus Termen.

Mit Termen können üblicherweise folgende Operationen ausgeführt werden:

• ausrechnen (dazu rechnet man erst die „inneren“ Funktionen aus und dann die äußeren): $(2+3)^{2}=5^{2}=25$
• nach bestimmten Rechenregeln umformen: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ durch Anwendung des Distributivgesetzes und einiger anderer „erlaubter“ Regeln.
• miteinander vergleichen, falls Relationen für die passenden Typen definiert sind: $2xy\leq x^{2}+y^{2}$
• ineinander einsetzen (oft wird ein Term anstelle einer Variable eines anderen Terms eingesetzt). Eine spezielle Form der Einsetzung ist die Substitution, bei der ein Term mit Variablen durch einen anderen Term mit Variablen (meist eine einzelne Variable) ersetzt wird: $(x+y)^{2}$ entsteht aus $z^{2}$ durch Ersetzung von $z$ durch $x+y$.

Häufig werden Terme oder Teilterme nach ihrer inhaltlichen Bedeutung benannt. Im Term ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}+mgh$, der in der Physik die Gesamtenergie eines Massepunktes beschreibt, nennt man den ersten Summanden "Term der kinetischen Energie" und den zweiten "Term der potentiellen Energie". Oft werden auch charakteristische Eigenschaften zur Benennung herangezogen. So ist mit dem "quadratischen Term" in $x^{3}+7x^{2}-2x+1$ der Teilterm $7x^{2}$ gemeint, weil dies der Teilterm ist, der die Variable $x$ in quadrierter Form enthält.

Formale Definition

Die genaue mathematische Definition eines Terms, wie sie in der mathematischen Logik gegeben wird, benennt Regeln, nach denen Terme aufgebaut werden. Ein Term ist dann jeder Ausdruck, der durch Anwendung solcher Regeln entsteht:

• Jede Variable ist ein Term.
• Jedes Konstantensymbol ist ein Term.
• Sind $t_{1},\ldots ,t_{k}$ Terme und ist $f$ ein $k$-stelliges Funktionssymbol, so ist $f(t_{1},\ldots ,t_{k})$ ein Term.

Anmerkungen

• Betrachtet man die mit + bezeichnete Addition, ist nach obiger, formaler Definition $+(x,y)$ ein Term, $x+y$ hingegen nicht. Trotzdem zieht man die leichter lesbare Form $x+y$ vor, letzteres ist eine alternative, vorteilhafte Schreibweise für den korrekten Term $+(x,y)$. Demnach ist die Zeichenkette $x+y$ ein Name für einen Term, das heißt ein metasprachlicher Ausdruck für einen Term. Solange klar ist, dass man solche Zeichenketten jederzeit in die formal korrekte Schreibweise zurückübersetzen könnte, wenn man das wollte, entstehen hier keine Schwierigkeiten.
• Manche Funktionen (beispielsweise die Potenzfunktion, Multiplikation mit Variablen) werden statt durch ein eigenes Funktionssymbol durch Positionierung der Terme zueinander dargestellt (beispielsweise $x^{y}$ oder $xy$)
• Bei verschachtelten Klammersetzungen werden manchmal auch [] und {} eingesetzt, um die Zusammengehörigkeit der Klammern deutlicher zu machen, z.B. $[2(x+y)]^{2}$
• Es gibt auch klammerfreie Notationen wie etwa die Polnische Notation, diese sind in der Regel aber nicht so leicht zu lesen.
• Von einem möglichen Einsetzen von Werten in die Variablen, wie es in der obigen umgangssprachlichen Beschreibung vorkam, ist hier gar nicht die Rede. Ein Term ist hier ein rein syntaktischer Begriff, denn er muss nur gewissen Aufbauregeln genügen. Terme erhalten im Nachhinein eine semantische Bedeutung, indem man die möglichen Werte von Variablen in sogenannten Modellen einschränkt. Die Terme $(x+y)^{2}$ und $x^{2}+2xy+y^{2}$ sind zunächst als Zeichenketten verschieden. Betrachtet man diese Terme aber im Modell der reellen Zahlen, so zeigt sich, dass sie stets dieselben Werte annehmen. Die Termgleichheit $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ ist dann so zu verstehen, dass Gleichheit für alle $x,y\in \mathbb {R}$ besteht. Für andere Modelle kann das durchaus falsch sein, wie zum Beispiel für die Menge der $2\times 2$-Matrizen.

Beispiel

${\tfrac {xy}{4}}$ ist ein Term, denn

• x und y sind Terme (als Variablen),
• 4 ist ein Term (als Konstante),
• xy ist ein Term (eigentlich „multipliziere(x,y)“),
• ${\tfrac {xy}{4}}$ ist ein Term (Divisionssymbol ist der Bruchstrich, eigentlich „dividiere(multipliziere(x,y),4)“)

Anwendungen

Bildet man einen Term mit Variablen, so beabsichtigt man in Anwendungen häufig ein Ersetzen dieser Variablen durch bestimmte Werte, die einer gewissen Grundmenge bzw. Definitionsmenge entstammen. Zum Begriff des Terms selbst ist die Angabe einer solchen Menge nach obiger, formaler Definition nicht erforderlich. Man interessiert sich dann nicht mehr für den abstrakten Term sondern für eine durch diesen Term definierte Funktion in einem bestimmten Modell.

So lautet eine Faustformel zum Ausrechnen des Anhalteweges (Bremsweg plus Reaktionsweg) eines Autos in Metern $\left({\tfrac {x}{10}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x}{10}}\cdot 3\right)$. Diese Zeichenkette ist ein Term. Wir beabsichtigen, für $x$ die Geschwindigkeit des Autos in km pro Stunde einzusetzen, um den Wert, den der Term dann annimmt, als Bremsweg in Metern zu verwenden. Wenn ein Auto zum Beispiel 160 km/h fährt, liefert die Formel $\left({\tfrac {160}{10}}\right)^{2}+\left({\tfrac {160}{10}}\cdot 3\right)$ einen Anhalteweg von 304 m.

Wir verwenden den Term hier zur Definition der Zuordnungsvorschrift einer Funktion $f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}$, $x\mapsto \left({\tfrac {x}{10}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x}{10}}\cdot 3\right)$.

Terme selbst sind weder wahr noch falsch und haben auch keine Werte. Erst in einem Modell, das heißt mit Angabe einer Grundmenge für die auftretenden Variablen, können Terme Werte annehmen.

Algebraische Umformungen

Lange, komplizierte Terme können oft vereinfacht werden, indem man auf sie Rechenregeln anwendet, die den Wert des Terms unverändert lassen, beispielsweise das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz:

$(x+y)(x-y)\,\!$    Ausmultiplizieren

$=x^{2}-xy+yx-y^{2}\,\!$     Kommutativgesetz anwenden

$=x^{2}-y^{2}\,\!$

Der Begriff des Terms sieht gemäß obiger Definition solche Umformungen nicht vor, es handelt sich jeweils um verschiedene Terme. Mit diesen algebraischen Umformungen ist stets gemeint, dass sich die Werte, die ein Term bei Wahl einer bestimmten Grundmenge annehmen kann, durch diese Umformungen nicht ändern. Das hängt von der Grundmenge ab! So sind obige Umformungen nur in solchen Grundmengen korrekt, in denen die verwendeten Gesetze wie zum Beispiel das Kommutativgesetz gelten.

Solche algebraischen Umformungen werden trotzdem Termumformungen genannt, da man nach in der vereinbarten Grundmenge geltenden Regeln von einem Term zu einem anderen übergeht, ohne dessen mögliche Werte zu ändern. Es werden damit folgende Ziele verfolgt:

• Vereinfachung von Termen
• Aufpumpen von Termen zur Erzeugung gewünschter Strukturen wie zum Beispiel bei der quadratischen Ergänzung
• Herauspräparieren gewünschter Teilterme wie zum Beispiel bei der Cardanischen Formel: $(u+v)^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)$

Abgrenzung zum Ausdruck

Ausdrücke

Ein Ausdruck ist wie ein Term eine formale Zeichenkette; ihr Aufbau ist gemäß einer Logik definiert, z. B. der Prädikatenlogik. In der Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit definiert man:

• Sind $t_{1},t_{2}$ Terme, so ist $t_{1}=t_{2}$ ein Ausdruck.

• Sind $t_{1},\dotsc ,t_{k}$ Terme und ist $R$ ein k-stelliges Relationssymbol, so ist $Rt_{1}\dotso t_{k}$ ein Ausdruck.

• Sind $\varphi$ und $\psi$ Ausdrücke, so sind auch $(\varphi \land \psi )$, $(\varphi \lor \psi )$, $(\varphi \rightarrow \psi )$, $(\varphi \leftrightarrow \psi )$, $(\exists x\varphi )$ und $(\forall x\varphi )$ Ausdrücke.

Damit kann durch mehrfache Anwendung dieser Bildungsgesetzte beliebig komplizierte Ausdrücke aufbauen. Nach dieser Definition kann man Terme grob als das beschreiben, was auf der Seite einer Gleichung stehen oder in eine Relation eingesetzt werden kann, Terme sind genau diese Bestandteile von Ausdrücken.

Die genaue Definition des Ausdrucks hängt von der betrachteten Logik ab, in der Prädikatenlogik zweiter Stufe nimmt man beispielsweise noch das Einsetzen von Termen in Relationsvariablen und Quantifizierungen über Relationen hinzu.

Beispiel

Zur Beschreibung der reellen Zahlen benutzt man für die Multiplikation das Verknüpfungszeichen $\cdot$ und für die Ungleichung das Relationssymbol $\leq$, ferner Konstanten wie 0,1,2,... Sind $x,y$ Variablen, so sind definitionsgemäß auch

$x\cdot x$, die Konstante 0 und $y$ Terme.

Nach Definition des Ausdrucks sind

$x\cdot x=y$ und $0\leq y$

Ausdrücke, denn die erste Zeichenkette ist die Gleichheit zweier Terme die zweite eine Relation, in die zwei Terme eingesetzt wurden. Damit ist auch

$0\leq y\rightarrow (\exists x(x\cdot x=y))$

ein Ausdruck und schließlich

$\forall y(0\leq y\rightarrow (\exists x(x\cdot x=y)))$

Dieser Ausdruck ist im Modell der reellen Zahlen wahr. Es ist wichtig zu verstehen, dass obiger Aufbau des Ausdrucks kein Beweis ist; es handelt sich lediglich um die Bildung einer Zeichenkette nach gewissen Regeln. Wahr oder falsch kann eine damit einhergehende Aussage erst in einem Modell sein, und dort kann sie gegebenenfalls bewiesen werden. Obige Aussage ist im Modell der rationalen Zahlen bekanntlich falsch.

Weblinks

Wiktionary: Term – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Termumformungen mit didaktischen Hinweisen, Landesbildungsserver Baden-Württemberg