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Schiefe Ebene
Eine schiefe, schräge oder geneigte Ebene (kurz respektive umgangssprachlich: Hang, Schiefe, Schräge bzw. Neigung) ist in der Mechanik eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern. Der Arbeitsaufwand bleibt jedoch unverändert. Die schiefe Ebene gehört wie der Flaschenzug und die Schraube zu den einfachen Maschinen.
Bei einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel von 45° (entsprechend einem Anstieg von 100 %) verlängert sich die Strecke zum Heben eines Gewichts von z. B. 10 m in der Senkrechten auf etwa 14,1 m entlang der schiefen Ebene, wodurch sich der Kraftaufwand (unter Vernachlässigung der Reibung) auf 71 % reduziert. Wird der Neigungswinkel auf 22,5° (gleich einer Steigung von 41,5 %) halbiert, verlängert sich die Strecke auf rund 22 m, der Kraftaufwand verringert sich auf rund 45 % im Vergleich zum direkten Heben.
Alltag
Anwendungen dieses Prinzips finden sich beispielsweise bei Serpentinen im Gebirge, Rampen, die im Altertum zur Errichtung von Gebäuden benutzt wurden, Fahrrad- oder Rollstuhlrampen usw. Schrauben lassen sich auch als Zylinder mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten.
Das Werkzeug Keil nutzt ebenfalls die Prinzipien der schiefen Ebene.
Physikalische Grundlagen
Im Folgenden wird die Situation einer ruhenden Masse im Gleichgewicht auf einer schiefen Ebene beschrieben.
Die Gewichtskraft einer Masse, die sich auf einer schiefen Ebene befindet, hat ihren Angriffspunkt im Schwerpunkt der Masse. Sie wird zur Beschreibung des Problems in zwei Komponenten zerlegt, die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die Normalkomponente der Gewichtskraft senkrecht zur Oberfläche. Es ist strikt zu unterscheiden zwischen den echt wirkenden Kräften und der Zerlegung der Gewichtskraft in zwei Komponenten – die Komponenten sind keine wirkenden Kräfte. Die Normalkraft welche von unten auf die Masse wirkt, ist eine Kontaktkraft und steht senkrecht zur Ebene. Ihr Angriffspunkt ist nicht im Schwerpunkt der Kontaktfläche, da der Druck nicht konstant ist. Der Betrag der Normalkraft ist gleich dem Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft Eine weitere Kraft, die wirkt, ist die Haftreibungskraft Auch diese ist eine Kontaktkraft und greift im Schwerpunkt der Kontaktfläche an – ist jedoch parallel zur Ebene und entgegengesetzt der Richtung der Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft
Damit der Körper in Ruhe bleibt, darf die Hangabtriebskraft nicht größer sein als die maximal mögliche Haftreibungskraft Letztere ist durch den Haftreibungskoeffizient und den Betrag der Normalkraft gegeben. Es gilt:
Ist diese Bedingung nicht erfüllt (weil bspw. der Neigungswinkel der Ebene zu groß ist oder der Haftreibungskoeffizient zu klein), beginnt die Masse zu rutschen.
Hat die Masse eine Geschwindigkeit oder wirken noch weitere Kräfte, so müssen zusätzliche Überlegungen und Fallunterscheidungen gemacht werden, die hier noch nicht beschrieben sind. Die detaillierte mathematische Beschreibung der ruhenden Masse auf der schiefen Ebene ist im nächsten Abschnitt festgehalten.
Körper in Ruhe
Folgende Bezeichnungen werden verwendet:
- = Gewichtskraft der Masse,
- = Normalkomponente der Gewichtskraft
- = Normalkraft,
- = Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft
- = Haftreibungskraft,
- = Neigungswinkel der schiefen Ebene,
- = Haftreibungs-Koeffizient,
- ( = Gleitreibungskoeffizient)
- = Höhe der schiefen Ebene,
- = Basis der schiefen Ebene sowie
- = Länge der schiefen Ebene.
Die Gewichtskraft kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkomponente ) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtriebskomponente ).
An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft und eine Haftreibungskraft
Da der Körper in Ruhe ist, muss die Haftreibungskraft gerade gleich groß oder größer sein als die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft:
Mit dem Haftreibungsgesetz:
ergibt sich als notwendige Bedingung:
Wenn der Neigungswinkel zu groß oder der Reibungskoeffizient zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich der Körper rutscht.
Der Haftreibungskoeffizient (manchmal als bezeichnet) ist in jedem Fall größer als der Gleitreibungskoeffizient
Zu beachten ist, dass:
bezeichnet wird.
Bewegung mit Luftwiderstand
Im Folgenden soll die Luftwiderstandskraft bei der Bewegung des Körpers an der schiefen Ebene berücksichtigt werden. Im Gegensatz zu obigem Abschnitt ist der Körper nicht mehr in Ruhe. Wirksam ist der Luftwiderstand sowie die Gleitreibung. Die Konstante ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums (bspw.: Luft) abhängig. Es gilt:
Hierbei ist:
- = der Widerstandsbeiwert,
- = die Körperquerschnittsfläche,
- = die Dichte des strömenden Mediums sowie
- = der Gleitreibungs-Koeffizient.
Aus den Kraftansätzen entstehen recht komplexe Bewegungsgleichungen – diese Differenzialgleichungen sind jedoch lösbar.
Abwärtsbewegung
Aus dem Kraftansatz:
folgt die Differenzialgleichung:
mit:
Folgende Fälle sind zu unterscheiden:
- a)
Ansatz:
Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:
und durch Koeffizientenvergleich:
und
Als Lösung ergibt sich:
- ist die Endgeschwindigkeit.
- ist der Tangens Hyperbolicus.
- b)
- bzw.
Unter Berücksichtigung von erhält man:
Zum Zeitpunkt kommt der Körper zur Ruhe.
Für den Bremsweg gilt:
- c)
- bzw.
Die Geschwindigkeit nähert sich zwar hyperbelförmig der Ruhe, der Bremsweg ist aber unendlich lang.
Aufwärtsbewegung
Aus dem Kraftansatz:
folgt die Differenzialgleichung:
mit:
Ansatz:
Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:
und durch Koeffizientenvergleich erhält man:
- und
Als Lösung ergibt sich:
zum Zeitpunkt:
kommt der Körper zur Ruhe, wobei negativ ist.
Für den Bremsweg gilt:
Weblinks
- Bestimmung der Endgeschwindigkeit an einer geneigten Ebene
- Interaktives Experiment zu Hangabtriebskraft, Reibungskraft und Normalkraft auf einen Körper auf einer Schiefen Ebene
- Die „Goldene Regel der Mechanik“ interaktiv hergeleitet am Beispiel der schiefen Ebene
- Aufgabe mit kommentierter Lösung
Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Schiefe Ebene aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar. |