Schallgeschwindigkeit

Schallgrößen
Schalldruck $p$ Schalldruckpegel $L_{p}$ Schallschnelle $v$ Schallauslenkung $\xi$ Schallbeschleunigung $a$ Schallintensität $I$ Schallleistung $P_{ak}$ Schallenergiedichte $E$ Schallenergie Schallfluss $q$ Schallimpedanz $Z$ Schallgeschwindigkeit $c_{S}$

Die Schallgeschwindigkeit $c$ (für lateinisch celeritas ‚Eile‘, ‚Schnelligkeit‘) ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem Medium fortpflanzen. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Sie ist nicht zu verwechseln mit der Schallschnelle $v$ , d. h. der Momentangeschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Teilchen des Mediums bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen.

Die Schallgeschwindigkeit ist allgemein abhängig vom Medium (insbesondere Elastizität und Dichte) und seiner Temperatur, in Fluiden zusätzlich vom Druck und in Festkörpern maßgeblich vom Wellentyp (Longitudinalwelle, Schubwelle, Rayleigh-Welle, Lamb-Welle etc.) und von der Frequenz. In anisotropen Medien ist sie zusätzlich noch richtungsabhängig. In Gasen oder Gasgemischen wie Luft bei Bedingungen um 1 bar und 20 °C spielt nur die Temperaturabhängigkeit eine nennenswerte Rolle.

Die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft von 20 °C beträgt 343,2 m/s (1236 km/h).^[1]

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit $c$ und Frequenz $f$ einer monochromatischen Schallwelle der Wellenlänge $\lambda$ gilt wie für alle solchen Wellen:

c=\lambda \,f

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Gasen

In Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Druck- bzw. Dichtewellen ausbreiten, bei denen sich die einzelnen Teilchen in Richtung der Wellenausbreitung hin und her bewegen (Longitudinalwelle). Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte $\rho$ und des (adiabatischen) Kompressionsmoduls $K$ und berechnet sich so:

c_{\text{Flüssigkeit, Gas}}={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $\rho$ , der Poissonzahl $\nu$ und dem Elastizitätsmodul $E$ des Festkörpers ab. Dabei gilt

c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E\,(1-\nu )}{\rho \,(1-\nu -2\nu ^{2})}}}

c_{\text{Festkörper, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\,\rho \,(1+\nu )}}}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}

mit dem Schubmodul $G={\frac {E}{2\,(1+\nu )}}$ .

Für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle) gilt:^[2]

c_{\text{Festkörper, Oberfläche}}\approx 0{,}922\cdot c_{\text{Festkörper, transversal}}

Der Ausdruck $M={\frac {E\,(1-\nu )}{(1-\nu -2\nu ^{2})}}$ wird auch als Longitudinalmodul bezeichnet, sodass für die Longitudinalwelle auch

c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {M}{\rho }}}

geschrieben werden kann.

Im Spezialfall eines langen Stabes, dessen Durchmesser deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle ist, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d. h. $\nu =0$ ), und man erhält:

c_{\text{langer Stab, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}

c_{\text{langer Stab, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\rho }}}

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Klassisches ideales Gas

Da der Kompressionsmodul eines klassischen, idealen Gases $K=\kappa \,p$ nur vom Adiabatenexponenten $\kappa$ („kappa“) des Gases und dem herrschenden Druck $p$ abhängt, ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit:

c_{\text{Ideales Gas}}={\sqrt {\kappa \,{\frac {p}{\rho }}}}={\sqrt {\kappa \,{\frac {RT}{M}}}}

Hier ist $R$ die universelle Gaskonstante, $M$ die molare Masse (Masse/Stoffmenge) des Gases, und $T$ die absolute Temperatur. Für feste Werte $M$ und $\kappa$ , also für ein gegebenes ideales Gas, hängt die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur ab, sie ist insbesondere weder vom Druck noch von der Dichte des Gases abhängig.

Der Adiabatenexponent berechnet sich aus $\kappa \,=\,{\tfrac {f+2}{f}}$ , wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung eines Teilchens (Atom oder Molekül) ist. Für einen Massepunkt gilt $f=3$ , für eine starre Hantel aus zwei Massepunkten $f=5$ , für einen starren Körper $f=6$ . Für jede mögliche Grundschwingung erhöht sich $f$ um zwei. Der Adiabatenexponent kann also nur folgende Werte annehmen:

$\kappa ={\tfrac {5}{3}}\approx 1{,}67$ für ein einatomiges Gas (z. B. Edelgase)
$\kappa ={\tfrac {7}{5}}=1{,}40$ für ein zweiatomiges Gas (ohne Vibration der Moleküle, z. B. Stickstoff N₂, Wasserstoff H₂, Sauerstoff O₂)
$\kappa \leq {\tfrac {8}{6}}\approx 1{,}33$ für alle größeren oder komplizierteren Moleküle

Für Luft misst man $\kappa =1{,}402$ und erhält mit einer mittleren Molmasse $M=0{,}02896\,\mathrm {kg/mol}$ für Stickstoff und Sauerstoff bei Normaltemperatur $T=293{,}15\,\mathrm {K}$ (20 °C)

c_{\text{Luft}}\,\approx \,{\sqrt {1{,}402\,{\frac {8{,}3145\,\mathrm {\frac {J}{mol\,K}} 293{,}15\,\mathrm {K} }{0{,}02896\,\mathrm {\frac {kg}{mol}} }}}}=343\,\mathrm {\frac {m}{s}} ,

in sehr guter Übereinstimmung mit dem in trockener Luft gemessenen Wert.

Die Schallgeschwindigkeit $c_{\text{Ideales Gas}}={\sqrt {\kappa \,{\tfrac {RT}{M}}}}$ ist etwas kleiner als die mittlere Translationsgeschwindigkeit ${\sqrt {\overline {v^{2}}}}={\sqrt {3\,{\tfrac {RT}{M}}}}$ der im Gas sich bewegenden Teilchen. Das steht im Einklang mit der anschaulichen Interpretation der Schallausbreitung in der kinetischen Gastheorie: Eine kleine lokale Abweichung des Druckes und der Dichte von ihren Durchschnittswerten wird von den durcheinanderfliegenden Teilchen in die Umgebung getragen.

Der Faktor $\kappa$ kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung, die Prozesse beschreibt, bei denen die Temperatur nicht konstant bleibt, obwohl keine Wärme ausgetauscht wird. Schallwellen bestehen aus periodischen Schwankungen von Dichte und Druck, die in so rasch ablaufen, dass währenddessen Wärme nennenswert weder zu- noch abfließen kann. Wegen der damit verbundenen Temperaturschwankungen gilt die obige Formel für $c_{\text{Luft}}$ nur im Grenzfall kleiner Amplituden, wobei für $T$ die Durchschnittstemperatur einzusetzen ist. Tatsächlich machen sich bei großen Amplituden, z. B. nach einer Detonation, nichtlineare Effekte dadurch bemerkbar, dass die Wellenberge – Wellenfronten mit maximaler Dichte – schneller laufen als die Wellentäler, was zu steileren Wellenformen und zur Ausbildung von Stoßwellen führt.

Quanteneffekte

Da die Schallgeschwindigkeit einerseits mit dem Kundtschen Rohr schon früh verhältnismäßig leicht präzise zu messen war und andererseits direkt mit einer atomphysikalischen Größe, der Anzahl der Freiheitsgrade, verknüpft ist, führte sie zur frühen Entdeckung wichtiger Effekte, die erst mit der Quantenmechanik erklärt werden konnten.

Atome als Massepunkte

Das erste mit chemischen Methoden als einatomig identifizierte Gas – Quecksilberdampf bei hoher Temperatur – zeigte 1875 auch zum ersten Mal den Wert $\kappa =1{,}667$ , also $f=3$ . Dieser Wert ist nach der kinetischen Gastheorie einem Gas aus idealen Massepunkten vorbehalten. Ab 1895 kamen gleiche Befunde an den neu entdeckten Edelgasen Argon, Neon etc. hinzu. Das stützte einerseits die damalige Atomhypothese, nach der alle Materie aus winzigen Kügelchen aufgebaut ist, warf aber andererseits die Frage auf, warum diese Kugeln nicht wie jeder starre Körper drei weitere Freiheitsgrade für Drehbewegungen besitzen. Die Ende der 1920er Jahre gefundene quantenmechanische Erklärung besagt, dass für Drehbewegungen angeregte Energieniveaus besetzt werden müssen, deren Energie so hoch liegt, dass die kinetische Energie der stoßenden Gasteilchen bei weitem nicht ausreicht.^[3]^{:S. 8} Das gilt auch für die Rotation eines zweiatomigen Moleküls um die Verbindungslinie der Atome und erklärt somit, warum es hier für die Rotation nicht drei, sondern nur zwei Freiheitsgrade gibt.

Einfrieren der Drehbewegung

Eine markante Temperaturabhängigkeit des Adiabatenkoeffizienten wurde 1912 bei Wasserstoff entdeckt: Bei Abkühlung von 300 K auf 100 K steigt $\kappa$ monoton von $1{,}400$ auf $1{,}667$ , d. h. vom Wert für eine Hantel zum Wert für einen Massepunkt. Man sagt, die Rotation „friert ein“, bei 100 K verhält sich das ganze Molekül wie ein Massepunkt. Die quantenmechanische Begründung schließt an die obige Erklärung für Einzelatome an: Bei 100 K reicht die Stoßenergie der Gasmoleküle praktisch nie zur Anregung eines Energieniveaus mit höherem Drehimpuls, bei 300 K praktisch immer.^[3]^{:S. 272} Der Effekt ist bei anderen Gasen so deutlich nicht beobachtbar, weil sie in dem jeweils betreffenden Temperaturbereich bereits verflüssigt sind. Jedoch wird auf diese Weise erklärt, warum die gemessenen Abdiabatenkoeffizienten realer Gase von der einfachen Formel $\kappa ={\tfrac {f+2}{f}}$ meist etwas abweichen.

Schallgeschwindigkeit im realen Gas / Phänomene in der Luftatmosphäre

Die für das ideale Gas entwickelten Vorstellungen und Formeln gelten in sehr guter Näherung auch für die meisten realen Gase. Insbesondere variiert deren Adiabatenexponent $\kappa =c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {V} }$ über weite Bereiche weder mit der Temperatur noch mit dem Druck. Für die Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft im Bereich normaler Umwelttemperaturen wird oft die lineare Näherungsformel

c_{\mathrm {Luft} }\approx (331{,}5+0{,}6\,\vartheta /{}^{\circ }\mathrm {C} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}

benutzt. Diese Näherung gilt im Temperaturbereich −20 °C < $\vartheta$ < +40 °C mit einer Genauigkeit von mehr als 99,8 %. Die absolute Temperatur wurde hier nach $\vartheta /{}^{\circ }\mathrm {C} =T/\mathrm {K} -273{,}15$ in °C umgerechnet.

Neben der Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft ist der Einfluss der Luftfeuchtigkeit zu berücksichtigen. Diese lässt die Schallgeschwindigkeit geringfügig zunehmen, denn die mittlere molare Masse $M$ feuchter Luft nimmt durch die Beimischung der leichteren Wassermoleküle stärker ab als der mittlere Adiabatenkoeffizient $\kappa$ . Beispielsweise ist bei 20 °C die Schallgeschwindigkeit bei 100 % Luftfeuchtigkeit um 0,375 % höher als bei 0 % Luftfeuchtigkeit. Die gleiche Erhöhung der Schallgeschwindigkeit gegenüber trockener Luft würde sich durch eine Temperaturerhöhung auf gut 22 °C ergeben.^[4]^[5]

In der normalen Atmosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit daher mit der Höhe ab. Sie erreicht ein Minimum von etwa 295 m/s (1062 km/h) in der Tropopause (ca. 11 km Höhe). Andererseits nimmt die Schallgeschwindigkeit bei einer Inversionswetterlage mit der Höhe zu, da dann eine wärmere Luftschicht über einer kälteren liegt. Oft geschieht dies am Abend nach einem warmen Sonnentag, weil sich der Boden schneller abkühlt als die höheren Luftschichten. Dann schreiten die Wellen in der Höhe schneller voran als unten, sodass eine Wellenfront, die von einer bodennahen Schallquelle schräg aufwärts strebt, wieder nach unten gelenkt wird (siehe Schallausbreitung). Man sagt, die Schallstrahlen werden zum Boden hin gekrümmt. An Sommerabenden kann man das oft an der größeren Reichweite der Schallausbreitung bemerken.

Ähnlich lautet die Begründung dafür, dass man mit dem Wind besser hört als gegen den Wind. Obwohl die Bewegung des Mediums Luft keinen Einfluss auf die Schallausbreitung als solches haben sollte, da die Windgeschwindigkeit immer klein gegen die Schallgeschwindigkeit ist, verbessert sich die Reichweite des Schalls. Der Wind hat fast immer ein Geschwindigkeitsprofil mit nach oben zunehmender Geschwindigkeit, was, wie oben beschrieben, zur Ablenkung der Schallausbreitung führt, und zwar einer Ablenkung nach oben bei Gegenwind und nach unten bei Mitwind.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In den folgenden Tabellen sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Angegeben ist für alle Materialien die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Longitudinal-Welle), in Festkörpern breiten sich auch Scherwellen (Transversal-Wellen) aus.

Schallgeschwindigkeit ausgewählter Gase bei 20 °C

Gas	longitudinal in m/s^[6]^[7]
Luft	343
Helium	981
Wasserstoff	1280
Sauerstoff (bei 0 °C)	316
Kohlendioxid	266
Argon	319
Krypton	221
Methan	466
Wasserdampf (bei 100 °C)	477
Schwefelhexafluorid (bei 0 °C)	129

Schallgeschwindigkeit ausgewählter Flüssigkeiten bei 20 °C

Medium	longitudinal in m/s^[6]^[7]
Wasser	1484
Wasser (bei 0 °C)	1407
Meerwasser	≈1500
2,5 mol Natriumchlorid-Lösung (bei 25 °C)^[8]	1540
Öl (SAE 20/30)^[9]	1340
Benzol	1326
Ethylalkohol	1168
Quecksilber	1450
Quark-Gluon-Plasma^[10] (bei $10^{12}$ K)	$c_{0}/{\sqrt {3}}$ ^** ≈ 173.085.000

Schallgeschwindigkeit ausgewählter Festkörper bei 20 °C

Medium	longitudinal in m/s^[6]^[7]	transversal in m/s^[6]^[7]
Eis (bei −4 °C)	3250	1990^[11]
Gummi	150
Silikonkautschuk (RTV)	≈ 1000^[12]
Plexiglas	2670^[11]	1120^[11]
PVC-P (weich)	80
PVC-U (hart)	2250	1060
POM	2470	1200
Beton (C20/25)	3655	2240
Beton (C30/37)	3845	2355
Buchenholz	3300
Marmor	6150
Aluminium	6250–6350^[11]	3100^[11]
Beryllium	12.800,^[11] 12.900	8710,^[11] 8880
Blei	2160^[11]	700^[11]
Gold	3240^[11]	1200^[11]
Kupfer	4660^[11]	2260^[11]
Magnesium	5790^[11]	3100^[11]
Magnesium/Zk60	4400	810
Nickel	4900
Zink	4170^[11]	2410^[11]
Stahl	5850^[11], 5920	3230^[11]
Titan	6100^[11]	3120^[11]
Messing	3500
Wolfram	5180	2870
Eisen	5170
Silber	3600^[11]	1590^[11]
Bor	16.200
Diamant	18.000
Graphen	20.000^[13]

Anmerkungen:

^* entspricht 1235 km/h

^** c₀: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Diamant besitzt mit etwa 18.000 m/s die höchste Schallgeschwindigkeit aller natürlichen Medien.

Der beim Holz-Musikinstrumentenbau wichtige Parameter „Schallgeschwindigkeit“ beträgt längs zur Faser bei Erle 4400 m/s, Ahorn 4500 m/s, Esche 4700 m/s, Padouk 4800 m/s, Linde 5100 m/s, Fichte 5500 m/s.

Temperaturabhängigkeit in Luft

Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur
Temperatur $\vartheta$ in °C	Schallgeschwindigkeit $c_{\text{S}}$ in m/s^[14]
+35	352,17
+30	349,29
+25	346,39
+20	343,46
+15	340,51
+10	337,54
+5	334,53
0	331,50
−5	328,44
−10	325,35
−15	322,23
−20	319,09
−25	315,91

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium: Bei höherer Frequenz ist es steifer, hat also eine höhere Schallgeschwindigkeit.

In einem nicht-dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und Luft sind über weite Frequenzbereiche nicht-dispersive Medien.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzes und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in der Luft einen Kilometer in etwa drei Sekunden zurück. Teilt man die Anzahl der gezählten Sekunden durch drei, ergibt sich daher die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch

Literatur

Ernst Götsch: Luftfahrzeugtechnik. Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8.

Weblinks

Wiktionary: Schallgeschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Versuch A6: Schallgeschwindigkeit in Gasen und Festkörpern. (PDF, 169 kB).
Die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur … und nicht der Luftdruck. (PDF, 32 kB).
Berechnen der Schallgeschwindigkeit in Luft und die wirksame Temperatur.

Einzelnachweise

↑ Douglas C. Giancoli: Physik. Pearson Deutschland GmbH, 2010, S. 561 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
↑ Die Oberflächenwellengeschwindigkeit ist von der Poissonzahl $\nu$ abhängig. Für $\nu =0$ gilt ein Faktor von 0,8741 (z. B. Kork) statt der angegebenen 0,92, für $\nu =0{,}25$ gilt 0,9194 (z. B. Eisen) und für $\nu =0{,}5$ gilt 0,9554 (z. B. Gummi). Siehe dazu Arnold Schoch: Schallreflexion, Schallbrechung und Schallbeugung. In: Ergebnisse der exakten Naturwissenschaften. 23, 1950, S. 127–234.
↑ ^3,0 ^3,1 Jörn Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. Moderne Physik von den Atomen bis zum Standard-Modell. Springer-Verlag (Heidelberg), 2010, ISBN 978-3-540-85299-5.
↑ Owen Cramer: The variation of the specific heat ratio and the speed of sound in air with temperature, pressure, humidity, and CO2 concentration. In: The Journal of the Acoustical Society of America. Bd. 93(5), S. 2510, 1993.
↑ Dennis A. Bohn: Environmental Effects on the Speed of Sound. In: Journal of the Audio Engineering Society. 36(4), April 1988. PDF-Version.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 A. J. Zuckerwar: Handbook of the Speed of Sound in Real Gases. Academic Press 2002.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. (Internet-Version: ), CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL, , S. E-47.
↑ Sonja Kerstin Leicht: Untersuchung mechanischer Parameter der degenerativen Veränderungen an Knorpel und subchondralem Knochen bei primärer Gonarthrose mit hochfrequenten Ultraschalltechniken. Dissertation, Universität Halle 2007, Abschnitt 3.
↑ Kompressionsmodul EÖl(K). (Memento vom 5. Januar 2013 im Webarchiv archive.is) Fluidtechnik von A bis Z. Bei: vfmz.com.
↑ Jean Lettesier, Johann Rafelski: Hadrons and Quark-Gluon-Plasma. Cambridge University Press, 2002.
↑ ^11,00 ^11,01 ^11,02 ^11,03 ^11,04 ^11,05 ^11,06 ^11,07 ^11,08 ^11,09 ^11,10 ^11,11 ^11,12 ^11,13 ^11,14 ^11,15 ^11,16 ^11,17 ^11,18 ^11,19 ^11,20 ^11,21 ^11,22 Joseph L. Rose: Ultrasonic Waves in Solid Media. Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54889-2 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
↑ Y. Yamashita, Y. Hosono, K. Itsumi: Low-Attenuation Acoustic Silicone Lens for Medical Ultrasonic Array Probes. S. 169 und 175. In: Ahmad Safari, E. Koray Akdogan (Hrsg.): Piezoelectric and Acoustic Materials for Transducer Applications. Springer-Verlag, 2008, ISBN 0387765409, S. 161–178.
↑ Vadim Adamyan, Vladimir Zavalniuk: Phonons in graphene with point defects. In: J. Phys.. Condens. Matter 23 (1), 2011, S. 15402.
↑ Quelle unbekannt, s. auch David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. (Internet-Version: ), CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL, , S. E-54.

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[1] Douglas C. Giancoli: Physik. Pearson Deutschland GmbH, 2010, S. 561 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

[2] Die Oberflächenwellengeschwindigkeit ist von der Poissonzahl $\nu$ abhängig. Für $\nu =0$ gilt ein Faktor von 0,8741 (z. B. Kork) statt der angegebenen 0,92, für $\nu =0{,}25$ gilt 0,9194 (z. B. Eisen) und für $\nu =0{,}5$ gilt 0,9554 (z. B. Gummi). Siehe dazu Arnold Schoch: Schallreflexion, Schallbrechung und Schallbeugung. In: Ergebnisse der exakten Naturwissenschaften. 23, 1950, S. 127–234.

[jbnet-3] 3,0 ^3,1 Jörn Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. Moderne Physik von den Atomen bis zum Standard-Modell. Springer-Verlag (Heidelberg), 2010, ISBN 978-3-540-85299-5.

[4] Owen Cramer: The variation of the specific heat ratio and the speed of sound in air with temperature, pressure, humidity, and CO2 concentration. In: The Journal of the Acoustical Society of America. Bd. 93(5), S. 2510, 1993.

[5] Dennis A. Bohn: Environmental Effects on the Speed of Sound. In: Journal of the Audio Engineering Society. 36(4), April 1988. PDF-Version.

[Zuckerwar-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 A. J. Zuckerwar: Handbook of the Speed of Sound in Real Gases. Academic Press 2002.

[CRC-E47-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. (Internet-Version: ), CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL, , S. E-47.

[8] Sonja Kerstin Leicht: Untersuchung mechanischer Parameter der degenerativen Veränderungen an Knorpel und subchondralem Knochen bei primärer Gonarthrose mit hochfrequenten Ultraschalltechniken. Dissertation, Universität Halle 2007, Abschnitt 3.

[9] Kompressionsmodul EÖl(K). (Memento vom 5. Januar 2013 im Webarchiv archive.is) Fluidtechnik von A bis Z. Bei: vfmz.com.

[10] Jean Lettesier, Johann Rafelski: Hadrons and Quark-Gluon-Plasma. Cambridge University Press, 2002.

[rose2004-11] 11,00 ^11,01 ^11,02 ^11,03 ^11,04 ^11,05 ^11,06 ^11,07 ^11,08 ^11,09 ^11,10 ^11,11 ^11,12 ^11,13 ^11,14 ^11,15 ^11,16 ^11,17 ^11,18 ^11,19 ^11,20 ^11,21 ^11,22 Joseph L. Rose: Ultrasonic Waves in Solid Media. Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54889-2 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

[12] Y. Yamashita, Y. Hosono, K. Itsumi: Low-Attenuation Acoustic Silicone Lens for Medical Ultrasonic Array Probes. S. 169 und 175. In: Ahmad Safari, E. Koray Akdogan (Hrsg.): Piezoelectric and Acoustic Materials for Transducer Applications. Springer-Verlag, 2008, ISBN 0387765409, S. 161–178.

[13] Vadim Adamyan, Vladimir Zavalniuk: Phonons in graphene with point defects. In: J. Phys.. Condens. Matter 23 (1), 2011, S. 15402.

[14] Quelle unbekannt, s. auch David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. (Internet-Version: ), CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL, , S. E-54.

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