Rotationsellipsoid

Abgeplattetes Rotationsellipsoid	Verlängertes Rotationsellipsoid

Ein Rotationsellipsoid (englisch spheroid) ist eine Rotationsfläche, die durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht. Im Gegensatz zu einem allgemeinen Ellipsoid sind zwei Achsen gleich lang. Man unterscheidet dabei je nach Länge der Drehachse das

• verlängerte (prolate) Ellipsoid bei Rotation um die große Halbachse und das
• abgeplattete (oblate) Ellipsoid bei Rotation um die kleine Halbachse.

Ein Beispiel für ein verlängertes Rotationsellipsoid ist die Form des Rugbyballs, das abgeplattete ähnelt einer Schokolinse.

Vorkommen

Rotationsellipsoid und Massenverlagerung (rot)

Die meisten größeren Himmelskörper sind angenähert abgeplattete Rotationsellipsoide (auch Sphäroide genannt). Sie entstehen durch die Fliehkraft, die bewirkt, dass ein sich drehender kugelförmiger Körper verformt wird. An den Polen, also den Durchstoßpunkten der Rotationsachse, werden diese Körper abgeplattet, am Äquator entsteht eine Ausbauchung. Besonders deutlich ist die Abplattung bei den großen Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind. Aber auch die Erde und die anderen terrestrischen Planeten werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt. Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet, die Erdabplattung beträgt 1/298,257223563 (WGS 84). Elliptische Galaxien sind oft keine Rotationsellipsoide, sondern triaxial.

Parameterdarstellung

Rotationsellipsoid: abgeplattetes (links) und verlängertes (rechts)

Die folgende Parameterdarstellung beschreibt ein Rotationsellipsoid, das durch Rotation der Halb-Ellipse $(a\cos t,0,c\sin t),-{\tfrac {\pi }{2}}\leq t\leq {\tfrac {\pi }{2}}$ (in der $x$-$z$-Ebene) um die $z$-Achse entsteht (s. Rotationsfläche):

${\begin{pmatrix}a~\cos t~\cos \varphi \\a~\cos t~\sin \varphi \\c~\sin t\end{pmatrix}}\qquad (-{\tfrac {\pi }{2}}\leq t\leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ 0<a,c)$.

Die Zahlen $a,c$ sind die Halbachsen der rotierenden Halbellipse. Im Fall $a>c$ entsteht ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, im Fall $a<c$ ein verlängertes Rotationsellipsoid. Falls $a=c$ ist, ergibt sich eine Kugel mit Radius $a$.

Man beachte: Die Pole (Punkte auf der Rotationsachse) besitzen keine eindeutige Darstellung.

Das entstandene Rotationsellipsoid besitzt die implizite Darstellung:

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ .$

Volumen

Das Volumen des obigen Rotationsellipsoids beträgt

$V={\frac {4\pi }{3}}a^{2}c$.

Dabei ist $a$ der Radius des Äquatorkreises und $c$ der Abstand der Pole vom Mittelpunkt.

Oberfläche

Die Oberfläche für das abgeplattete Ellipsoid ($a>c$) berechnet man mit

$A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\,\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{c}}\right)\right)\ ,$

die des verlängerten Ellipsoids ($c>a$) mit

$A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}\,\operatorname {arcsin} \left({\frac {\sqrt {c^{2}-a^{2}}}{c}}\right)\right)\ .$

Eine Kugel mit Radius $r$ hat das Volumen $V={\frac {4\pi }{3}}r^{3}$ und die Oberfläche $A=4\pi r^{2}$ (s. Kugel).

Herleitung der Formeln

Der Inhalt des Flächenmantels einer durch Rotation der Kurve $(r(t),0,z(t))\ ,t_{1}\leq t\leq t_{2}$ erzeugten Rotationsfläche ist

$A=2\pi \int _{t_{1}}^{t_{2}}r\ {\sqrt {{\dot {r}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,dt.\$ (s. Rotationsfläche.)

Für das obige Rotationsellipsoid ist $r(t)=a\cos t,\ z(t)=c\sin t$. Es muss also das Integral

$A=2\cdot 2\pi \int _{0}^{\pi /2}a\cos t{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+c^{2}\cos ^{2}t}}\mathrm {d} t$

(2 mal ein halbes Ellipsoid !) berechnet werden. Für $a=c$ ist die Wurzel gleich $a$ und es ergibt sich die Oberfläche einer Kugel. Im Folgenden wird $a\neq c$ vorausgesetzt.

Die Substitution $u=\sin t$ mit $\mathrm {d} u=\cos t\mathrm {d} t$ führt zu

$A=4\pi a\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}u^{2}+c^{2}(1-u^{2})}}\ \mathrm {d} u=4\pi a\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {(a^{2}-c^{2})u^{2}+c^{2}}}\ \mathrm {d} u$

und damit zu

$A=4\pi a{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {u^{2}+{\frac {c^{2}}{a^{2}-c^{2}}}}}\ \mathrm {d} u\quad ,$ falls $a>c$, und

$A=4\pi a{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {{\frac {c^{2}}{c^{2}-a^{2}}}-u^{2}}}\ \mathrm {d} u\quad ,$ falls $c>a$.

Unter Beachtung, dass der Bruch unter der Wurzel in beiden Fällen positiv ist, ergeben sich mit Hilfe einer Integrationstabelle (z. B. Bronstein-Semendjajew) die Stammfunktionen für die beiden Integrale und schließlich die oben angegebenen Formeln für die Oberfläche.

Anwendung

In der Geodäsie, Kartografie und den anderen Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische Annäherung an das (physikalische) Geoid benutzt. Diese Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzfläche, um die Lage bzw. Höhe von Objekten der Erdoberfläche anzugeben. Man spricht dann von einem Referenzellipsoid.

In einem Hohlkörper reflektieren die Begrenzungsflächen des (gestreckten) Rotationsellipsoiden die Strahlung von einem Brennpunkt zum anderen. Den Effekt nutzt ein Flüstergewölbe für die Bündelung von Schallwellen.
Derart geformte optische Reflektoren bündeln die Strahlung einer nahezu punktförmigen, sich in einem der Brennpunkte befindlichen Lichtquelle auf den anderen Brennpunkt des Ellipsoids. Dort kann sich die Grenzfläche eines Lichtleitkabels, ein anderes optisches Element oder der Ort eines strahlungsinduzierten Prozesses befinden.

Siehe auch

• Rotationsparaboloid
• Rotationshyperboloid
• Achernar
• Geoid

Weblinks

Wiktionary: Rotationsellipsoid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen