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Produkt (Kategorientheorie)
Produkt in der Kategorientheorie
In der Kategorientheorie ist das Produkt einer durch die Menge I indizierten Familie von Objekten ein Paar , wobei
- P ein Objekt ist,
- ein Morphismus (genannt Projektion) von P nach ist (für jedes i aus I),
- und für jedes Objekt C und jede Familie von Morphismen von C nach es genau einen Morphismus f von C nach P gibt mit .
Dieses Produkt wird also über eine so genannte universelle Eigenschaft definiert und ist lediglich bis auf natürliche Isomorphie eindeutig.
Diese sehr allgemeine Definition enthält viele andere in der Mathematik auftretende Definitionen des Begriffs Produkt, und darüber hinaus weitere:
- In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt.
- In der Kategorie Top der topologischen Räume mit stetigen Funktionen entspricht obige Definition der des topologischen Produkts: das kartesische Produkt, versehen mit der gröbsten Topologie, bei der alle Projektionen noch stetig sind.
- In der Kategorie Grp der Gruppen, und anderen Kategorien algebraischer Strukturen wie der Kategorie der Ringe oder der der Vektorräume entspricht obige Definition dem direkten Produkt: das kartesische Produkt, versehen mit komponentenweisen Verknüpfungen.
- Ist eine Quasiordnung und die Kategorie, welche die Elemente von als Objekte hat und in der genau ein Morphismus genau dann existiert, wenn , dann sind Produkte in Infima.
Der duale Begriff ist der des Koprodukts.
Beispiele
Kategorie | Produkt |
---|---|
Mengen | Kartesisches Produkt |
Gruppen | direktes Produkt |
Abelsche Gruppen | |
Vektorräume | |
Moduln über einem Ring | |
topologische Räume | Produkttopologie |
Kompakte Hausdorffräume | |
Banachräume (mit linearen Kontraktionen als Morphismen) | Abzählbare Linearkombinationen mit , das heißt absolut beschränkten, Koeffizienten, mit dem gewichteten Supremum der Normen als Norm |
Partielle Ordnung | Infimum |
Für abelsche Gruppen, Moduln, Vektorräume und Banachräume stimmen die endlichen Produkte mit den endlichen Koprodukten überein. Man spricht dann von einem Biprodukt. Ihre Existenz wird bei der Definition abelscher Kategorien gefordert (insbesondere bilden abelsche Gruppen, Moduln über einem Ring oder Vektorräume über einem Körper abelsche Kategorien).
Literatur
- Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2. Hanser Verlag, München 1976, ISBN 3-446-12172-2 (Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure), siehe Kapitel 10: Kategorien.
Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Produkt (Kategorientheorie) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar. |