Vektor

Im allgemeinen Sinn versteht man unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Vektoren in diesem allgemeinen Sinn werden im Artikel Vektorraum behandelt.

Im engeren Sinne versteht man unter einem Vektor

• in der analytischen Geometrie ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden.
• davon ausgehend ein $n$-Tupel reeller Zahlen, also ein Element des $\mathbb {R} ^{n}$.
• in der klassischen Physik eine physikalische Größe, die durch einen Betrag und eine Richtung gekennzeichnet ist. Für vektorielle Größen in der Physik gelten dieselben geometrischen Gesetze und Rechenregeln wie für die geometrischen Vektoren.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und Vektoren als Elementen des Koordinatenraums $\mathbb {R} ^{n}$ und lässt sich ohne weiteres auf vektorielle Größen in der Physik übertragen.

Geschichte

Begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Graßmann, der 1844 seine Lineale Ausdehnungslehre veröffentlichte, ein über dreihundert Seiten starkes Buch. Als Vorläufer gelten u. a. René Descartes und August Ferdinand Möbius, ein Schüler von Carl Friedrich Gauß. Nahezu zeitgleich entwickelte William Rowan Hamilton seine ähnliche Theorie der Quaternionen, die er 1853 in dem Buch Lectures on Quaternions und 1866 in dem Werk Elements of Quaternions publizierte. In Deutschland wurde die Vektorrechnung insbesondere durch Vorlesungen und Bücher von Alfred Bucherer, August Föppl, Carl Runge, Fischer, v. Ignatowsky und Richard Gans verbreitet.

Schreib- und Sprechweisen

Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet (${\vec {a}},{\vec {v}}$). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben ($\mathbf {v}$, ${\boldsymbol {v}}$ oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung (${\underline {v}}$) oder Ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit kleinen Frakturbuchstaben (${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {v}}$) üblich, handschriftlich durch deutsche Schreibschrift bzw. Sütterlinschrift wiedergegeben. Häufig gewählte Buchstaben sind ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ und ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}$. Der entsprechende lateinische Buchstabe ohne Vektorkennzeichnung steht meist für die Länge (den Betrag) des Vektors: $v=|{\vec {v}}|$

Geometrie

Definition

Verschiebung des Dreiecks ABC durch Verschiebung der Punkte um ${\vec {v}}$

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von $A$ nach $A'$, der Pfeil von $B$ nach $B'$ und der Pfeil von $C$ nach $C'$ dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor ${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {BB'}}={\overrightarrow {CC'}}$. Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelverschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.

Ein Vektor von Startpunkt A nach Endpunkt B und seine Länge

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt $A$ auf den Punkt $B$ abbildet, wird als ${\overrightarrow {AB}}$ geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zeigt. Man sagt: „Der Vektor ${\vec {a}}={\overrightarrow {AB}}$ bildet $A$ auf $B$ ab“, oder: „Der Vektor ${\vec {a}}={\overrightarrow {AB}}$ verbindet $A$ und $B$.“ Der Punkt $A$ wird in diesem Fall als Ausgangs- oder Startpunkt und $B$ als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet. Der Abstand der beiden Punkte wird "Länge" oder "Betrag" des Vektors genannt.

Der umgekehrte Vektor ${\overrightarrow {BA}}$, der $B$ mit $A$ verbindet, heißt Gegenvektor zu ${\overrightarrow {AB}}$. Der Vektor ${\overrightarrow {AA}}$, der einen Punkt $A$ auf sich selbst abbildet, heißt Nullvektor und wird mit ${\vec {0}}$ oder ${\vec {o}}$ bezeichnet. Als einziger Vektor kann er grafisch nicht durch einen Pfeil dargestellt werden.

Orts- und Richtungsvektoren

→ Hauptartikel: Ortsvektor

Vektoren können auch dazu verwendet werden, Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann der Ort des Punktes $P$ durch den Vektor

${\vec {p}}={\overrightarrow {OP}}$

dargestellt werden. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt $P$ gehörenden Ortsvektor. $O$ bezeichnet dabei den Koordinatenursprung, der für alle Ortsvektoren den Startpunkt bildet.

Um sie davon zu unterscheiden, werden Vektoren, wie sie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben wurden, auch als Richtungsvektoren bezeichnet. Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben. Sie können jedoch – wie gezeigt – jeden Punkt des Raums als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen.

Diese Unterscheidung ist unter anderem in der analytischen Geometrie wichtig. Dort wird beispielsweise eine Gerade durch folgende Gleichung beschrieben:

${\vec {x}}={\vec {p}}+r\cdot {\vec {v}}$

Der Stützvektor ${\vec {p}}$ ist der Ortsvektor eines willkürlich gewählten „Stützpunktes“ der Geraden. Der Richtungsvektor ${\vec {v}}$ gibt die Richtung der Geraden an. $r$ steht für eine beliebige reelle Zahl, daher ist ${\vec {x}}$ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.

Darstellung in Koordinaten

Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese Komponenten untereinander, als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in $x$-Richtung) und 3 Einheiten nach oben (in $y$-Richtung) beschreibt, schreibt man ${\vec {v}}={\tbinom {7}{3}}$. Der Vektor ${\tbinom {2}{-5}}$ beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in $x$-Richtung und −5 Einheiten in $y$-Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor $\left({\begin{smallmatrix}3\\-2\\4\end{smallmatrix}}\right)$ eine Verschiebung um 3 Einheiten in $x$-Richtung, 2 Einheiten in negativer $y$-Richtung und 4 Einheiten in $z$-Richtung.

Die Koordinaten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben $A$ und $A'$ die Koordinaten $A(-6|-1)$ und $A'(1|2)$. Die Koordinaten des Verbindungsvektors ${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}$ berechnen sich dann wie folgt:

${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}={\begin{pmatrix}1-(-6)\\2-(-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$.

Rechenoperationen

Addition und Subtraktion

Die Addition von zwei geometrischen Vektoren entspricht der Hintereinanderausführung der zugehörigen Verschiebungen. Stellt der Vektor ${\vec {a}}$ die Verschiebung dar, die den Punkt $P$ auf $Q$ abbildet, und bildet die zu ${\vec {b}}$ gehörige Verschiebung den Punkt $Q$ auf $R$ ab, so beschreibt ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ die Verschiebung, die $P$ auf $R$ abbildet.

Geometrisch kann man deshalb zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ addieren, indem man die beiden Vektoren so durch Pfeile darstellt, dass der Startpunkt des zweiten mit dem Endpunkt des ersten Pfeils übereinstimmt. Die Summe ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ wird dann durch den Pfeil vom Startpunkt des ersten bis zum Endpunkt des zweiten Pfeils dargestellt.

Alternativ stellt man die beiden Vektoren durch Pfeile mit einem gemeinsamen Anfangspunkt dar und ergänzt diese Figur zu einem Parallelogramm. Der diagonale Pfeil vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke stellt dann die Summe der beiden Vektoren dar. In der Physik verwendet man diese Konstruktion beim Kräfteparallelogramm.

In Koordinaten berechnet man die Summe komponentenweise: Für die Summe der beiden Vektoren

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$ und ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

gilt

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$.

Für die Addition von Vektoren gelten das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.

Für die Differenz zweier Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ gilt:

${\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\a_{3}-b_{3}\end{pmatrix}}$.

Sie lässt sich auf zwei Arten geometrisch deuten:

• Als die Summe von ${\vec {a}}$ mit dem Gegenvektor $-{\vec {b}}$ von ${\vec {b}}$. Man setzt den Startpunkt eines Pfeils, der den Gegenvektor von ${\vec {b}}$ darstellt, an den Endpunkt des Pfeils, der ${\vec {a}}$ darstellt.
• Als denjenigen Vektor, der zu ${\vec {b}}$ addiert gerade ${\vec {a}}$ ergibt. Stellt man ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ durch Pfeile mit demselben Anfangspunkt dar, so wird ${\vec {a}}-{\vec {b}}$ durch den Pfeil dargestellt, der vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors führt.

Werden zwei Vektoren addiert (subtrahiert), so addieren (subtrahieren) sich ihre Beträge nur dann, wenn die Vektoren kollinear sind und die gleiche Orientierung haben. Im allgemeinen Fall gilt hingegen die Dreiecksungleichung:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|$.

Multiplikation mit einem Skalar

Vektoren können mit reellen Zahlen (oft Skalare genannt, um sie von Vektoren zu unterscheiden) multipliziert werden (Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation genannt):

$r{\vec {a}}=r\,{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{1}\\ra_{2}\\ra_{3}\end{pmatrix}}$

Die Länge des resultierenden Vektors ist $|r|\cdot |{\vec {a}}|$. Wenn der Skalar positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche, ist er negativ, in die Gegenrichtung.

Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:

$r\cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=r{\vec {a}}+r{\vec {b}}$

Ebenso gilt es für die Addition von zwei Skalaren:

$(r+s)\cdot {\vec {a}}=r{\vec {a}}+s{\vec {a}}$

Skalarprodukt

Veranschaulichung des Skalarprodukts

Das Skalarprodukt (oder innere Produkt) zweier Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}},$ so genannt, weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird als ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ oder $\langle {{\vec {a}},{\vec {b}}}\rangle$ notiert und ist

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\,|{\vec {b}}|\,\cos \varphi ,$

wobei $\varphi$ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (siehe auch Kosinus). Stehen die zwei Vektoren rechtwinkelig aufeinander, so ist das Skalarprodukt Null, da $\cos \varphi =\cos 90^{\circ }=0$ gilt.

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zu

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},$

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.$

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch wie folgt verstehen (s. Abbildung): Man projiziert den einen Vektor ${\vec {b}}$ senkrecht auf den anderen ${\vec {a}}$ und erhält so den Vektor ${\vec {b}}_{\vec {a}}$. Falls der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel $\varphi$ ein spitzer Winkel ist, zeigt ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ in diesselbe Richtung wie ${\vec {a}}$. In diesem Falle ergibt sich das Skalarprodukt durch die Multiplikation der beiden Beträge von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}_{\vec {a}}$. Diese Zahl ist positiv. Handelt es sich hingegen um einen stumpfen Winkel, so ist die Projektion antiparallel zu ${\vec {a}}$ und das Skalarprodukt hat daher ein negatives Vorzeichen. Wenn die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschließen ($\varphi =90^{\circ }$), dann ist die Länge des projizierten Vektors Null und damit auch das Skalarprodukt. (Vertauscht man die beiden Vektoren bei diesem Vorgehen, so ergibt sich derselbe Wert.)

Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel, um die Arbeit zu berechnen, wenn die Richtung der Kraft nicht mit der Bewegungsrichtung übereinstimmt.

Für das Skalarprodukt gelten das Kommutativgesetz

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$

und das Distributivgesetz:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}.$

Kreuzprodukt

→ Hauptartikel: Kreuzprodukt

Veranschaulichung des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ (gesprochen als „a Kreuz b“) zweier Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der senkrecht auf der von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Ebene steht. Die Länge $|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|$ dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$, also

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot |\sin \theta |\,,$

wobei der von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel hier mit $\theta$ bezeichnet wird. Das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren ergibt daher den Nullvektor.

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem lässt sich das Kreuzprodukt wie folgt berechnen:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ, d. h. es gilt

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}).$

Spatprodukt

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$

wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist ein Skalar. Sein Betrag ist das Volumen des Spats, der von den drei Vektoren aufgespannt wird. Bilden die drei Vektoren ein Rechtssystem, so ist $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ positiv. Bilden sie ein Linkssystem, so ist $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ negativ. Wenn die Vektoren linear abhängig sind, ist $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0$.

Länge/Betrag eines Vektors

In kartesischen Koordinaten kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$a=|{\vec {a}}|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}.$

Dies entspricht der sog. euklidischen Norm. Die Länge lässt sich in einer alternativen Schreibweise auch als die Wurzel des Skalarprodukts angeben:

$a=|{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}.$

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.

Bei vektoriellen Größen in der Physik spricht man statt von der Länge vom Betrag eines Vektors. Man kann eine vektorielle physikalische Größe ${\vec {v}}$ als Paar $({\vec {e}}_{v},|{\vec {v}}|)$ aus Richtung der Größe als Einheitsvektor ${\vec {e}}_{v}$ und Betrag der Größe entlang dieser Richtung ansehen. Die Einheit des Betrags ist dabei gleich der Einheit der physikalischen Größe. So lässt sich beispielsweise die Geschwindigkeit

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}}\mathrm {\frac {m}{s}}$

eines Hubschraubers, der in konstanter Höhe in süd-östlicher Richtung fliegt, durch

${\vec {e}}_{v}={\frac {1}{|{\vec {v}}|}}{\vec {v}}={\begin{pmatrix}{\tfrac {3}{5}}\\-{\tfrac {4}{5}}\\0\end{pmatrix}}$   und   $\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}}}\mathrm {\frac {m}{s}} =5\mathrm {\frac {m}{s}}$

darstellen. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit $v(t)\,$ beim waagrechten Wurf (Startgeschwindigkeit in $x$-Richtung $v_{x}\,$, aktuelle Geschwindigkeit in $y$-Richtung $v_{y}(t)\,$) lässt sich angeben als

$v(t)={|{\vec {v(t)}}|}={\sqrt {v_{\mathrm {x} }^{2}+v_{\mathrm {y} }^{2}}}.$

n-Tupel und Spaltenvektoren

In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$, also $n$-Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und skalare Multiplikation ausgeführt werden. In der Regel werden die $n$-Tupel als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben, das heißt, ihre Einträge stehen untereinander.

Addition und skalare Multiplikation

Die Addition zweier Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ und die skalare Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl $r\in \mathbb {R}$ werden komponentenweise definiert:

${\vec {x}}+{\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\\vdots \\x_{n}+y_{n}\end{pmatrix}},\quad r{\vec {x}}=r{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx_{1}\\\vdots \\rx_{n}\end{pmatrix}}.$

Die Menge $\mathbb {R} ^{n}$ bildet mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum über dem Körper $\mathbb {R}$. Dieser sogenannte Koordinatenraum ist das Standardbeispiel eines $n$-dimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraums.

Standardskalarprodukt

Das Standardskalarprodukt ist definiert durch

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}$.

Mit diesem Skalarprodukt ist der $\mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Vektorraum.

Multiplikation mit einer Matrix

Ist $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ eine ($m\times n$)-Matrix und ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Spaltenvektor, so kann man ${\vec {x}}$ als einspaltige Matrix in $\mathbb {R} ^{n\times 1}$ auffassen und das Matrix-Vektor-Produkt $A\,{\vec {x}}$ bilden. Das Ergebnis ist ein Spaltenvektor in $\mathbb {R} ^{m}$:

$A\,{\vec {x}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\dots +a_{1n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\dots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}$

Die Multiplikation mit einer ($m\times n$)-Matrix ist eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$. Jede lineare Abbildung lässt sich als Multiplikation mit einer Matrix darstellen.

Länge bzw. Norm

→ Hauptartikel: Euklidische Norm

Die Länge oder Norm eines Vektors ist durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben:

$|{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}}}$

Neben dieser euklidischen Norm werden auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ noch andere Normen betrachtet, siehe p-Norm.

Eigenschaften von Vektoren

Lineare Abhängigkeit

Vektoren ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dots ,{\vec {a}}_{m}$ ($m\geq 1$) heißen linear abhängig, wenn es für die folgende Gleichung eine Lösung gibt, bei der nicht für alle Koeffizienten $r_{i}=0$ gilt:

$r_{1}\cdot {\vec {a}}_{1}+r_{2}\cdot {\vec {a}}_{2}+\dots +r_{m}\cdot {\vec {a}}_{m}={\vec {0}}{\text{ mit }}r_{i}\in \mathbb {R} .$

Wenn sich jedoch keine Koeffizienten $r_{i}$ finden lassen, die diese Bedingung erfüllen, dann nennt man die Vektoren linear unabhängig.

$m=1:$ Der Nullvektor ist linear abhängig, jeder andere Vektor ist linear unabhängig.

Für $m>1$ lässt sich im Fall der linearen Abhängigkeit mindestens einer der Vektoren als eine Linearkombination der anderen darstellen.

Um ein Koordinatensystem für einen $n$-dimensionalen Raum festzulegen, braucht man genau $n$ linear unabhängige Basisvektoren. Dann kann man jeden Vektor dieses Raums auf eindeutige Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Mehr als $n$ Vektoren im $n$-dimensionalen Raum sind stets linear abhängig.

Kollinearität zweier Vektoren

Zwei linear abhängige Vektoren nennt man auch kollinear.

Jeder Vektor ist mit dem Nullvektor kollinear. Handelt es sich aber um zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}},$ so sind sie genau dann kollinear, wenn

${\vec {a}}=r\cdot {\vec {b}}$

für ein $r\neq 0\in \mathbb {R}$ erfüllt ist. Sie sind parallel, wenn $r>0,$ bzw. antiparallel, wenn $r<0$ ist.

Für zwei kollineare Vektoren im dreidimensionalen Raum gilt

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {0}}.$

Orthogonalität

Zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ heißen orthogonal, wenn sie der folgenden Bedingung genügen:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$

Bei geometrischen Vektoren bedeutet dies, dass sie einen rechten Winkel einschließen.

Normierung

Ein Vektor heißt Einheitsvektor oder normiert, wenn er eine Länge von 1 hat. Man normiert einen Vektor ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$ wie folgt:

${\hat {a}}={\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}.$

Andere Schreibweisen für ${\hat {a}}$ sind ${\vec {e}}_{a}$, ${\vec {a}}_{0}$ oder ${\vec {a}}{}^{\circ }$.

Verallgemeinerungen

Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere, die neben den „herkömmlichen“, geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist jeder Vektor auch ein Tensor. Auch alle benannten Größen („Zahlenwert mit Einheit“, z. B. Längenangaben mit der Einheit Meter; Geldbeträge mit Einheit Euro usw.) sind in diesem Sinn Vektoren. (Dabei kann man durch Übergang zu einer anderen Einheit, z. B. von Euro zu Dollar, zwar die Zahlenwerte verändern; die Vektoren selbst aber bleiben ungeändert.)

Vektoren in der Physik

Vektorgrößen im dreidimensionalen Raum

In der klassischen Physik werden physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung haben, als Vektoren des euklidischen Raums aufgefasst. Beispiele hierfür sind der Ort, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, die Kraft, usw. Man kann sie skalaren physikalischen Größen gegenüberstellen, die nur einen Betrag, jedoch keine Richtung haben, wie z. B. Volumen, Masse, Ladung, Temperatur, usw.

Diese Auffassung gerichteter physikalischer Größen als Vektoren ist eine Anwendung geometrischer Vektoren. An die Stelle der Verschieberichtung tritt die Richtung der physikalischen Größe. Ihr Betrag entspricht der Verschiebungsweite eines geometrischen Vektors. Die Darstellung solcher Größen durch Pfeile bestimmter Länge veranschaulicht sowohl deren Richtung als auch deren Betrag. Folglich gilt alles, was bereits über geometrische Vektoren gesagt wurde, auch für vektorielle Größen in der Physik, insbesondere auch die Rechenoperationen in kartesischen Koordinaten und ihre graphische Veranschaulichung. Je nach Problemstellung kann jedoch auch die Wahl eines anderen Koordinatensystems (z. B. Kugelkoordinaten) sinnvoller erscheinen.

Physikalische Größen lassen sich nur dann addieren, wenn es sich um Größen derselben Größenart handelt. Das gilt auch dann, wenn man sie als Vektoren auffasst. Die Addition wird z. B. durch das Kräfteparallelogramm veranschaulicht. Vektorsummen sind unter anderem in der Statik von herausragender Bedeutung, z. B. bei der Definition des Kräftegleichgewichts $\sum {\vec {F}}_{i}=0$.

Das Skalarprodukt wird verwendet, wenn die Projektion eines Vektors in die Richtung eines anderen von Bedeutung ist. Beispielsweise versteht man unter dem physikalischen Begriff Arbeit das Produkt einer Kraft und eines Weges in Kraftrichtung. Deswegen berechnet man die Arbeit über das Skalarprodukt der Kraft und des Weges. Außerdem ist das Skalarprodukt wichtig bei der Komponentenzerlegung eines Vektors. Das Kreuzprodukt hingegen findet überall dort Verwendung, wo eine Gesetzmäßigkeit der Drei-Finger-Regel folgt, wie z. B. bei der Lorentzkraft oder dem Drehmoment. Sowohl beim Skalarprodukt als auch beim Kreuzprodukt ergibt sich die Einheit der resultierenden physikalischen Größe durch die Multiplikation der Einheiten beider Faktoren.

Ist ein physikalischer Vektor selbst eine Funktion des Ortes, spricht man von einem Vektorfeld. Es kann durch Feldlinien veranschaulicht werden, wobei die Tangente an die Feldlinie die Richtung des Vektors angibt. Der Betrag des Vektors wird durch die Dichte der Feldlinien dargestellt. Als Beispiele wären hier vor allem die elektrischen und magnetischen Felder zu nennen. Bei der mathematischen Behandlung der Felder erweist sich die Vektoranalysis als äußerst wichtiges Werkzeug, z. B. in der Elektrodynamik oder in der Strömungslehre.

Vektoren in der relativistischen Physik

An die Stelle des dreidimensionalen euklidischen Raums tritt in der Relativitätstheorie die vierdimensionale Raumzeit. Vektorielle Größen wie die Vierergeschwindigkeit oder der Viererimpuls werden hier dementsprechend als vierdimensionale Vektoren dargestellt.

Weitere Verwendungen des Vektorbegriffs in der Physik

Mehrteilchen-Systeme von $n$ Teilchen beschreibt man durch Vektoren in $3n$-dimensionalen Vektorräumen, bzw. – in der hamiltonschen Mechanik – im $6n$-dimensionalen Phasenraum, der nicht nur die Ortskoordinaten, sondern auch die Impulskoordinaten umfasst. Schließlich werden die Zustände quantenmechanischer Systeme als Vektoren in Funktionenräumen dargestellt. Hier erweist sich insbesondere die Bra-Ket-Notation, die von Paul Dirac eingeführt wurde, als hilfreich.

Transformationsverhalten von Vektoren

Für den physikalischen Vektorbegriff ist auch das Transformationsverhalten unter der Isometriegruppe der entsprechenden Metrik von Bedeutung. Dabei wird der dreidimensionale Raum als euklidischer Raum verstanden, während die vierdimensionale Raumzeit als Minkowski-Raum mit der entsprechenden Metrik aufgefasst wird. Werden diese Räume als Mannigfaltigkeiten aufgefasst, so sind Vektoren als kontravariante Tensoren erster Stufe zu verstehen, was das geforderte Transformationsverhalten festlegt. Die zugehörigen Isometriegruppen sind in drei Dimensionen die Drehgruppe und im Minkowski-Raum die Lorentzgruppe. Dabei sind nicht alle Vektoren im Dreidimensionalen als Teile von Vierervektoren aufzufassen. Der Drehimpuls transformiert beispielsweise unter Lorentztransformationen nicht wie ein Teil eines Vierervektors, sondern zusammen mit dem anfänglichen Energieschwerpunkt wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors. Ebenso transformieren die elektrische und magnetische Feldstärke wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors.

Vielteilchensysteme mit $n$ Teilchen beschreibt man mit Vektoren in 3n-dimensionalen Vektorräumen, auf die die dreidimensionale Drehgruppe getrennt wirkt.

Polare und axiale Vektoren

Je nach Transformationsverhalten unter Spiegelungen des Ortes unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren, in der älteren Literatur auch Schub- und Drehvektoren genannt: In polaren Vektorräumen geht jeder Vektor bei der räumlichen Spiegelung in sein Negatives über, Axialvektoren dagegen bleiben dabei unverändert. So ändern beispielsweise der Ort, die Geschwindigkeit, der Impuls und das elektrische Feld bei räumlicher Spiegelung ihr Vorzeichen, nicht aber das magnetische Feld. Bei solchen Transformationen gehen Lösungen ${\vec {x}}(t)$ der Bewegungsgleichungen in elektromagnetischen Feldern

${\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}(t)}{\mathrm {d} t}}=q\,{\bigl (}{\vec {E}}(t,{\vec {x}}(t))+{\vec {v}}(t)\times {\vec {B}}(t,{\vec {x}}(t){\bigr )}$

bei Spiegelung in Lösungen der Bewegungsgleichungen in transformierten elektromagnetischen Feldern über.

Polare und axiale Vektoren sind wegen ihres unterschiedlichen Transformationsverhaltens Elemente verschiedener Vektorräume. Das Kreuzprodukt muss dabei als bilineare Abbildung zweier Vektorräume in einen dritten angesehen werden.

Diese Sichtweise in der Physik ist sehr stark davon abhängig, dass man in einem dreidimensionalen Raum arbeitet.

Literatur

• Kurt Bohner, Peter Ihlenburg, Roland Ott: Mathematik für berufliche Gymnasien – Lineare Algebra – Vektorielle Geometrie. Merkur, Rinteln 2004. ISBN 3-8120-0552-2
• Klaus Jänich: Lineare Algebra. 10. Auflage. Springer, Berlin 2004. ISBN 3-540-40207-1.
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. 11. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8

Weblinks

Wiktionary: Vektor – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Commons: Vektoren – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Vektorrechnung, Ronny Harbich
• Java-Applet zur Veranschaulichung des Kreuzprodukts
• mathe online: Vektoren
• Geschichte des Vektors (englisch)