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Motzkin-Zahl

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In der Mathematik ist die -te Motzkin-Zahl die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, sich nicht schneidende Sehnen zwischen Punkten eines Kreises zu zeichnen, wobei nicht notwendigerweise jeder Punkt durch eine Sehne berührt werden muss.

Die Motzkin-Zahlen wurden nach dem US-amerikanischen Mathematiker Theodore Motzkin benannt[1] und haben vielfältige Anwendungen in der Geometrie, der Kombinatorik und der Zahlentheorie.

Beispiele

  • Wenn man auf einem Kreis Punkte einzeichnet, gibt es insgesamt 9 Möglichkeiten, durch diese vier Punkte sich nicht schneidende Kreissehnen zu zeichnen:
MotzkinChords4.svg
Somit ist die vierte Motzkin-Zahl .
  • Wenn man auf einem Kreis Punkte einzeichnet, gibt es insgesamt 21 Möglichkeiten, durch diese fünf Punkte nicht schneidende Kreissehnen zu zeichnen:
MotzkinChords5.svg
Somit ist die fünfte Motzkin-Zahl .
  • Eine andere Interpretation der Motzkin-Zahlen liefert die folgende Grafik anhand der vierten Motzkin-Zahl . Man starte bei der Koordinate (also links unten) und suche so viele Wege wie möglich, um zur Koordinate (also rechts unten) zu gelangen. Dabei darf man nur nach rechts, nach rechts oben oder nach rechts unten gehen, niemals darf man unter die x-Achse (also die unterste Linie). Es gibt 9 Möglichkeiten:
Motzkin4.svg
Es gibt somit insgesamt 9 Möglichkeiten, um von links nach rechts zu gelangen, womit die vierte Motzkin-Zahl ist.
  • Man starte nun bei der Koordinate (also links unten) und suche so viele Wege wie möglich, um zur Koordinate (also rechts unten) zu gelangen. Dabei darf man nur wie im obigen Beispiel vorgehen. Es gibt 21 Möglichkeiten:
Motzkin5.jpg
Es gibt somit insgesamt 21 Möglichkeiten, um von links nach rechts zu gelangen, womit die fünfte Motzkin-Zahl ist.
Generell erhält man die -te Motzkin-Zahl, wenn man mit dieser Methode die Anzahl der Wege in einem Koordinatensystem von nach sucht.
Robert Donaghey und Louis W. Shapiro gaben im Jahr 1977 insgesamt 14 Möglichkeiten an, Motzkin-Zahlen grafisch darzustellen.[2]
  • Die folgenden Zahlen sind die kleinsten Motzkin-Zahlen für :
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, … (Folge A001006 in OEIS)

Motzkin-Primzahlen

  • Eine Motzkin-Primzahl ist eine Motzkin-Zahl, die prim ist. Die folgenden Zahlen sind die kleinsten Motzkin-Primzahlen:
2, 127, 15511, 953467954114363 (Folge A092832 in OEIS)

Mehr Motzkin-Primzahlen sind nicht bekannt (Stand: 23. März 2020).

  • Die dazugehörigen Motzkin-Zahl-Indizes sind die folgenden:
2, 7, 12, 36 (Folge A092831 in OEIS)
Der nächste Index muss größer als sein. (Stand: 17. Oktober 2016)[3]

Eigenschaften

  • Die -te Motzkin-Zahl kann man wie folgt rekursiv aus vorhergehenden Motzkin-Zahlen berechnen:[4]
Dabei ist die Abrundungsfunktion, also die größte ganze Zahl , und .
  • Die erzeugende Funktion von Motzkin-Zahlen erfüllt die folgende Gleichung:[4]

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Theodore Motzkin: Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products. In: Bull. Amer. Math. Soc.. 54, Nr. 4, 1948 S. 352–360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4 (Volltext als PDF auf ams.org).
  2. Robert Donaghey, Louis W. Shapiro: Motzkin numbers. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. 23, Nr. 3, 1977-11 S. 291–301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6 (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316577900206?via%3Dihub).
  3. Comments zu OEIS A092831
  4. 4,0 4,1 Eric W. Weisstein: Motzkin Number. In: MathWorld. (englisch)
  5. Jiao-Lian Zhao, Feng Qi: Two explicit formulas for the generalized Motzkin numbers. In: Journal of Inequalities and Applications. 2017, 2017 doi:10.1186/s13660-017-1313-3 (https://www.researchgate.net/publication/313243544_Two_explicit_formulas_for_the_generalized_Motzkin_numbers).
Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Motzkin-Zahl aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar.