Lorentzkraft

Das Fadenstrahlrohr demonstriert die Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen (Elektronen).

Datei:Leiterschaukelversuch.ogv Die Lorentzkraft ist die Kraft, die eine bewegte Ladung in einem magnetischen oder elektrischen Feld erfährt. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannt. In Magnetfeldern ist sie am größten, wenn die Bewegungsrichtung der Ladungen senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfelds verläuft. Ist die Bewegungsrichtung der Ladungen parallel zu den Feldlinien, tritt keine Lorentzkraft auf. Die Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungen und den Magnetfeldlinien. Ihre Wirkungsrichtung kann mit der 3-Finger-Regel bestimmt werden. Für negative Ladungen verwendet man die linke, für positive Ladungen die rechte Hand.

Besonderheiten der Begriffsbildung

Die Bezeichnung „Lorentzkraft“ wird nicht einheitlich verwendet. Während ältere Lehrwerke meist zwischen der Lorentzkraft im engeren Sinne $F_{\text{L}}$ und der Coulombkraft $F_{\text{C}}$ unterscheiden – erstere von magnetischen Feldern auf bewegte Ladungen verursacht, letztere analog von elektrischen Feldern auf unbewegte Ladungen – tendiert die neuere Literatur dahin, beide Kräfte als die magnetische Komponente $F_{\text{B}}$ sowie elektrische Komponente $F_{\text{E}}$ der Lorentzkraft im weiteren Sinne, d. h. der Gesamtkraft $F_{\text{B}}+F_{\text{E}}$, aufzufassen und zu beschreiben.

Allgemeine Definition

a) Lorentzkraft bei Bewegung negativer bzw. positiver Ladungsträger
b) Störung des magnetischen Feldes durch die bewegten Ladungsträger

Bewegt sich eine elektrische Ladung $q~$ mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ durch ein elektromagnetisches Feld, ist die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorentzkraft im weiteren Sinne:

${\vec {F}}={\vec {F_{\text{E}}}}+{\vec {F_{\text{B}}}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$

${\vec {F_{\text{E}}}}$ und ${\vec {F_{\text{B}}}}$ sind dabei die elektrische und magnetische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne, ${\vec {E}}$ die elektrische Feldstärke, ${\vec {B}}$ die magnetische Flussdichte und das Zeichen $\times$ das des Vektor- oder Kreuzprodukts der beteiligten Vektoren.

Der resultierende Vektor eines Kreuzprodukts steht stets senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist gleich 0. Daraus ergibt sich für den Fall eines nicht vorhandenen äußeren elektrischen Felds ($E=0$):

• Bei der Ablenkung eines Teilchens der Ladung $q$ im räumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld wird im Gegensatz zur Ablenkung im elektrischen Feld keinerlei Arbeit verrichtet, die kinetische Energie und damit die Bahngeschwindigkeit bleiben also unverändert, denn

${\frac {\mathrm {d} W_{\text{kin}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{2}}\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}^{2}}{\mathrm {d} t}}=m{\vec {v}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}\cdot m\cdot {\vec {a}}={\vec {v}}\cdot {\vec {F}}=q\,{\vec {v}}\cdot {\bigl (}{\vec {v}}\times {\vec {B}}{\bigr )}=0$.

Dies gilt auch für relativistische Teilchen. Tatsächlich jedoch emittieren die Teilchen wegen ihrer Ablenkung Bremsstrahlung und geben dadurch Energie ab.

• Verlaufen die Vektoren ${\vec {v}}$ und ${\vec {B}}$ parallel oder antiparallel zueinander, wird ${\vec {F}}$ gleich 0. Bewegt sich eine Ladung $q$ in Feldlinienrichtung eines Magnetfelds oder genau entgegengerichtet, findet also keinerlei Ablenkung statt.

Betrachtet man dagegen, wie in älteren Physik-Lehrbüchern üblich, als Lorentzkraft im engeren Sinne allein die magnetische Komponente der obigen Gesamtkraft ${\vec {F}}$, gilt für ihre Berechnung entsprechend die Formel:

${\vec {F}}_{\text{L}}=q\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$

Die in solchem Fall ebenfalls separat betrachtete elektrische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne wird dann als Coulombkraft bezeichnet und wie folgt berechnet:

${\vec {F}}_{\text{C}}=q{\vec {E}}$

Die Formelzeichen ${\vec {F_{\text{B}}}}$ und ${\vec {F_{\text{L}}}}$ bzw. ${\vec {F_{\text{E}}}}$ und ${\vec {F_{\text{C}}}}$ bezeichnen dabei jeweils einander Entsprechendes, wobei man der Klarheit der Schreibweise wegen nach Möglichkeit die eine oder die andere Konvention beibehalten sollte.

Formulierung der Lorentzkraft im cgs-System

Im Unterschied zu der obigen Schreibweise der Formel für die Lorentzkraft ${\vec {F_{\text{L}}}}$, die auf dem in der Elektrotechnik und den experimentellen Naturwissenschaften üblichen Internationalen Maßsystem basiert, schreibt man in der theoretischen Physik, und allgemeiner besonders in England und den USA, für dieselbe Kraft in den äquivalenten, aber leicht verschiedenen cgs-Einheiten:

${\vec {F}}=q_{\text{cgs}}\left({\frac {\vec {v}}{c}}\times {\vec {B}}_{\text{cgs}}\right)$,

wobei die Größen $q_{\text{cgs}}~$ und ${\vec {B}}_{\text{cgs}}$ den entsprechenden SI-Größen weitgehend äquivalent sind, man sie also der Einfachheit halber meist ohne spezielle Indizes ebenfalls als $q~$ und ${\vec {B}}$ bezeichnet. Genau genommen aber gilt

$q_{\mathrm {cgs} }=q_{\mathrm {SI} }/{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\quad$ und ${\vec {B}}_{\mathrm {cgs} }={\vec {B}}_{\mathrm {SI} }\cdot c\cdot {\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\quad$

mit der dimensionsbehafteten Dielektrizitätskonstanten im Vakuum $\varepsilon _{0}~$ (für die systematische Umrechnung von Größen des SI-Systems ins cgs-System und umgekehrt siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel über die Maxwellschen Gleichungen).

Lorentzkraft auf bewegte Punktladungen

Bewegung einer Punktladung q in einem senkrecht zu ihrer Bahn (in diesem Fall aus der Zeichenebene heraus) verlaufenden Magnetfeld: Negative Ladungen (q < 0) werden dabei im Bild nach oben, positive (q > 0) nach unten und neutrale (q = 0) überhaupt nicht abgelenkt.

Als bewegte Punktladungen werden in der Physik kleine freie Ladungen wie etwa Elektronen, Protonen oder andere geladene Elementarteilchen, z. B. α-Teilchen, aber auch Ionen betrachtet, die sich frei im Raum, z. B. im Vakuum oder in einer Salzlösung, bewegen können.

Da die Richtung der Lorentzkraft abhängig vom Vorzeichen der Ladung q ist, werden entgegengesetzt geladene Punktladungen dabei, gleiche Bewegungsrichtung vorausgesetzt, auch in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt. Bewegen sich die entgegengesetzt geladenen Punktladungen dagegen außerdem (z. B. in einer Salzlösung, an die man eine elektrische Spannung gelegt hat) in entgegengesetzte Richtungen, ist die Richtung ihrer magnetischen Ablenkung wieder für beide Punktladungen dieselbe (siehe nebenstehende Abbildungen).

Der Betrag der Lorentzkraft ergibt sich dabei gemäß der Beziehung

$|{\vec {v}}\times {\vec {B}}|=|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha$

zu

$|{\vec {F}}_{\text{L}}|=|q|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha$

mit $\alpha$ als dem Winkel zwischen der Bewegungsrichtung von q und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte ${\vec {B}}$.

Bewegt sich die Punktladung genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt aufgrund der Beziehung $\sin \alpha =1$ die vereinfachte Gleichung

$|{\vec {F}}_{\text{L}}|=|q|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,.$

• 

  Zustandekommen einer rotierenden Salzlösung durch magnetische Ablenkung ihrer Ionen

• 

  Der Geschwindigkeitsfilter nach Wien zeigt Kräftegleichgewicht aus Lorentzkraft und Coulombkraft

Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter

Die Stromwaage misst die Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter.

Die Lorentzkraft ist das zentrale Bindeglied zwischen Elektrizität und Mechanik. Fließt Strom durch einen Leiter, der quer oder schräg zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds liegt, dann lässt sich eine Kraftwirkung auf den Leiter feststellen. Die Auslenkung im Leiterschaukelversuch oder die Messungen beim Stromwaagen-Experiment verdeutlichen dies. Die Kraftwirkung leitet sich dabei aus der auf eine bewegte Punktladung wirkenden Lorentzkraft her; diese wirkt auf die einzelnen Ladungsträger im Leiter.

Lorentzkraft am Leiterstück

Um die genannten Vorgänge rechnerisch zu erfassen, werde der Einfachheit halber zunächst ein gerades Stück Draht der gerichteten Länge ${\vec {\ell }}$ betrachtet, das in einem zeitlich konstanten homogenen äußeren Magnetfeld der Flussdichte $B$ liegt. Durch den Draht fließe ein ebenfalls zeitlich konstanter Strom der Stärke $I$, sodass seine Leitungselektronen sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ durch den Draht bewegen und dabei in der Laufzeit $t$ die Gesamtladung

$q=I\,t$

mit der Geschwindigkeit

${\vec {v}}={\frac {\vec {\ell }}{t}}$

transportieren. Wegen $q\,{\vec {v}}=I\,{\vec {\ell }}$ ist damit die Summe der Lorentzkräfte auf alle am Stromfluss beteiligten Leitungselektronen und damit auf das Drahtstück als Ganzes

${\vec {F_{\text{L}}}}=q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})=I\,({\vec {\ell }}\times {\vec {B}}).$

Die zugehörige Betragsgleichung lautet dann

$|{\vec {F}}_{\text{L}}|=|I|\,|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha$

mit $\alpha$ als dem Winkel zwischen der Längsrichtung des Drahtes und der Richtung der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$.

Verläuft der Draht genau senkrecht zum Magnetfeld, ist $\sin \alpha =1$ und die Gleichung vereinfacht sich zu

$|{\vec {F}}_{\text{L}}|=|I|\,|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {B}}|\,.$

Für gekrümmte Leiter muss die Kraftwirkung durch Integration berechnet werden, indem das Magnetfeld nur für infinitesimal kleine Stücke $\mathrm {d} {\boldsymbol {\vec {\ell }}}$ des Leiters als konstant angesehen wird. Damit ergibt sich folgende Formel:

${\vec {F_{\text{L}}}}=I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\vec {\ell }}}\times {\vec {B}}$

Elektromagnetische Induktion

Lorentzkraft und Induktion

Des Weiteren erklärt die Lorentzkraft die Umwandlung mechanischer Bewegung in elektrische Spannung. Dabei ergibt sich mittels der Lorentzkraft eine alternative Herleitung der elektromagnetischen Induktion statt über die Flussänderung. Der Einfachheit halber sei wieder ein gerades Stück Draht der Länge $l$ betrachtet, das nun mit der konstanten Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ quer durch ein senkrecht zu ihm verlaufendes zeitlich konstantes homogenes äußeres Magnetfeld der Flussdichte $B$ geschoben werde, also so, dass die Längsrichtung des Drahtes dabei außerdem senkrecht auf ${\vec {v}}$ steht.

Wie weiter oben erläutert, halten sich in diesem Fall zwei Kräfte die Waage, zum einen die Lorentzkraft ${\vec {F_{\text{L}}}}$, die die Leitungselektronen des Drahtes in Richtung eines seiner beiden Enden verschiebt, zum anderen die auf die Leitungselektronen wirkende Coulombkraft ${\vec {F_{\text{C}}}}$ aufgrund der durch die Ladungstrennung zwischen beiden Leiterenden induzierten elektrischen Spannung:

${\vec {F}}_{\text{L}}+{\vec {F}}_{\text{C}}=0\Leftrightarrow {\vec {F}}_{\text{C}}=-{\vec {F}}_{\text{L}}\Leftrightarrow q\,{\vec {E}}=-q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})$

Herauskürzen der, wie zu sehen, hier gänzlich unerheblichen Gesamtladung $q$ und skalare Multiplikation mit dem Vektor der gerichteten Leiterlänge ${\vec {\ell }}$ liefert schlussendlich die Gleichung für die gesuchte Induktionsspannung $U_{\text{ind}}$:

$U_{\mathrm {ind} }={\vec {\ell }}\cdot {\vec {E}}=-{\vec {\ell }}\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {B}})=({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}$

Verlaufen alle drei Vektoren, wie eingangs verlangt, senkrecht zueinander, vereinfacht sich das Spatprodukt l·(v×B)=(l×v)·B zu der bekannten Formel

$U_{\text{ind}}=-|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|$.

Lenzsche Regel

Stromkreis demonstriert Lenzsche Regel.

Lorentzkraft erklärt Lenzsche Regel.

Überbrückt man nun beide Enden des bewegten Leiters mit einem ohmschen Widerstand der Größe R, der dagegen nicht gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die Induktionsspannung ausgleichen kann, sodass diese und das Produkt $I_{\text{ind}}\cdot R$ also gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel die Summe 0 liefern:

$U_{\mathrm {ind} }+I_{\text{ind}}\cdot R=0\Leftrightarrow$

${I_{\text{ind}}}={\frac {-U_{\text{ind}}}{R}}={\frac {{\vec {\ell }}\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {B}})}{R}}={\frac {-({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}}{R}}$

Der durch den geschlossenen Stromkreis fließende Strom erzeugt nun wieder eine Lorentzkraft, die der Bewegungsrichtung entgegenwirkt. Die Lorentzkraft erklärt somit nicht nur die Ladungstrennung, mit der die Induktionsspannung entsteht, sondern zudem die Gegenkraft, die Teil der Lenzschen Regel ist.

In gleicher Weise erzeugen Generatoren Spannung und lassen Ströme fließen, wodurch sie mechanische in elektrische Leistung umformen. Beim Elektromotor sind Spannung und Strom so gerichtet, dass er elektrische Leistung aufnimmt und als verrichtete Arbeit abgibt.

Wirkungsprinzip

Die Lorentzkraft ergibt sich in der lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung $q$ und der Masse $m$ aus der Lagrangefunktion

$L({\vec {x}},{\vec {v}},t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}+q\,{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}-q\,\Phi$.

Hierbei sind $\Phi ({\vec {x}},t)$ und ${\vec {A}}({\vec {x}},t)$ das skalare Potential und das Vektorpotential, die zu der elektrischen Feldstärke

${\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-{\vec {\nabla }}\Phi$

und der magnetischen Flussdichte

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

gehören.

Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\vec {v}}L-\nabla _{\vec {x}}L=0$.

Die Auswertung der in den Nabla-Operatoren vorkommenden partiellen Ableitungen liefert:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m\,{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,{\vec {A}}\right)-q\,\nabla \left({\vec {v}}\cdot {\vec {A}}\right)+q\,\nabla \Phi =0$

Dabei ist der erste Term in den runden Klammern der (kinetische) Impuls (während der gesamte Ausdruck in den ersten runden Klammern den generalisierten Impuls beschreibt) eines sich mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegenden Teilchens:

${\vec {p}}={\frac {m\,{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}}$

Die totale zeitliche Ableitung des Vektorpotentials, das explizit von der Zeit und von allen Ortskoordinaten abhängig ist, lautet unter Benutzung der Vektorrelation ${\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla ({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})-({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {A}}$:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=({\vec {v}}\cdot \nabla )\mathbf {A} +{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})+\nabla ({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

Eingesetzt ergibt sich:

${\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}-\underbrace {q\,{\vec {v}}\times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)} _{q\,{\vec {v}}\times {\vec {B}}}+\underbrace {q\,\nabla \Phi +q\,{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}} _{-q\,{\vec {E}}}=0$

Somit erhält man die Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von E und B:

${\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}=q\,({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\ .$

Beispiele

Definition des Amperes

Kraftwirkung auf zwei gerade benachbarte Leiter

Die Lorentzkraft ist seit 1948 Grundlage der bis heute international gültigen Definition der SI-Basiseinheit Ampere:

Ein Ampere ist „die Stärke eines zeitlich unbegrenzt unveränderlichen elektrischen Stroms, der durch zwei parallel im Abstand von 1 m im Vakuum angeordnete geradlinige, unendlich lange Leiter mit vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, elektrodynamisch die Kraft von $2\cdot 10^{-7}$ N je m Leiterlänge zwischen diesen Leitern hervorrufen würde.“

Der Betrag der Kraft ergibt sich über die magnetische Betragskomponente der Lorentzkraft in Kombination mit dem Biot-Savart-Gesetz für zwei gerade, benachbarte und dünne Linienleiter. Bei zwei Leitern, die jeweils vom Strom $I_{1}$ bzw. $I_{2}$ mit einen gegenseitigen Abstand $r$ durchflossen werden, beträgt die längenbezogene magnetische Lorentzkraft $F'_{12}$:

$F'_{12}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}}$

Bei einem Leiterabstand $r=1\mathrm {m}$ und einen Strom von $I_{1}=I_{2}=1\mathrm {A}$ ergibt sich pro Meter Leiterlänge die Kraft von $2\cdot 10^{-7}\mathrm {N}$ aus obiger Definition. Die Kombination der Lorentzkraft mit dem Biot-Savart-Gesetz wird in der englischsprachiger Fachliteratur auch als Ampère's Force Law bezeichnet.

Technische Anwendungen der Lorentzkraft

• Rotierende elektrische Maschinen wie der Elektromotor und der elektrische Generator
• Ablenkmagnete und Ablenksysteme zur Fokussierung und Ablenkung von geladener Teilchenstrahlung (zum Beispiel in der Kathodenstrahlröhre, in Bildröhren, in allen Kreisbeschleunigern)
• Wienfilter, der nur Ionen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren lässt
• In magnetfeldabhängigen Widerständen, wie in der Feldplatte, beim Hall-Effekt und den darauf basierenden Hall-Sensoren
• Magnetohydrodynamische Generatoren und magnetohydrodynamischer Antrieb
• elektrodynamische Wandler, zum Beispiel Lautsprecher, dynamische Mikrofone, Drehspulmesswerke
• magnetischer Einschluss des Plasmas in Kernfusionsreaktoren wie beim Tokamak und beim Stellarator
• Berührungslose Durchflussmessung mit Lorentzkraft-Anemometrie

Lorentzkräfte in der Natur

• Die Ablenkung des Sonnenwinds durch das Magnetfeld der Erde im Van-Allen-Gürtel erfolgt durch die Lorentzkraft - beim Eintritt des Sonnenwinds in tiefere Luftschichten entsteht daraus das Polarlicht.

Siehe auch

• Relativistische Erklärung der Lorentzkraft
• Induktionsgesetz
• Reluktanzkraft
• Drei-Finger-Regel

Weblinks

•  Commons: Lorentzkraft – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien
• Wiktionary: Lorentz-Kraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
• Java-Applet zum Experimentieren mit der Lorentzkraft
• Ein weiteres Modell, bei dem $q$, $v$ und $B$ variiert werden können
• Versuche und Aufgaben zur Lorentzkraft (LEIFI)
• MIT-News-Artikel über Lorentzkraft-Injektor
• walter-fendt.de: Java-Applet zur Demonstration der Lorentzkraft im Magnetfeld eines Hufeisenmagneten auf einen stromdurchflossenen Leiter