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Legendre-Symbol

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Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt und wird wie folgt notiert:

Diese drei Notationen geben jeweils an, ob die Zahl ein quadratischer Rest modulo p oder quadratischer Nichtrest modulo p ist. Dabei muss eine Primzahl sein. Es gilt

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialfall des Jacobi-Symbols, das die gleiche Schreibweise hat.

Das Eulersche Kriterium gibt an, wie sich das Legendre-Symbol für alle Primzahlen außer der 2 berechnen lässt:

Die Zahl 2 wird durch die Formel nicht berücksichtigt, da gilt

d.h. alle Zahlen sind entweder Vielfache von 2 oder quadratische Reste modulo 2: .

Beispiele

2 ist ein quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja :
5 ist kein quadratischer Rest modulo 7:
14 ist durch 7 teilbar:

Rechenregeln

Das Quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.

Es seien nun und eine Primzahl. Dann gelten folgende Rechenregeln:

  • , sofern .

Die besondere Stellung der Zahl 3

Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und -1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

Wenn man also ein Legendre-Symbol in Legendre-Symbole der Form zerlegen kann, so lässt sich der Wert, den das Legendre-Symbol zurückliefert, leicht berechnen.

Andererseits gilt auch:

Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Legendre-Symbol aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar.