Konstruktive Mathematik

Der mathematische Konstruktivismus ist eine Richtung der Philosophie der Mathematik, die den ontologischen Standpunkt vertritt, dass die Existenz mathematischer Objekte durch ihre Konstruktion zu begründen ist. Der Konstruktivismus kann eine objektivistische (ein mathematisches Objekt existiert unabhängig vom Denken, seine Existenz wird aber erst durch seine Konstruktion begründet) und eine subjektivistische Form einnehmen (ein mathematisches Objekt entsteht als Produkt der konstruierenden Intuition des Mathematikers und wird von ihm dabei überhaupt erst hergestellt, Intuitionismus). Mathematische Aussagen der Form „Es gibt …“ werden abgelehnt und − wenn möglich − ersetzt durch Sätze der Form „Wir können … konstruieren“ (bspw.: „Es gibt irrationale Zahlen $a$, $b$, so dass $a^{b}$ rational ist.“ vs. „Wir können solche Zahlen $a$, $b$ konstruieren“).

Entwicklung

Erste Ansätze zur konstruktiven Mathematik stammen aus dem Intuitionismus von L. E. J. Brouwer. Weitere Ansätze wurden von Hermann Weyl, Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Errett Bishop, Arend Heyting, Solomon Feferman, Paul Lorenzen, Michael J. Beeson und Anne Sjerp Troelstra entwickelt. Der insbesondere durch Weyl vertretene Konstruktivismus war eine der Positionen, die sich Anfang des 20. Jahrhunderts im Grundlagenstreit der Mathematik gegenüberstanden, er konnte sich dabei aber nicht durchsetzen.

Theorie

In einem konstruktiven Beweis werden die mathematischen Objekte und Lösungen von Problemen tatsächlich konstruiert.

Die konstruktive Mathematik vermeidet ausdrücklich nicht-konstruktive Beweise und kommt mit der intuitionistischen Logik aus, die keine nicht-konstruktiven Beweise zulässt. Wird etwa (wie in einem indirekten Beweis) aus der Falschheit einer negierten Behauptung diese Behauptung selbst gefolgert, so wird dabei eine logische Schlussform verwendet, die nicht zur Konstruktion zwingt. Der wesentliche Kernpunkt des Konstruktivismus besteht also darin, nur jene Sätze zu formulieren, deren Objekte (und Problemlösungen) konstruierbar sind. Dieser Anspruch führt dazu, Anwendungen des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten sowie des Auswahlaxioms abzulehnen, da mit beiden Sätzen auch Aussagen über mathematische Objekte (bzw. Lösungen) hergeleitet werden können, ohne anzugeben, wie diese konstruiert werden.

In der Arithmetik lässt sich immer beides durchführen, konstruktive Beweise und nicht-konstruktive Beweise. Die eigentliche Diskussion um die Grundlagen der Mathematik tritt erst in der Analysis auf:

Reelle Zahlen lassen sich auf der Konvergenztheorie für rationale Zahlen aufbauend als Äquivalenzklassen einer geeignet gewählten Äquivalenzrelation auf den rationalen Cauchyfolgen definieren. Eine irrationale Zahl ist dann also, ähnlich wie die ihnen zugrunde liegenden rationalen Zahlen, eine Menge.

Beispiel:

$a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}$

Die Folge $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ hat als rationale Zahlenfolge keinen Grenzwert. Sie ist aber eine Cauchyfolge. Die Menge der zu $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ äquivalenten rationalen Cauchyfolgen, $\left[\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }\right]$, wird mit dem Symbol ${\sqrt {2}}$ bezeichnet, erst einmal ohne dass die Wurzel eine Bedeutung hätte. Für Äquivalenzklassen werden dann die Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ eingeführt und es zeigt sich, dass tatsächlich ${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}=\left[2\right]$ gilt.

So lassen sich als Grundlage für eine konstruktivistische Analysis alle nötigen reellen Zahlen bestimmen. Da eine Menge mit ausschließlich konstruierten reellen Zahlen nie alle reellen Zahlen enthalten kann, betrachten Konstruktivisten immer nur konstruierbare Teilmengen der Menge aller reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder benutzen indefinite Quantoren (das Wort alle wird dann nicht wie in der konstruktiven Logik benutzt) zur Bestimmung von $\mathbb {R}$.

Da jede Konstruktionsanweisung eine endliche Folge von Anweisungen aus einer endlichen Menge $\Sigma$ ist, gibt es eine bijektive Funktion $f\colon \Sigma ^{*}\rightarrow \mathbb {N}$. (Dabei ist $\Sigma ^{*}$ die Menge aller Wörter über $\Sigma$.) Also sind diese konstruktivistischen Mengen reeller Zahlen abzählbar. Aus Cantors Diagonalbeweis folgt, dass die jeweilige Menge konstruktivistisch-reeller Zahlen eine niedrigere Kardinalität hat als die Menge aller reellen Zahlen und somit eine echte Teilmenge von ihr ist. Konstruktivisten vertreten den Standpunkt, dass man nur konstruierbare reelle Zahlen für Anwendungen braucht, und fassen die cantorschen Diagonalargumente als Konstruktionsvorschrift auf, Mengen reeller Zahlen abzählbar zu erweitern.

Siehe auch

• Berechenbare Zahl
• Ultrafinitismus
• Erlanger Konstruktivismus

Schriften konstruktiver Mathematiker

• du Bois-Reymond, Paul: Allgemeine Functionentheorie. Tübingen 1882
• Beeson, Michael: Foundations of Constructive Mathematics. Springer-Verlag, Heidelberg 1985
• Bishop, Errett: Foundations of Constructive Analysis. McGraw-Hill, New York 1967
• Bridges, D., and Richman, F.: Varieties of Constructive Mathematics. London Math. Soc. Lecture Notes 97, Cambridge: Cambridge University Press 1987.
• Kronecker, Leopold: Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale. Hrsg: Netto, Eugen, Leipzig Teubner 1894
• Martin-Löf, P.: Notes on Constructive Analysis. Almquist & Wixsell, Stockholm 1968.
• Lorenzen, Paul: Maß und Integral in der konstruktiven Analysis. Mathematische Zeitung 54: 275
• Lorenzen, Paul: Einführung in die operative Logik und Mathematik. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1955
• Lorenzen, Paul: Metamathematik. Mannheim 1962
• Lorenzen, Paul: Differential und Integral. Eine konstruktive Einführung in die klassische Analysis. Frankfurt 1965
• Lorenzen, Paul: Konstruktive Wissenschaftstheorie. Frankfurt 1974
• Lorenzen, Paul: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. Zürich 1987, Stuttgart 2000 ISBN 3-476-01784-2
• Lorenzen, Paul: Elementargeometrie als Fundament der Analytischen Geometrie. Mannheim/Zürich/Wien 1983, ISBN 3-411-00400-2
• Zahn, Peter: Ein konstruktiver Weg zur Masstheorie und Funktionalanalysis. (Broschiert) 1978, ISBN 3534077679

Literatur

• J. J. O’Connor und E. F. Robertson: Errett Albert Bishop. MacTutor History of Mathematics. November 2004
• Konstruktivismus. In: Serres, Michel; Nayla Farouki: Thesaurus der exakten Wissenschaften. Zweitausendeins, Frankfurt am Main 2001, 508–509
• Eric Schechter: Constructivism is difficult (PDF; 74 kB). American Mathematical Monthly 108 (2001), 50–54
• Solomon Feferman: Relationships between Constructive, Predicative and Classical Systems of Analysis (PDF; 199 kB), ibid., 221–236

Weblinks

• Douglas Bridges: „Constructive Mathematics“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Maarten McKubre-Jordens: Constructive Mathematics in der Internet Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Der Mengenbegriff in den Mathematiken – Diskussion der klassischen und konstruktivistischen Standpunkte (PDF-Datei; 173 kB)