Kondition (Mathematik)

In der numerischen Mathematik beschreibt man mit der Kondition die Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten. Die Konditionszahl stellt ein Maß für diese Abhängigkeit dar; sie beschreibt den Faktor, um den der Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt wird. Sie ist unabhängig von konkreten Lösungsverfahren, aber abhängig vom mathematischen Problem.

Einleitung

In der Numerik unterscheidet man zwischen den drei Größen eines Verfahrens: Kondition, Stabilität und Konsistenz, die untereinander stark verwandt sind. Die Beziehung zwischen Kondition eines Problems und Stabilität lässt sich wie folgt modellieren:

Es sei $f\colon \mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{m}$ das mathematische Problem in Abhängigkeit von der Eingabe $x$, und es sei ${\tilde {f}}$ der numerische Algorithmus sowie ${\tilde {x}}$ die gestörten Eingabedaten. So möchte man den folgenden Fehler abschätzen:

$\|f(x)-{\tilde {f}}({\tilde {x}})\|$.

Mit der Dreiecksungleichung gilt:

$\|f(x)-{\tilde {f}}({\tilde {x}})\|=\|f(x)-f({\tilde {x}})+f({\tilde {x}})-{\tilde {f}}({\tilde {x}})\|\leq \|f(x)-f({\tilde {x}})\|+\|f({\tilde {x}})-{\tilde {f}}({\tilde {x}})\|.$

Hierbei bezeichnet man mit $\|f(x)-f({\tilde {x}})\|$ die Kondition des Problems und mit $\|f({\tilde {x}})-{\tilde {f}}({\tilde {x}})\|$ die Stabilität. Man spricht dann davon, dass Kondition die Eigenschaft des Problems und Stabilität die Eigenschaft des Algorithmus ist.

Absolute Kondition

Die absolute Kondition $\kappa _{\text{abs}}$ ist definiert als

$\limsup _{x\to x_{0}}{\frac {\Vert f(x)-f(x_{0})\Vert }{\Vert x-x_{0}\Vert }}.$

Also ist die absolute Kondition $\kappa _{\text{abs}}$ genau die kleinste Zahl, für die gilt:

$\exists \delta >0\colon \Vert f(x)-f(x_{0})\Vert \leq \kappa _{\text{abs}}\Vert x-x_{0}\Vert \qquad \forall x\quad {\text{ mit }}\quad \Vert x-x_{0}\Vert <\delta .$

Relative Kondition

Die relative Kondition wird definiert als kleinste Zahl $\kappa _{\text{rel}}\geq 0$ mit der Eigenschaft: Es gibt ein $\delta >0$, so dass für alle $\varepsilon$ mit $0<{\|\varepsilon \|}<\delta$ die Ungleichung

${{\|f(x)-f(x+\varepsilon )\|} \over {\|f(x)\|}}\leq \kappa _{\text{rel}}{{\|\varepsilon \|} \over {\|x\|}}$

gilt.

Dabei ist ${{\|f(x)-f(x+\varepsilon )\|} \over {\|f(x)\|}}$ die relative Änderung des Funktionswertes und ${{\|\varepsilon \|} \over {\|x\|}}$ die relative Änderung der Eingabedaten. Diese Definition lässt sich auch schreiben als

$\kappa _{\text{rel}}=\limsup _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\|f(x)-f(x+\varepsilon )\|}{\|\varepsilon \|}}\cdot {\frac {\|x\|}{\|f(x)\|}}$,

also folgt für eine in $x$ differenzierbare Funktion

$\kappa _{\text{rel}}={{\|{{d} \over {dx}}f(x)\|\|x\|} \over {\|f(x)\|}}$.

Herleitung der relativen Konditionszahl aus der Taylorreihe

Lässt man für eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ in der Taylorreihe Terme höherer Ordnung unberücksichtigt, so ergibt sich

$f({\tilde {x}})=f(x)+f'(x)({\tilde {x}}-x)$,

folglich

$f({\tilde {x}})-f(x)=f'(x)({\tilde {x}}-x).$

Hierbei stellt $f({\tilde {x}})-f(x)$ den absoluten Fehler in der Ausgabe dar. Durch Division durch $f(x)$ ergibt sich sofort der relative Ausgabefehler:

${\frac {f({\tilde {x}})-f(x)}{f(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}({\tilde {x}}-x).$

Um den relativen Fehler in der Eingabe auf der rechten Seite sichtbar zu machen, wird nun noch mit $x$ erweitert:

$\left|{\frac {f({\tilde {x}})-f(x)}{f(x)}}\right|=\left|{\frac {f'(x)}{f(x)}}x\right|\cdot \left|{\frac {({\tilde {x}}-x)}{x}}\right|.$

Somit ist alleine aus der Taylorreihe ersichtlich, dass die Fehlerverstärkung durch

$\kappa _{\text{rel}}=\left|{\frac {f'(x)}{f(x)}}x\right|$

in guter Näherung (Terme höherer Ordnung wurden vernachlässigt!) beschrieben ist.

Kondition von linearen Abbildungen

Die Kondition von linearen Abbildungen lässt sich mithilfe der relativen Kondition herleiten. Setzt man für $f(x)$ in obiger Definition die Funktion $f(x)=Ax$ ein, so gilt:

${\frac {\|Ax-A{\tilde {x}}\|}{\|Ax\|}}\leq {\frac {\max _{\|{\hat {x}}\|=1}\|A{\hat {x}}\|}{\min _{\|{\hat {x}}\|=1}\|A{\hat {x}}\|}}\cdot {\frac {\|x-{\tilde {x}}\|}{\|x\|}}$.

Damit ist die Kondition von Matrizen abgeschätzt durch die größtmögliche Verzerrung der Einheitskugel:

$\kappa (A)\leq {\frac {{\max _{\|x\|=1}}\|Ax\|}{{\min _{\|x\|=1}}\|Ax\|}}$.

Ist der Kern der Matrix nicht trivial, d. h. gibt es vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden, dann ist $\kappa =\infty$. Umgekehrt kann man zeigen, dass für reguläre Matrizen unter Verwendung der natürlichen Matrixnorm

$\kappa (A)=\|A\|\|A^{-1}\|$

gilt.

Außerdem lässt sich die Kondition normaler Matrizen bezüglich der Spektralnorm aus dem Verhältnis des betragsmäßig größten zum betragsmäßig kleinsten Eigenwert der Matrix berechnen:

$\kappa (A)=\left|{\frac {\lambda _{\text{max}}(A)}{\lambda _{\text{min}}(A)}}\right|$.

Interpretation und Ausblick

Ist die Konditionszahl $\kappa$ deutlich größer als 1, spricht man von einem schlecht konditionierten Problem, sonst von einem gut konditionierten Problem, und ist die Konditionszahl unendlich, so handelt es sich um ein schlecht gestelltes Problem.

Die Bedeutung der Kondition wird deutlich, wenn man sich den Unterschied zwischen den realen Eingangsdaten (beispielsweise reelle Zahlen) und den tatsächlichen Eingangsdaten in Form von Maschinenzahlen klarmacht. Es liegen also einem Computerprogramm stets bereits verfälschte Daten vor. Das Computerprogramm sollte nun ein brauchbares Ergebnis liefern. Wenn aber das Problem bereits schlecht konditioniert ist, darf man nicht erwarten, dass der Algorithmus brauchbare Ergebnisse liefert.

Hat ein gegebenes Problem eine schlechte Kondition, so ist es in manchen Fällen möglich, es umzuformulieren. So erreicht man bei Matrizen durch geschickte Zeilenvertauschung eine bessere Gesamt-Kondition (hierbei wird die Kondition der Matrix an sich nicht verändert). Die äquivalente Umformulierung eines Problems mit dem Ziel der Konditionsverbesserung nennt man Vorkonditionierung. Zum Testen numerischer Verfahren an Matrizen mit besonders schlechter Kondition eignen sich die Hilbert-Matrizen.

Bei physikalischen Problemen wird die Kondition oft dadurch verbessert, dass die eingehenden Zahlenwerte auf gut verarbeitbare Zahlenwerte normiert (also skaliert) werden.

Beispiele

Multiplikation

Multiplikation: $x_{1}\cdot x_{2}$

Die Multiplikation ist eine Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ gegeben durch

$f(a,b)=a\cdot b$.

Die partiellen Ableitungen nach $a$, $b$ führen zu ${\frac {df}{d(a,b)}}=\left({\frac {df}{da}},{\frac {df}{db}}\right)=(b,a)$. Damit ergibt sich für die Kondition der Multiplikation nach obiger Formel in der 2-Norm

$\kappa _{\text{rel}}={{\|{{d} \over {d(a,b)}}f(a,b)\|_{2}\cdot \|(a,b)\|_{2}} \over {|f(a,b)|}}={\frac {\left\|f'(a,b)\right\|_{2}\cdot \left\|(a,b)\right\|_{2}}{\left|f(a,b)\right|}}={\frac {{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\left|ab\right|}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{\left|ab\right|}}$

Ist das Vorzeichen von $ab$ bekannt, so kann man mit einer quadratischen Ergänzung den Ausdruck in die Form

${\frac {(a+b)^{2}}{|ab|}}\pm 2$

bringen, aus dem man die Größenordnung der Kondition ablesen kann: Gilt $a\approx b$, so ist die Multiplikation gut konditioniert. Bei unterschiedlichen Größenordnungen von $a$ und $b$ kann die Kondition allerdings sehr groß werden: Beispielsweise für $a=10^{10}$ und $b=10^{-10}$ ergibt sich $\kappa _{\text{rel}}\approx 10^{20}$.

Addition

Addition: $x_{1}+x_{2}$

Die Addition ist eine Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ gegeben durch

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}$.

Dafür ergibt sich:

$\kappa _{\text{rel}}:={\frac {\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|}{\left|x_{1}+x_{2}\right|}}$

Die Addition als auch die Subtraktion ist daher für kleine Nenner $\left|x_{1}+x_{2}\right|\approx 0$ sehr schlecht konditioniert. In diesem Fall spricht man von Auslöschung. Dies tritt bei der Addition zweier etwa gleich großer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen auf – wenn man dies als Subtraktion verstehen möchte, dann bedeutet dies die Subtraktion bei Zahlen gleichen Vorzeichens und in etwa gleicher Größe.

Literatur

• Deuflhard, Hohmann: Numerische Mathematik I. 3. Auflage. Gruyter, 2002, ISBN 978-3110171822.