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Janssen-Gleichung

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Mit der Janssen-Gleichung (nach H. A. Janssen, 1895) können die Spannungen in einem Silo beschrieben werden.

Die Janssen-Gleichung[1] beschreibt das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung, sie ist eine Spezialfall der allgemeinen Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts unter Berücksichtigung der Silowand. Für ein scheibenförmiges Volumelement der Höhe dz, das den gesamten Querschnitt A des Silos mit Umfang U überspannt, gilt

A \cdot \sigma_v + g \cdot \rho_b \cdot A \cdot dz = A \left( \sigma_v + d\sigma_v \right) +\tau_w\cdot U \cdot dz,

wobei \sigma_v die vertikale Spannung, \rho_{\rm b} die mittlere Dichte des Schüttgutes, g die Fallbeschleunigung und \tau_{\rm w} die Wandschubspannung bezeichnen. Der Gewichtskraft des Schüttgutes in der Scheibe (zweiter Term auf der linken Seite) wirken der Unterschied der Spannungen (Druckgradient) auf der Ober- und Unterseite der Scheibe (die ersten Terme auf beiden Seiten), sowie die durch die Silowand ausgeübte Schubkraft entgegen.

Die Janssen-Gleichung kann einfach in eine gewöhnliche Differentialgleichung umgeformt werden, ihre Lösung \sigma_v als Funktion der Höhe z kann durch Wahl von geeigneten Rand- und Anfangsbedingungen gefunden werden.

Literatur

  1. Janssen, H.A.: Versuche über Getreidedruck in Silozellen, Z. Ver. Dt. Ing. 39 (1895), S. 1045–1049 (PDF (Memento vom 3. März 2011 im Internet Archive), archiv.org (Memento vom 3. März 2011 im Internet Archive))

Weblinks


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