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Inkompressibilität

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Datei:Incompressible flow.png
Mögliche Verformung eines Volumenelements eines inkompressiblen Stoffes

Inkompressibilität bezeichnet die Eigenschaft eines Stoffes, unter Druckeinwirkung bei konstanter Temperatur sein Volumen nicht zu ändern, sich also nicht komprimieren zu lassen:

\left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T = 0

Das Volumen besteht hierbei aus immer derselben Anzahl von Teilchen (d. h. die Masse bleibt konstant).

Völlige Inkompressibilität kommt in der Realität nicht vor, alle realen Materialien sind kompressibel, wenn auch z. T. in nur sehr geringem Maße. Dazu wird meist als Größe angegeben:

Inkompressibilität steht also für die Näherung einer unendlich geringen Kompressibilität bzw. eines unendlich hohen Kompressionsmoduls. Gummi wird häufig als inkompressibel betrachtet, weil sein Kompressionsmodul sehr groß ist im Vergleich zu seinem Schermodul.

Gegenüber Gasen werden Flüssigkeiten und Festkörper oft als inkompressibel betrachtet. Die meisten Flüssigkeiten haben nämlich bei Normaldruck eine um den Faktor 1000 bis 10.000 geringere Kompressibilität als Gase, und Festkörper sind meist noch zehnmal weniger kompressibel.

Inkompressible Körper erfahren durch eine Druckänderung zwar keine Volumenänderung, können jedoch eine Gestaltänderung erfahren.

In der Hydrodynamik wird für die Inkompressibilität – unter Annahme einer inkompressiblen Flüssigkeit – folgende vereinfachte mathematische Formulierung verwendet:

\begin{align}
\vec \nabla \cdot \vec v & = 0\\
\Leftrightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} & = 0   \qquad \qquad (1)
\end{align}

Dabei ist \vec v = (v_x,v_y,v_z) die Strömungsgeschwindigkeit.

Diese Beziehung nennt man Divergenzfreiheit, da \vec \nabla \cdot \vec v die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit darstellt.

Das Bild versucht diesen Zusammenhang zu verdeutlichen: Z. B. bewirkt eine beidseitige horizontale Strömung mit den Geschwindigkeitskomponenten v_x und v_y in das Volumenelement hinein eine gleichzeitige vertikale Strömung mit der Geschwindigkeitskomponente v_z aus dem Volumenelement hinaus.

Gleichung (1) wurde hergeleitet mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

{\partial \rho \over \partial t}
  = - \nabla \cdot ( \rho \vec v )
  = - \vec v \cdot \nabla \rho - \rho \nabla \cdot \vec v  \qquad \qquad  (2)

Für inkompressible Strömung bedeutet die Definition für ein Teilchen, dass sich seine Dichte nicht ändert:

\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\rho(t,\mathbf x(t))
  = {\partial \rho \over \partial t} + \vec v \cdot \nabla \rho
  = 0  \qquad \qquad (3)

Der Vergleich von (2) und (3) führt unmittelbar zu Gleichung (1).

Weblinks


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