Infinitesimal

Der mathematische Begriff »infinitesimal« bedeutet »ins unendlich Kleine gehend«.^[1] Dabei ist »klein« im Blick auf den Betrag zu verstehen. Nähert sich eine stetige reelle Variable oder Größe einem Grenzwert infinitesimal an, so wird der Betrag der Differenz zwischen variablem und festem Wert unendlich klein. Er geht gegen null, ist aber nicht identisch null.

Seine Hauptbedeutung hat der Begriff im Zusammenhang mit der Infinitesimalrechnung und der darauf aufbauenden Darstellung unzählig vieler physikalischer Gesetze. Der Umgang mit infinitesimal kleinen Größen wie $\mathrm {d} x$ hat historisch zu Problemen geführt, die durch den rigorosen Aufbau der Analysis behoben wurden. Wenn man sagt, ein Körper der Geschwindigkeit $v$ lege in der infinitesimalen Zeit $\mathrm {d} t$ die Strecke $\mathrm {d} x=v\mathrm {d} t$ zurück, so ist gemeint, dass der Aufenthaltsort $x$ eine Funktion der Zeit $t$ ist, deren Ableitung an einer betrachteten Stelle gerade $v$ ist, das heißt $v={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ , und das ist nichts weiter als die Definition der Momentangeschwindigkeit. Die Schreibweise suggeriert, dass man die Gleichung $\mathrm {d} x=v\mathrm {d} t$ mittels Division durch $\mathrm {d} t$ nach $v$ aufgelöst habe. Solange klar bleibt, welche Grenzprozesse dahinterstecken, treten keine Probleme auf.