Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar, auch 2-Tupel genannt, ist in der Mathematik eine wichtige Art und Weise, zwei nicht notwendigerweise voneinander verschiedene mathematische Objekte zusammenzufassen. Dabei ist eines der beiden Objekte ausgezeichnet und wird die linke, erste oder vordere Komponente des Paares genannt, während das andere Objekt rechte, zweite oder hintere Komponente des Paares heißt. Notiert wird ein geordnetes Paar, indem man seine Komponenten, von einem Komma getrennt, hintereinander schreibt, die linke zuerst, und das Ganze in ein geeignetes Klammerpaar, meist dem runden, einschließt. Geordnete Paare stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt und sind die Basisbausteine vieler komplexerer mathematischer Objekte.

Gleichheit geordneter Paare

Der Begriff des geordneten Paares ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert:

Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind.

Als Formel lässt sich das Paaraxiom folgendermaßen ausdrücken:

$(a,b)=(c,d)\iff a=c~{\text{und}}~b=d$.

Darstellung geordneter Paare als Mengen

In der Literatur finden sich unter anderen für das geordnete Paar $(a,b)$ folgende Darstellungen als Mengen:

• $\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{b\}\}$, zum Tupel-Begriff generalisierbare Darstellung

• $\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{\{b\}\}\}$, nach Norbert Wiener (1914)

• $\{\{a\},\{a,b\}\}$, gängigste Darstellung nach Kazimierz Kuratowski (1921). Eine Variante gibt die Definition $(a,b):=\{\{b\},\{a,b\}\}$

• $\{a,\{a,b\}\}$, so genannte kurze Darstellung

• $\{\{a,{\boldsymbol {1}}\},\{b,{\boldsymbol {2}}\}\}$, wobei ${\boldsymbol {1}}$ und ${\boldsymbol {2}}$ voneinander verschiedene Objekte sind, beide auch verschieden von $a$ und $b$, nach Felix Hausdorff (1914)

• $\{\{\{x\}\}\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in a\}\;{\boldsymbol {\cup }}\;\{\{\emptyset ,\{x\}\}\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in b\}$, nach Jürgen Schmidt (1966) in Anlehnung an Quine; $a,b$ können hier auch echte Klassen sein.

Verwendung geordneter Paare

Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden

• in der Mengenlehre kartesische Produkte, Relationen, Funktionen, Folgen, als Mengen geordneter Paare definiert,
• in der Analysis komplexe Zahlen als geordnete Paare mit reellen Zahlen als Komponenten, reelle Zahlen als Mengen (Äquivalenzklassen) unendlicher Folgen (Cauchy-Folgen rationaler Zahlen), rationale Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten ganze Zahlen sind, ganze Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten natürliche Zahlen sind, definiert,
• in der Algebra die algebraischen Strukturen, zum Beispiel Gruppen, Ringe, Körper im Wesentlichen als Funktionen (binäre Verknüpfungen) definiert.

Literatur

• Felix Hausdorff: Gesammelte Werke. Band 2: Grundzüge der Mengenlehre. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42224-2.
• Herbert B. Enderton: Elements of Set Theory. Academic Press, New York 1977, ISBN 0-12-238440-7.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. 2. verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u.a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Geordnetes Paar – Lern- und Lehrmaterialien