Jewiki unterstützen. Jewiki, die größte Online-Enzyklopädie zum Judentum.

Helfen Sie Jewiki mit einer kleinen oder auch größeren Spende. Einmalig oder regelmäßig, damit die Zukunft von Jewiki gesichert bleibt ...

Vielen Dank für Ihr Engagement! (→ Spendenkonten)

Gammaverteilung

Aus Jewiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

Definition

Die Gammaverteilung ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter und . Der Parameter ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter ist ein Formparameter. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird und gefordert.

Der Vorfaktor dient der korrekten Normierung; der Ausdruck steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion

wobei die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit und findet man auch häufig

oder

ist die Umkehrung eines Skalierparameters und ist der Skalierparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise beziehungsweise ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert und Varianz zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

Die Dichte besitzt für an der Stelle ihr Maximum und für an den Stellen

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen und , die beide gammaverteilt sind mit den Parametern und bzw. , ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern und .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

Entropie

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

wobei die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind und unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe gammaverteilt, und zwar

Allgemein gilt: Sind stochastisch unabhängig dann ist

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn und unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern bzw. , dann ist die Größe betaverteilt mit Parametern und , kurz

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter und Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern und und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des -ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter , so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter .
  • Die Faltung von Exponentialverteilungen mit demselben ergibt eine Gamma-Verteilung mit .

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist Gamma-verteilt, dann ist Log-Gamma-verteilt.

Literatur

  • Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
  • Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9

Weblinks

Vorlage:Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen


Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Gammaverteilung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar.