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Freier Fall

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Eine Beschreibung des Musikalbums findet sich unter Freier Fall (Album).
Datei:Falling ball.jpg
Berechenbarkeit beim freien Fall: Aufgenommen sind 20 Bilder pro Sekunde. Während der ersten 1/20 Sekunde durchfällt der Ball »eine Längeneinheit« (in diesem Beispiel etwa 12 mm); innerhalb von 2/20 Sekunden vier Längeneinheiten; innerhalb von 3/20 Sekunden dann neun Längeneinheiten und so weiter.

Als freier Fall ist die allein durch das Schwerefeld der Erde bewirkte beschleunigte Bewegung eines Körpers definiert. Der Einfluss eines umgebenden Mediums (wie etwa der Luftwiderstand) ist also nicht vorhanden oder er kann zumindest vernachlässigt werden. Während des freien Falls befindet sich der Körper im Zustand der Schwerelosigkeit.

Im Vakuum eines Fallturms kann der freie Fall für nicht zu große Objekte für wenige Sekunden realisiert werden. Einen längeren Fall mit Luftwiderstand kann ein Mensch beispielsweise beim Fallschirm- oder Bungee-Springen erfahren. Bei einem solchen realen Fall handelt es sich im Gegensatz zum freien Fall nicht um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Geschichte

Datei:Apollo 15 feather and hammer drop.ogg
Demonstration des freien Falls auf dem Mond (Feder und Hammer werden fallen gelassen durch David Scott, Apollo 15)

Der griechische Philosoph Aristoteles (384–322 v. Chr.) beschäftigte sich mit der Bewegung von Körpern. Nach seiner Meinung bewegten sich im Wasser schwere Körper nach unten, leichte wegen „ihrer Leichtigkeit“ nach oben. Schwere Körper müssten daher schneller zu Boden fallen als weniger schwere. Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) widerlegte 1554 in seinem Werk Demonstratio proportionum motuum localium contra Aristotilem et omnes philosophos in einem simplen Gedankenexperiment diese Annahme: Zwei gleiche Kugeln, die durch eine (masselose) Stange fest verbunden werden, fallen mit derselben Geschwindigkeit wie jede der beiden Kugeln allein.

Auch war Aristoteles der Meinung, ein Körper bewege sich während des Falles mit gleich bleibender Geschwindigkeit. Diese Auffassungen wurden sowohl bei den spätantiken Gelehrten als auch bei den arabischen und denen der Scholastik nicht ernsthaft in Zweifel gezogen. Galileo Galilei (1564–1642) erkannte 1590 die Gesetze des freien Falls: Alle Körper fallen im Vakuum unabhängig von ihrer Gestalt, Zusammensetzung und Masse gleich schnell. Ihre Fallgeschwindigkeit ist proportional zur Fallzeit, der Fallweg proportional zum Quadrat der Fallzeit. Die Beschleunigung ist dabei am selben Ort für alle Körper gleich groß. Er versuchte durch Experimente die Schwerebeschleunigung festzustellen. Er hatte jedoch noch keinen genauen Zeitmesser und „verlangsamte“ deshalb die Bewegungen, indem er eine Kugel eine sogenannte Fallrinne hinab rollen ließ. Als Zeitmesser diente ein Eimer voll Wasser. Ein kleiner Wasserstrahl ergoss sich in einen Becher, und die Wassermenge während der Fallzeit wurde auf einer genauen Waage gewogen. Dass er den freien Fall auch dadurch untersuchte, dass er zwei Objekte vom Turm zu Pisa fallen ließ, ist eine Legende.

Allerdings beschrieb der römische Dichter und Philosoph Lukrez schon ca. 55 v. Chr. in seinem Werk „De rerum natura“ („Über die Natur der Dinge“), dass fallende Objekte nur vom Wasser- oder Luftwiderstand gebremst werden, und daher leichte Körper langsamer, im Vakuum aber alle Körper gleich schnell fallen müssen:[1]

Wer nun etwa vermeint, die schwereren Körper, die senkrecht
Rascher im Leeren versinken, vermöchten von oben zu fallen
Auf die leichteren Körper und dadurch die Stöße bewirken,
Die zu erregen vermögen die schöpferisch tätigen Kräfte:
Der entfernt sich gar weit von dem richtigen Wege der Wahrheit.
Denn was immer im Wasser herabfällt oder im Luftreich,
Muß, je schwerer es ist, um so mehr sein Fallen beeilen,
Deshalb, weil die Natur des Gewässers und leichteren Luftreichs
Nicht in der nämlichen Weise den Fall zu verzögern imstand ist,
Sondern im Kampfe besiegt vor dem Schwereren schneller zurückweicht:
Dahingegen vermöchte das Leere sich niemals und nirgends
Wider irgendein Ding als Halt entgegenzustellen,
Sondern es weicht ihm beständig, wie seine Natur es erfordert.
Deshalb müssen die Körper mit gleicher Geschwindigkeit alle
Trotz ungleichem Gewicht durch das ruhende Leere sich stürzen (...)

Erst Robert Boyle bestätigte 1659 experimentell, dass Körper unterschiedlicher Masse im Vakuum gleich schnell fallen.

Isaac Newton formulierte dann das Gravitationsgesetz, welches nicht nur den freien Fall auf der Erde erklärt, sondern auch die Umlaufbahnen von Mond und Planeten als Fallphänomene beschreibt. Seine Theorie hat jedoch keine Erklärung für die Tatsache, dass alle Körper unabhängig von ihrer stofflichen und sonstigen Beschaffenheit völlig gleich fallen. Dies wurde erst im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie verständlich.

Die allgemeine Formel für den freien Fall lautet (falls der Körper in der Höhe h_0 ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird, ohne Berücksichtigung der Luftreibung):

h(t) = h_0-\frac{1}{2}gt^2

wobei h die Höhe des Körpers zur Zeit t bezeichnet, h_0 die Ausgangshöhe und g die Fallbeschleunigung. (Das Minuszeichen bezieht sich auf die Richtung der Fallbewegung des Körpers.) Die Strecke s, die der Körper fallend zurückgelegt hat, ist demnach

s(t)=|h(t)-h_0|=\frac{1}{2}gt^2

Erdnaher realer Fall

Auf der Erdoberfläche schwankt der Betrag der Fallbeschleunigung wegen der Erdabplattung und der Erdrotation in Meereshöhe zwischen 9,78\;\text{m}/\text{s}^2 am Äquator und 9,83 \;\text{m}/\text{s}^2 an den Polen. Zusätzlich ist sie von der Höhe über Normalnull abhängig (siehe auch: Ortsfaktor). Die „Normal-Fallbeschleunigung“ legt DIN 1305 als g = 9,80665 \;\text{m}/\text{s}^2 fest. Bei weniger hohen Anforderungen an die Genauigkeit wird für die Erdbeschleunigung wird meist der Wert g = 9,8 \;\text{m}/\text{s}^2 gewählt.

Beim freien Fall in Erdnähe würde die Geschwindigkeit v eines fallenden Körpers - bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes - um 9,81 m/s pro Sekunde steigen. Dann wäre der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ein Fallschirmspringer, der sich aus einem stationären Ballon fallen lässt, wird zunächst immer schneller, seine Geschwindigkeit nimmt stetig zu. Seine Beschleunigung entspricht dabei zunächst etwa der Erdbeschleunigung und ist somit größer als die eines Autos: Nach einer Sekunde hat er theoretisch eine Geschwindigkeit von v = 9,81 m/s (zirka 35 km/h), nach zwei Sekunden 19,62 m/s (etwa 71 km/h), nach drei Sekunden 29,43 m/s (rund 106 km/h). In einem echten freien Fall, d. h. im Vakuum, würde die Geschwindigkeit linear weiter entsprechend ansteigen.

Tatsächlich wirkt auf den Fallschirmspringer jedoch auch der Luftwiderstand, welcher quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt. Die resultierende Beschleunigung entspricht daher nur am Anfang der Erdbeschleunigung, nachher nimmt sie ab, bis nach etwa sieben Sekunden die Beschleunigung Null wird — der Fallschirmspringer fällt nun mit der Fallgrenzgeschwindigkeit des menschlichen Körpers von ca. 55 m/s (ca. 198 km/h). Diese Geschwindigkeit ist allerdings nicht die maximal erreichbare Geschwindigkeit, sondern diejenige, die bei Einnahme der stabilen, quer zum Fall ausgerichteten Lage mit gespreizten Armen und Beinen erreicht wird. In einer geraden, senkrechten Haltung mit dem Kopf voran ist der Luftwiderstand deutlich geringer und es werden Geschwindigkeiten knapp über 500 km/h erreicht.

Wenn der Fallschirmsprung aus sehr großer Höhe erfolgt, dann kann bei einem solchen Stratosphärensprung wegen der dort geringeren Luftdichte eine größere Geschwindigkeit erreicht werden. Der Testpilot Joseph Kittinger erreichte am 16. August 1960 im Rahmen des Projekt Excelsior nach Absprung aus gut 30 km eine maximale Geschwindigkeit von etwa 990 km/h.[2] Das überbot Felix Baumgartner am 14. Oktober 2012, der nach einem Sprung aus gut 39 km eine Maximalgeschwindigkeit von etwa 1342 km/h (Mach 1,24) erreicht hat und damit „schneller als der Schall“ war.[3]

Parabelflüge

Hauptartikel: Parabelflug

Auch beim Parabelflug eines Flugzeugs spricht man vom freien Fall. Hier wird der Luftwiderstand des Flugzeugs durch Triebwerksschub kompensiert. Solange das Flugzeug einer Wurfparabel folgt, herrscht annähernd Schwerelosigkeit.[4]

Berechnung mit Differentialgleichungen

Der freie Fall betrachtet den Fall eines Körpers in einem Schwerefeld ohne Einfluss eines umgebenden Mediums bzw. Atmosphäre. Dies ist bei geringen Geschwindigkeiten häufig eine vernünftige Näherung. Soll die Beschleunigung jedoch exakt ermittelt werden, muss der Auftrieb, die Stokes-Reibung und Newton-Reibung berücksichtigt werden.

Freier Fall (ohne Reibung)

Datei:Freier Fall 0.svg
Kräfte am fallenden Körper ohne Reibung

Die Differentialgleichung für den freien Fall eines Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands folgt aus den Bewegungsgleichungen (2. Newtonsches Axiom):

m\ddot z = -mg

Dabei bezeichnet z(t) die momentane Höhe, z_0 die Anfangshöhe und v_0 die Anfangsgeschwindigkeit. Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass z(t) in senkrechte Richtung zeigt und nach oben größer wird.

Durch Integration erhält man

v(t) = \dot z(t) = v_0 - g t

mit der Integrationskonstante v_0 als Anfangsgeschwindigkeit. Nochmalige Integration ergibt

z(t)= -\frac{1}{2}g t^2 + v_0 t + z_0.

Fall mit Auftrieb

Siehe auch: Auftrieb

Das umgebende Medium wirkt mit einer Kraft auf den Körper, die der Gewichtskraft der Masse des verdrängten Mediums entspricht und dieser entgegengesetzt gerichtet ist. Der Auftrieb ist vernachlässigbar, wenn das Verhältnis \rho_\mathrm{K\ddot orper}/\rho_\mathrm{Medium}\gg1 gilt, wobei \rho die Dichte ist.

Beispielsweise lässt sich der Auftrieb von Luftballons in der Luft oder von Menschen im Wasser nicht vernachlässigen.

Die Auftriebskraft ist:

F_\mathrm{A} = \rho_0\cdot V\cdot g = \rho_\mathrm{K} \cdot V \cdot \left(\frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g\right) = m \cdot \left(\frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g\right)

wobei V das Volumen des Körpers ist, \rho_\mathrm{K} seine Dichte und \rho_0 die Dichte des verdrängten Mediums. Wir definieren

g_\mathrm{A} := \frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g

als Auftriebsbeschleunigung. Damit erhalten wir für die gesamte Kraft:

F = F_\mathrm{G} + F_\mathrm{A} = -m\cdot g +m\cdot g_\mathrm{A} = -m\cdot(g - g_\mathrm{A}) = -m\cdot\tilde g

wobei

\tilde g:= g-g_\mathrm{A} = \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\right)\cdot g

als angepasste Fallbeschleunigung bezeichnet wird. Die Lösung für diese Differentialgleichung ist dann analog zum freien Fall:

z(t)=-\frac{1}{2}\tilde g t^2 + v_0 t + z_0

Zu beachten ist, dass \tilde g auch negativ sein kann, falls \rho_\mathrm{K}<\rho_0.

Fall mit Stokes-Reibung

Datei:Freier Fall 1.svg
Kräfte am fallenden Körper mit Stokes-Reibung
Siehe auch: Stokes-Reibung

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

F_\mathrm{R} = -\beta v

mit einem Reibungskoeffizienten \beta. Die Bewegungsgleichung in z-Richtung (vertikal) lautet daher

m\ddot z = -mg - \beta \dot z

bzw.

m\dot v = -mg - \beta v.

Diese Gleichung führt zu den Ausdrücken

v(t) =  -\frac{mg}{\beta}\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) + v_0 e^{-\beta t/m}

für die Geschwindigkeit und

z(t) =  \left(v_0 + \frac{mg}{\beta}\right)\left(\frac{m}{\beta}\right)\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) - \frac{mg}{\beta}t + z_0

für die Höhe. Sowohl die Geschwindigkeit als auch die zurückgelegte Strecke des fallenden Gegenstands hängen von seiner Masse ab, was der Alltagserfahrung entspricht. Die Grenzgeschwindigkeit, welche sich für einen freien Fall mit Stokes-Reibung einstellen würde, beträgt

\lim_{t \to \infty}v(t) = v_{\infty} = -\frac{mg}{\beta}
Datei:Freier Fall 2.svg
Kräfte am fallenden Körper mit Newton-Reibung

Fall mit Luftwiderstand: Newton-Reibung

Ab einer gewissen kritischen Geschwindigkeit (siehe Reynolds-Zahl) geht die laminare Luftströmung am Körper vorbei in eine turbulente über. Dies führt dazu, dass der Luftwiderstand nun quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt:  F_W = k v^2

Aus der Bewegungsgleichung m \ddot z = -m g + k v^2 für eine Bewegung nach unten (d.h. v<0) folgt die Differentialgleichung

 m \dot v = -m g + k v^2.

Diese Differentialgleichung ist vom Riccatischen Typus und somit bei Kenntnis einer partikulären Lösung analytisch lösbar. Eine partikuläre Lösung entspricht dem stationären Zustand

 v(t\rightarrow\infty) = v_\infty = -\sqrt{mg/k}.

Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit

v(t) = -v_\infty \tanh\left(\frac{g t}{v_\infty} - \operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right) \right)

wobei tanh(x) der Tangens Hyperbolicus, artanh(x) der Areatangens Hyperbolicus und v_0 :=v(t=0) ist und |v_0|<|v_\infty| gelten muss.

Datei:FreierFall.svg
Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm

Der Weg ergibt sich dann direkt als Integral der Geschwindigkeit über der Zeit zu

z(t) = -\frac{v_\infty^2}{g} \ln\Biggl(\sqrt{1-\frac{v_0^2}{v_\infty^2}}\cosh\left(\frac{g t}{v_\infty} - \operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right)\right)\Biggr)+z_0

wobei ln(x) der Logarithmus Naturalis, cosh(x) der Cosinus Hyperbolicus und z_0 :=z(t=0) ist.

Da die Geschwindigkeit quadratisch in die Bewegungsgleichung eingeht, muss der Vorzeichenwechsel bei Bewegungsumkehr im Reibungsterm explizit durch Fallunterscheidung berücksichtigt werden. Die allgemeine Bewegungsgleichung lautet daher

m \ddot z = -m g -\sgn(v) k v^2.

Die Lösungen für Zeiten mit v(t)>0 (momentane Bewegung nach oben) folgen aus obigen Lösungen durch die Substitution k\rightarrow -k. Die Konstante k ist von der Form des Körpers und von der Dichte des strömenden Mediums (etwa der Luft) abhängig. Es gilt:

k = \frac{1}{2} c_\mathrm{w} A \rho,

wobei c_\mathrm{w} der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche und \rho die Dichte des umgebenden Mediums (Luft) ist.

Beispiel: Meteoroid

Datei:MeteorAccGraph.jpg
Bremsbeschleunigung, welche ein in die Erdatmosphäre eindringender Meteoroid erfährt; bei einer höheren Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich auch ein höherer Peak (Spitzenwert).
Datei:MeteorVelocityGraph.jpg
Geschwindigkeitsverlauf des Meteoroiden

Im Folgenden wird angenommen, dass ein kugelförmiger Meteoroid mit dem Querschnitt A und der Masse m in die Erdatmosphäre eindringt und dabei abgebremst wird. Gesucht sind die Geschwindigkeit und Bremsbeschleunigung des Meteoroiden als Funktion der Höhe über dem Erdboden. Die Gravitationsbeschleunigung der Erde wird mit zunehmender Höhe h(t) über der Erdoberfläche kleiner. Es gilt

a_\mathrm{grav} = - g \cdot \left( \frac{r}{r+h(t)} \right)^2,

wobei r den Erdradius bezeichnet. Nach der barometrischen Höhenformel beträgt die Luftdichte in dieser Höhe

 \rho(h) = \rho_0 \cdot e^{-\frac{M g}{R T} h(t)}.

Dabei ist \rho_0 die Luftdichte am Erdboden, M die mittlere molare Masse der Atmosphärengase (0,02896 kg mol−1), R\, die universelle Gaskonstante (8,314 J K−1 mol−1) und T\, die absolute Temperatur. Der Strömungswiderstand der Luft F_L bei der Geschwindigkeit v(t) ist von dieser Dichte abhängig:

F_L = \frac{1}{2} \rho(h) C_w A v^2(t).

Die effektive Beschleunigung auf den Meteoroid der Masse m entspricht der Gravitationsbeschleunigung abzüglich der Bremsbeschleunigung:

a_\mathrm{eff} = \ddot h(t) = a_\mathrm{grav} + \frac{F_L}{m}

Setzen wir die obigen Formeln in diese Gleichung ein, so ergibt sich die Bewegungsgleichung des Meteoroiden:

\ddot h(t) + g\left(\frac{r}{r+h(t)}\right)^2 - \frac{1}{2 m} \rho_0\ \cdot e^{-\frac{M g}{R T} h(t)} C_w A \cdot \dot h^2(t)=0

In den nebenstehenden Diagrammen wurde die Bewegungsgleichung für einen Eisen-Meteoroid mit dem Volumen V = 1 cm³ und der Masse m = 7,874 g numerisch gelöst. Dabei hat der Meteoroid jeweils die Anfangsgeschwindigkeiten v0 1 = 15 km/s, v0 2 = 25 km/s oder v0 3 = 35 km/s. Es stellt sich heraus, dass ein solcher Körper stets im selben Höhenbereich abgebremst wird, wobei eine größere Masse bei gleichbleibender Dichte alle Kurven in den Diagrammen lediglich nach links verschiebt. Da eine Beschleunigung von 1 km/s² etwa der 102-fachen Erdbeschleunigung entspricht, sind schnelle Meteoroiden einer enormen Kraft ausgesetzt, welche diese in Fragmente zerreißt und ob der hohen Reibungswärme verglühen lässt. Das so entstehende Licht macht einen kleinen Teil der Leuchterscheinung einer Sternschnuppe aus.

Einzelnachweise

  1. Text auf Zeno.org
  2. Joseph Kittinger, U.S. Centennial of Flight Commission
  3. Red Bull Stratos: Felix Baumgartner springt in die Geschichtsbücher, redbull.de, 14. Oktober 2012
  4. Rainer Müller: Klassische Mechanik. de Gruyter, 2009 (S. 126 in der Google Buchsuche).

Weblinks


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