Endliche Menge

In der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine endliche Menge eine Menge mit endlich vielen Elementen. So ist beispielsweise die Menge

$M\,=\,\{4,6,2,8\}$

eine endliche Menge mit vier Elementen. Die leere Menge hat per definitionem keine Elemente, d. h. die Anzahl der Elemente (Kardinalität oder Mächtigkeit) ist $0$, sie gilt daher auch als endliche Menge. Die Kardinalität (geschrieben $|M|$ für eine Menge $M$) einer endlichen Menge wird mit einer natürlichen Zahl (unter Einbeziehung der Null) identifiziert, beispielsweise schreibt man dann $|M|=4$, um auszudrücken, dass $M$ aus vier Elementen besteht.

Eine Menge, die nicht endlich ist, wird als unendliche Menge bezeichnet.

Definition

Die durch die roten Pfeile angedeutete Bijektion $f$ zeigt $|M|=|M_{4}|$ und somit die Endlichkeit von $M$

Eine Menge $M$ heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl $n$ gibt, sodass eine Bijektion (eine Eins-zu-eins-Zuordnung)

$f\colon M\rightarrow \{0,\dotsc ,n-1\}$

zwischen $M$ und der Menge aller natürlichen Zahlen kleiner als $n$, $\{m\in \mathbb {N} |m<n\}=\{0,1,2,3,\dotsc ,n-1\}$, existiert.

Insbesondere ist also für $n=0$ die leere Menge endlich, da eine Bijektion zwischen der leeren Menge und der leeren Menge (alle natürlichen Zahlen kleiner als $0$, solche existieren nicht) existiert.

So ist zum Beispiel die Menge

$M\,=\,\{4,6,2,8\}$

endlich, da eine Bijektion zur Menge

$M_{4}\,=\,\{0,1,2,3\}$

existiert, siehe etwa nebenstehende Abbildung.

Für die Menge aller natürlichen Zahlen

$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dotsc \}$

existiert hingegen keine solche Bijektion auf eine endliche Menge, die Menge $\mathbb {N}$ ist daher unendlich.

Grundlegende Eigenschaften endlicher Mengen

• Jede Teilmenge einer endlichen Menge $A$ ist ebenfalls endlich.
• Sind $A,B$ endliche Mengen, so sind auch ihre Vereinigungsmenge $A\cup B$ und ihre Schnittmenge $A\cap B$ endlich.
• Ist $A$ eine endliche Menge, dann ist die Differenzmenge $A\setminus B$ für beliebige Mengen $B$ endlich.
• Andersherum ist $A$ unendlich, und $B$ endlich, so ist $A\setminus B$ unendlich.
• Für die Kardinalität der Vereinigungsmenge $A\cup B$ gilt $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$; sind $A$ und $B$ disjunkt, so hat man $|A{\dot {\cup }}B|=|A|+|B|$.
• Die Potenzmenge einer endlichen Menge hat eine höhere Mächtigkeit als die Menge selbst, ist aber immer noch endlich, es gilt $|P(A)|=2^{|A|}$.
• Das kartesische Produkt endlicher Mengen ist endlich. Seine Mächtigkeit ist höher als die aller beteiligter Faktoren, wenn kein Faktor leer ist und mindestens zwei Faktoren eine Mächtigkeit größer $1$ haben. Für endliche Mengen $A,B$ gilt $|A\times B|=|A|\cdot |B|$.

Dedekind-Endlichkeit

Eine andere Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen stammt von Dedekind. Er definierte:

Eine Menge $M$ heißt endlich, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, anderenfalls unendlich.

Man spricht heute von Dedekind-Endlichkeit bzw. Dedekind-Unendlichkeit.

Um nun zu zeigen, dass jede endliche Menge auch Dedekind-endlich ist, genügt es, Folgendes zu zeigen:

1. Die leere Menge ist zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig.
2. Wenn $M$ zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, dann ist auch $M\cup \{a\}$ zu keiner echten Teilmenge (von sich selbst) gleichmächtig.

(Punkt 1 ist klar, da die leere Menge keine echten Teilmengen hat. Zu Punkt 2 muss man zeigen, dass man aus einer Bijektion $f'$ zwischen der Menge $M':=M\cup \{a\}$ und einer echten Teilmenge $U'$ von $M'$ eine Bijektion $f$ zwischen $M$ und einer echten Teilmenge $U$ gewinnen kann.)

Umgekehrt ist jede Dedekind-endliche Menge $A$ auch endlich, denn wäre $A$ unendlich, so könnte man mit Hilfe des Auswahlaxioms eine Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc$ von paarweise verschiedenen Elementen $a_{n}\in A$ finden. Die Abbildung

$f\colon A\rightarrow A\setminus \{a_{0}\},\quad a\mapsto {\begin{cases}a_{n+1}&,{\mbox{ falls }}a=a_{n}{\mbox{ für ein }}n\\a&,{\mbox{ sonst}}\end{cases}}$

zeigt dann, dass $A$ zur echten Teilmenge $A\setminus \{a_{0}\}$ gleichmächtig und daher nicht Dedekind-endlich ist. Widerspruch!

Erblich endliche Mengen

Eine Menge $A$ heißt erblich endlich, wenn die transitive Hülle endlich ist. Das heißt, dass nicht nur $A$ endlich ist, sondern auch alle Elemente aus $A$ endliche Mengen sind, und deren Elemente ebenfalls endliche Mengen sind, und so weiter.

Nach Definition sind alle erblich-endlichen Mengen endlich. Die Umkehrung gilt nicht, so ist etwa $\{\mathbb {N} \}$ eine endliche Menge, denn sie enthält als einziges Element $\mathbb {N}$, aber das Element $\mathbb {N}$ selbst ist nicht endlich.

In der abstrakten Mengenlehre werden die natürlichen Zahlen als erblich endliche Mengen eingeführt:

${\begin{aligned}0&:=\emptyset \\1&:=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}=\{0,1\}\\3&:=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\,\}=\{0,1,2\}\\&\vdots \\n&:=\{0,1,\dotsc ,n-1\}\end{aligned}}$

Damit sind die natürlichen Zahlen selbst endliche Mengen, sogar erblich endlich, und es gilt $|n|=n$ für jede natürliche Zahl $n$, wobei hier die senkrechten Striche nicht für die Betragsfunktion stehen, sondern für die Mächtigkeit. Das ist der Grund, warum oben in der Einleitung eine Gleichmächtigkeit zu $\{0,1,\dotsc ,n-1\}$ an Stelle von $\{1,2,\dotsc ,n\}$ erwähnt wurde. Letzteres wäre zwar auch richtig gewesen, aber die getroffene Wahl passt besser zur Definition der natürlichen Zahlen. Danach hat eine Menge die Mächtigkeit $n$, wenn sie zu $n$ gleichmächtig ist.

Durchschnitte, Vereinigungen und Produkte erblich endlicher Mengen sind wieder erblich endlich. Die Menge aller erblich endlichen Mengen ist genau die Stufe $V_{\omega }$ der Von-Neumann-Hierarchie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.

Weitere Endlichkeitsbegriffe

Die Endlichkeit einer Menge lässt sich auch ordnungstheoretisch fassen. Hier ist insbesondere das auf Alfred Tarski zurückgehende Konzept der Tarski-Endlichkeit zu nennen.

Literatur

• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2010, ISBN 978-3-642-01444-4, doi:10.1007/978-3-642-01445-1.