Bild (Mathematik)

Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}.

Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild bzw. die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge oder Wertebereich benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der gesamten Zielmenge Y verwendet werden.

Definition

Für eine Funktion $f\colon X\to Y$ und eine Teilmenge $M$ von $X$ bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

$f(M):=\{f(x)\mid x\in M\}$

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter $f$, also:

$\operatorname {Bild} (f):=f(X)$

Alternative Notationen

Für $f(M)$ wird auch die Notation $f[M]$ verwendet.

Die englische Bezeichnung $\operatorname {im} f$ („im“ vom englischen Wort image) für $\operatorname {Bild} (f)$ ist ebenfalls gebräuchlich.

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel: $\mathrm {Bild} (f)=\{A,B,D\}$.

Beispiele

Wir betrachten die Funktion $f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ (ganze Zahlen) mit $f(x)\ :=x^{2}$.

• Hierbei werden verschiedene Eingabegrößen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:

$f(\{1,2,3\})=\{1,4,9\}\$

$f(\{-3,-2,-1\})=\{1,4,9\}\$

$f(\{-3,-2,-1,1,2,3\})=\{1,4,9\}\$

• Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

$\operatorname {Bild} (f)=\{0,1,4,9,16,25,36,49,\dotsc \}\$

Eigenschaften

Es sei $f\colon X\to Y$ eine Funktion und $M$ und $N$ seien Teilmengen von $X$:

• $f(\varnothing )=\varnothing$
• $M\subseteq N\Rightarrow f(M)\subseteq f(N)$
• $f$ ist genau dann surjektiv, wenn $\operatorname {Bild} (f)=Y$.
• $f(M\cup N)=f(M)\cup f(N)$
• $f(M\cap N)\subseteq f(M)\cap f(N)$
  Ist $f$ injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch

• Bild (Kategorientheorie)
• Homomorphiesatz
• Kern (Mathematik)
• Urbild (Mathematik)

Weblinks

• Das Bild einer Matrix berechnen (Beispiel)