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Assoziativgesetz

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Datei:Associativity of binary operations (without question marks).svg
Bei assoziativen Verknüpfungen ist das Endergebnis dasselbe, auch wenn die Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge ausgeführt werden.

Das Assoziativgesetz (lat. associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.

Neben dem Assoziativgesetz sind Distributivgesetz und Kommutativgesetz von elementarer Bedeutung in der Mathematik.

Definition

In einem Summen- oder Produktterm dürfen die Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden. Dies gilt auch für mehr als drei Summanden oder Faktoren.

Eine binäre Verknüpfung {\circ}\colon A \times A\to A auf einer Menge A heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c\in A das Assoziativgesetz

Fehler beim Parsen (Das Formelbild kann auf dem Dateisystem nicht gespeichert werden.): a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c

gilt.

Folgerungen

Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen

 \left( a \circ b \right) \circ c = a \circ \left( b \circ c \right)

ist der Ausdruck

 a \circ b \circ c

eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.

Beispiele

Datei:Associativity of real number addition.svg
Die Assoziativität der Addition reeller Zahlen

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, es gilt zum Beispiel

(2+3)+7=5+7=12\quad =\quad 2+(3+7)=2+10=12

und

(2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =\quad 2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42.

Die Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist zum Beispiel

 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad (2 - 3) - 1 = -2

und

 (4:2):2 = 1 \quad\neq\quad 4:(2:2)= 4 .

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da zum Beispiel

2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad (2^2)^3 = 4^3 = 64

gilt.

Einordnung

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Schwächere Formen der Assoziativität

Folgende Abschwächungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt/definiert:

a^{r+s} = (a^r)\circ (a^s)
a^i \circ a = a \circ a^i
Fehler beim Parsen (Das Formelbild kann auf dem Dateisystem nicht gespeichert werden.): a \circ ( a \circ a ) = (a \circ a ) \circ a
a \circ ( a \circ b ) = ( a \circ a ) \circ b
    • Rechtsalternativität:
a \circ ( b \circ b ) = ( a \circ b ) \circ b
a \circ \left( b \circ a \right) = \left( a \circ b \right) \circ a
\Big(a \circ (b \circ a)\Big) \circ c = a \circ \Big(b  \circ (a \circ c)\Big)
(a \circ b) \circ (c \circ a) = a \circ \Big((b \circ c) \circ a\Big)
  • Bol-Identitäten:[1]
    • linke Bol-Identität
\Big(b \circ (c \circ b)\Big) \circ a = b \circ \Big(c \circ (b \circ a)\Big)
    • rechte Bol-Identität
\Big( (a \circ b) \circ c\Big) \circ b = a \circ \Big( (b  \circ c) \circ b\Big)
a \circ \Big( \left( a \circ a \right) \circ b \Big) = \left( a \circ a \right) \circ \left( a \circ b \right)

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Gerrit Bol: Gewebe und Gruppen In: Mathematische Annalen, 114 (1), 1937, S. 414–431.

Literatur

Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.


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