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Aleph-Funktion

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Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als \aleph geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse \mathbf{On} der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl \kappa mit der kleinsten zu \kappa gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus \aleph von \mathbf{On} auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von \aleph an der Stelle \alpha bezeichnet man mit \aleph_\alpha, das heißt \aleph_\alpha ist die \alpha-te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:

  • \aleph_0 = |\omega| ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
  • \aleph_{\alpha+1} = \min_{\kappa > \aleph_\alpha}\kappa, also die kleinste Kardinalzahl, die größer als \aleph_\alpha ist,
  • \aleph_\lambda = \sup_{\alpha < \lambda} \aleph_\alpha für Limes-Ordinalzahlen \lambda.

Eigenschaften

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist \aleph_0, die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als \aleph_0, ist \aleph_1, und so weiter. Die Frage, ob \aleph_1 gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist \aleph_\alpha eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls \alpha eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet \omega die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich \aleph_0, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. \aleph_\omega ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als \sup_{n < \omega}\aleph_n geschrieben werden.

Es gilt stets \alpha \le \aleph_\alpha für alle Ordinalzahlen \alpha. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen \alpha, für die \alpha = \aleph_\alpha gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge \aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}, \ldots, der informal als \aleph_{\aleph_{{}_\ddots}} dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch

Literatur

  • Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus dem Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ISSN 0233-0962). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.
  • Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.


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