Absorbierendes Element

Ein absorbierendes Element ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur.

Definition

Es sei $A$ die Trägermenge einer algebraischen Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung $*$. Ein Element $o_{l}\in A$ heißt linksabsorbierend (bezüglich $*$), wenn für alle $a\in A$ gilt:

$o_{l}*a=o_{l}$.

Analog heißt ein Element $o_{r}\in A$ rechtsabsorbierend (bezüglich $*$), wenn für alle $a\in A$ gilt:

$a*o_{r}=o_{r}$.

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich $*$), nennt man absorbierend (bezüglich $*$), manchmal auch Nullelement (so wird aber häufig auch das neutrale Element einer (additiv notierten) Gruppe genannt!).

Eigenschaften

Zu einer zweistelligen Verknüpfung $*$ auf einer Menge $A$ gibt es höchstens ein absorbierendes Element $o\in A$, denn für absorbierende Elemente $o,o'\in A$ gilt:

$o'=o'*o=o$.

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element $o\in A$ ist immer idempotent:

$o=o*o$.

In einer Quasigruppe (und damit auch in einer Gruppe) $(A,*)$ mit mindestens zwei Elementen $a,b\in A$ mit $a\neq b$ gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element $o\in A$, denn sonst hätte $o*x=o$ bzw. $x*o=o$ mindestens die zwei Lösungen $a,b$, wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

Beispiele

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die im Ring der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

In jedem beschränkten Verband gibt es zu beiden Verknüpfungen ein absorbierendes Element: Beispielsweise ist in der Aussagenlogik die wahre Aussage bezüglich der Verknüpfung mit „oder“ absorbierendes Element, die falsche Aussage ist bezüglich der Verknüpfung mit „und“ absorbierendes Element.

Siehe auch

• Neutrales Element
• Inverses Element

Literatur

• U. Hebisch; H. J. Weinert: Halbringe - Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.