Abelsche partielle Summation

In der Mathematik ist die abelsche partielle Summation (nach N. H. Abel) eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen.

Aussage

Es seien $n$ eine natürliche Zahl und $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ reelle Zahlen. Dann gilt

\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})

mit

A_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}.

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur partiellen Integration, wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

Abelsche Ungleichung

Ist $(b_{k})$ eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt

b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq \ldots \geq b_{n}>0,

und sind die Zahlen $a_{k}$ beliebig reell (oder komplex), so gilt

{\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leq b_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|A_{k}|.

(Zur Notation „max“ siehe größtes und kleinstes Element.)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

Anwendungsbeispiel

Abel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit (siehe Quellen), um zu beweisen, dass eine Potenzreihe

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,

die für eine bestimmte positive reelle Zahl $x=x_{0}$ konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl $x<x_{0}$ konvergent ist und auf $0<x<x_{0}$ eine stetige Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung