Jewiki unterstützen. Jewiki, die größte Online-Enzyklopädie zum Judentum.

Helfen Sie Jewiki mit einer kleinen oder auch größeren Spende. Einmalig oder regelmäßig, damit die Zukunft von Jewiki gesichert bleibt ...

Vielen Dank für Ihr Engagement! (→ Spendenkonten)

Abelsche partielle Summation

Aus Jewiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik ist die abelsche partielle Summation (nach N. H. Abel) eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen.

Aussage

Es seien eine natürliche Zahl und reelle Zahlen. Dann gilt

mit

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur partiellen Integration, wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

Abelsche Ungleichung

Ist eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt

und sind die Zahlen beliebig reell (oder komplex), so gilt

(Zur Notation „max“ siehe größtes und kleinstes Element.)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

Anwendungsbeispiel

Abel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit (siehe Quellen), um zu beweisen, dass eine Potenzreihe

die für eine bestimmte positive reelle Zahl konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl konvergent ist und auf eine stetige Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung

und da eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch

nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes beliebig klein.

Quellen

,
J. Reine Angew. Math. 1 (1826) 311–331
Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.

Weblinks

Abelsche Ungleichung


Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Abelsche partielle Summation aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar.